Radar-Physik-Simulator

Beobachte, wie ein einzelner Radarimpuls mit Lichtgeschwindigkeit hinauseilt, an einem Ziel abprallt und zurückkehrt — seine Laufzeit liefert die Entfernung, seine Stärke die Erkennbarkeit, seine Frequenzverschiebung die Geschwindigkeit.

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Die Reichweite zu halbieren kostet einen 16-fach kleineren Rückstrahlquerschnitt 🖖

Die Empfangsleistung fällt mit 1/R⁴ – der Puls läuft hinaus und weitet sich, das Echo läuft zurück und weitet sich erneut –, also skaliert die Erfassungsreichweite mit der vierten Wurzel des Rückstrahlquerschnitts. Diese vierte Wurzel ist in beide Richtungen brutal. Die RCS-Voreinstellungen dieses Werkzeugs reichen von 0,01 m² für ein Tarnkappenflugzeug bis 1000 m² für ein Schiff, eine Spanne von 100.000, doch die daraus folgenden Reichweiten unterscheiden sich nur um 100000^¼ ≈ 17,8. Gegenüber dem 5-m²-Jäger senkt eine Tarnkappenbauweise den Querschnitt um das 500-fache und erkauft damit eine Reichweitenreduktion von lediglich 500^¼ ≈ 4,7. Jede weitere Halbierung der Entdeckungsreichweite kostet einen weiteren Faktor sechzehn.

Ein Echo, drei Antworten 🖖

Radar sendet einen einzigen Puls aus Radiowellen und liest das zurückkehrende Echo gleich dreifach aus. Die Verzögerung bis zur Rückkehr liefert die Entfernung (R = c·Δt/2, halbiert, weil der Puls den Weg zweimal zurücklegt); die Stärke des Echos verrät, ob das Ziel überhaupt erkennbar ist; und eine Verschiebung seiner Frequenz zeigt, wie schnell sich das Ziel nähert oder entfernt. Merksatz: Licht ist so schnell, dass ein 150 km entferntes Ziel in unter einer Millisekunde antwortet.

Wie ein Flugzeug bei der richtigen Geschwindigkeit verschwindet 🖖

MTI-Radar (Bewegtzielanzeige) unterdrückt Bodenclutter, indem es Echos ignoriert, deren Frequenz sich von Puls zu Puls nicht ändert. Doch ein Ziel, das mit einer Blindgeschwindigkeit fliegt — bei der die Dopplerverschiebung genau auf ein Vielfaches der PRF fällt — wirkt zwischen den Pulsen wie eingefroren und wird zusammen mit den Hügeln herausgefiltert. Diese Geschwindigkeiten folgen v = n·λ·PRF/2; mit λ = 0.1 m und PRF = 1000 Hz liegt die erste bei 50 m/s. Echte Radare wechseln ihre PRF, um diese Lücken zu schließen.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein 90 km entfernter Kampfjet mit einem Radarquerschnitt von 5 m² 7 Schritte
Ein Kampfflugzeug in 90 km Entfernung mit einem Radarquerschnitt von 5 m². Das Radargerät sendet 100 kW bei 3 GHz über eine Antenne mit einem Gewinn von 1000, und sein Empfänger meldet eine Detektion bei -120 dBm. Berechnen Sie, was zurückkommt, und anschließend, wie weit dieses Radar sehen könnte, wenn das Ziel weiter wegflöge.
1. Der Impuls legt die Strecke zweimal zurück, die Uhr misst also eine Laufstrecke von 180 km, nicht 90. Halbieren Sie den Wert, bevor Sie durch c teilen, sonst fällt jede von Ihnen angegebene Entfernung doppelt so hoch aus: hier 600 µs.
  
  $Δ t = \frac{2 R}{c} = \frac{2 \times 9 \times 1 0 ^{4}}{3 \times 1 0 ^{8}} = 6 \times 1 0^{- 4} s = 600 μ s$
2. Die Frequenz legt die Wellenlänge fest, und die Wellenlänge geht gleich an zwei Stellen ein — sie bestimmt die Doppler-Empfindlichkeit und sie bestimmt, wie viel der zurückkehrenden Welle die Schüssel auffangen kann. Bei 3 GHz ist λ = 0,1 m.
  
  $λ = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{9}} = 0.1 m$
3. Nun folgt der Teil, der Radar so schwierig macht. Auf dem Hinweg breitet sich die Leistung über eine Kugel aus, sodass die am Ziel eintreffende Leistungsdichte mit 1/R² abfällt. Das Ziel fängt davon σ ab und strahlt es wieder ab, und die wieder abgestrahlte Leistung breitet sich ebenso über eine Kugel aus — ein zweites, unabhängiges 1/R². Die Schüssel sammelt die Leistung dann über eine effektive Fläche A_e = Gλ²/4π.
  
  $S_{t} = \frac{P _{t} G}{4 π R ^{2}}, S_{r} = \frac{S _{t} σ}{4 π R ^{2}}, A_{e} = \frac{G λ ^{2}}{4 π}$
4. Multipliziert man die drei Faktoren, quadrieren sich die R²-Terme. Die empfangene Leistung fällt mit R⁻⁴ ab, sodass ein Radarecho nicht bloß schwach ist, sondern katastrophal schwach: Verdoppelt man die Entfernung, sinkt das Echo um das 16-Fache und nicht um das 4-Fache.
  
  $P_{r} = S_{r} A_{e} = \frac{P _{t} G ^{2} λ ^{2} σ}{( 4 π ) ^{3} R ^{4}}$
5. Setzen Sie die Zahlen ein. Der Zähler beträgt 5×10⁹; der Nenner ist (4π)³ = 1984 mal R⁴ = 6,56×10¹⁹, also 1,30×10²³. Das Echo beträgt 3,84×10⁻¹⁴ W. Das sind 38 Femtowatt, die von einem 100-kW-Sender zurückkehren, und das Verhältnis zwischen diesen beiden Werten macht das gesamte Problem aus.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 5}{1984 \times ( 9 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{5 \times 1 0 ^{9}}{1.30 \times 1 0 ^{23}} = 3.84 \times 1 0^{- 14} W$
6. Radarleistungen überstreichen 20 Größenordnungen, weshalb sie in dB relativ zu einem Milliwatt angegeben werden. 3,84×10⁻¹⁴ W entsprechen -104 dBm, was deutlich über den vom Empfänger benötigten -120 dBm liegt.
  
  $10 lo g_{10} (\frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 3}}) = 10 lo g_{10} (3.84 \times 1 0^{- 11}) = - 104 dBm$
7. Dieser Abstand lässt sich in Reichweite umrechnen, allerdings nicht besonders großzügig. In Watt ausgedrückt ist das Echo 38,4-mal so stark wie der Schwellenwert, und da die Leistung mit R⁻⁴ abfällt, kann die Reichweite nur um die vierte Wurzel aus 38,4 wachsen. Das ist 2,489, und 90 km × 2,489 = 224 km.
  
  $\frac{P _{r}}{P _{m i n}} = \frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 15}} = 38.4 ⟹ R_{m a x} = 90 \times 38. 4^{1/4} = 90 \times 2.489 = 224 km$
Antwort

224 km — und es brauchte ein 38-mal stärkeres Echo als vom Empfänger benötigt, um sie zu erreichen. In dieser Zahl verbirgt sich eine zweite Grenze, die auf dem Bedienfeld nirgends angezeigt wird. Ein Echo aus 224 km Entfernung benötigt 2 × 224 km / c = 1,49 ms für den Rückweg. Sendet man den nächsten Impuls früher aus, trifft das späte Echo erst ein, nachdem bereits ein neuer Impuls abgegeben wurde, und das Gerät kann nicht unterscheiden, zu welchem Impuls es gehört — es wird ein 224 km entferntes Ziel als nah gelegen anzeigen. Die gerade abgeleitete Erfassungsreichweite legt somit eine Obergrenze der Impulswiederholfrequenz von etwa 670 Hz fest. Wie weit ein Radar sehen kann und wie oft es hinschauen kann, wird allein durch die Lichtgeschwindigkeit gegeneinander abgewogen, und keine noch so hohe Sendeleistung ändert etwas an diesem Zielkonflikt.

$\frac{2 R _{m a x}}{c} = 1.49 ms ⟹ PRF < \frac{1}{1.49 ms} = 670 Hz$
Ein Ziel mit σ = 0,01 m² in 70 km Entfernung 5 Schritte
Dasselbe Radar, weiterhin 100 kW bei 3 GHz, richtet sich nun auf ein Ziel mit σ = 0,01 m² in 70 km Entfernung. Das ist ein 500-mal kleinerer Radarquerschnitt als beim Kampfflugzeug, und es ist 20 km näher. Bestimmen Sie das Echo und anschließend, wie nah das Ziel kommen müsste, um überhaupt erfasst zu werden.
1. Nur ein Faktor im Zähler hat sich geändert: 10⁵ × 10⁶ × 10⁻² × 10⁻² = 10⁷. Da R⁴ bei 70 km einen Nenner von 4,76×10²² ergibt, beträgt das Echo 2,1×10⁻¹⁶ W — 0,21 Femtowatt.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 2}}{1984 \times ( 7 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{1 0 ^{7}}{4.76 \times 1 0 ^{22}} = 2.1 \times 1 0^{- 16} W$
2. Beachten Sie, wie schlecht die beiden Änderungen aufeinander abgestimmt sind. Die Annäherung von 90 km auf 70 km vervielfacht das Echo um (90/70)⁴ = 2,73; der Radarquerschnitt teilt es durch 500. Der Geometriegewinn geht darin völlig unter.
  
  $(\frac{90}{70})^{4} = 2.73 ≪ \frac{5}{0.01} = 500$
3. In dBm ausgedrückt entspricht das -127 gegenüber einer Empfängerschwelle von -120. Das Echo liegt unter dieser Schwelle; in 70 km Entfernung existiert dieses Ziel für das Gerät also gar nicht.
  
  $10 lo g_{10} (2.1 \times 1 0^{- 13}) = - 127 dBm < - 120 dBm$
4. Die Entfernung ist die einzige verbleibende Variable. In Watt ausgedrückt ist das Echo um den Faktor 10⁻¹⁵ / 2,1×10⁻¹⁶ = 4,76 zu schwach, und da es mit R⁻⁴ ansteigt, muss die Entfernung um die vierte Wurzel aus 4,76 sinken — also um den Faktor 1,477. 70 km / 1,477 = 47,4 km.
  
  $\frac{P _{m i n}}{P _{r}} = \frac{1 0 ^{- 15}}{2.1 \times 1 0 ^{- 16}} = 4.76 ⟹ R = \frac{70}{4.7 6 ^{1/4}} = \frac{70}{1.477} = 47.4 km$
5. Man gelangt zum selben Ergebnis, wenn man von der anderen Seite ausgeht und bei den 224 km des Kampfflugzeugs ansetzt. Die Erfassungsreichweite skaliert mit σ hoch 1/4; teilt man σ durch 500, teilt sich die Reichweite also durch 500 hoch 1/4, was 4,73 ergibt. 224 / 4,73 = 47,4 km. Ein Gesetz, in beiden Richtungen gelesen.
  
  $R_{m a x} \propto σ^{1/4} : \frac{224}{50 0 ^{1/4}} = \frac{224}{4.73} = 47.4 km$
Antwort

Eine Verringerung des Radarquerschnitts um das 500-Fache bringt einen Faktor von 4,73 bei der Erfassungsreichweite, und diese vierte Wurzel macht die gesamte Ökonomie der Tarnkappentechnik aus. Sie beziffert auch den Preis der Alternative. Um dieses Ziel allein durch Sendeleistung wieder auf 224 km Entfernung zu bringen, muss man das Produkt P_tσ wiederherstellen: σ fiel um das 500-Fache, also muss P_t um das 500-Fache steigen — von 100 kW auf 50 MW. Das ist das Argument für die geometrische Formgebung des Ziels anstelle einer Vergrößerung des Radars. Allerdings fordert der Exponent bei der Formgebung denselben Preis: Jede weitere Halbierung der Erfassungsreichweite kostet einen weiteren Faktor 16 bei σ.

$R_{m a x} \propto (P_{t} σ)^{1/4} ⟹ P_{t} \to 500 \times 100 kW = 50 MW$

Quellen (2)

The radar range equation and the R⁴ two-way loss: M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., ch. 1–2. McGraw-Hill, 2001. ISBN 978-0-07-288138-7.
MTI, blind speeds and PRF staggering, behind the third block: M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed., ch. 5. McGraw-Hill, 2014. ISBN 978-0-07-179832-7.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-17

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Beispielaufgaben

Entfernung
Die R⁴-Wand
Tarnkappe - Stealth-Ziel mit RCS=0.01 m² auf 120 km — Erfassungsreichweite nur 47 km
Doppler