Der Lorenz-Attraktor

Lass die Gleichungen von 1963 zweimal vom fast selben Punkt aus laufen. Beobachte, ab wann die beiden Durchläufe abweichen, und schau dir an, worin sie sich trotzdem noch einig sind.

Rechenbeispiel — Der Lorenz-Attraktor

Gewählte Erwärmung	28,000
Wann die stabilen Rollen enden	24,7368
Sind stabile Rollen möglich?	nein
Die rechte stabile Rolle	(8,485, 8,485, 27,000)
Volumenkontraktionsrate	-13,6667
Volumen nach 60 Zeiteinheiten	7,6 × 10⁻³⁵⁷
Startabstand der Zwillinge	1,0 × 10⁻⁹
Endabstand der Zwillinge	16,211

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Der Lorenz-Attraktor

Im Jahr 1963 reduzierte Edward Lorenz die Konvektion auf drei Zahlen und drei Gleichungen: ẋ = σ(y − x), ẏ = x(ρ − z) − y, ż = xy − βz. Dabei ist x die Drehgeschwindigkeit einer Flüssigkeitsrolle, y die Temperaturdifferenz zwischen der aufsteigenden und der abfallenden Seite, und z gibt an, wie weit das vertikale Temperaturprofil von einer geraden Linie abweicht. σ = 10 und β = 8/3 stammen von ihm. ρ ist die Erwärmung und fungiert auf dieser Seite als Steuerung. Ein Attraktor ist die Menge, auf der ein Durchlauf endet, sobald der Einschwingvorgang abgeklungen ist. Unter ρ = 24,7368 kann das ein einzelner Punkt sein, eine stabile Rolle, die sich mit konstanter Rate dreht. Darüber hinaus pendelt sich der Durchlauf nie ein. Die Menge, die er stattdessen ausfüllt, hat Eigenschaften, die weder ein Punkt noch eine Fläche besitzt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

σ: die Prandtl-Zahl, festgelegt auf 10. Sie vergleicht, wie schnell sich der Impuls in der Flüssigkeit ausbreitet, mit der Geschwindigkeit der Wärmeausbreitung
ρ: die Erwärmung, die Steuerung auf dieser Seite. Die Rayleigh-Zahl dividiert durch ihren kritischen Wert. Bei ρ = 1 beginnt die Flüssigkeit sich also überhaupt erst zu bewegen
β: festgelegt auf 8/3. Dieser Wert ergibt sich aus der Form der Konvektionsrollen, die Lorenz annahm
∇·F: die Volumenkontraktionsrate, −σ − 1 − β. Sie ist überall gleich und der Grund dafür, dass der Attraktor kein Volumen hat
λ₁: der größte Ljapunow-Exponent, der hier gemessen wird, indem ein zweiter Punkt nach außen verschoben und renormiert wird. Ein positiver Wert bedeutet, dass sich benachbarte Zustände voneinander entfernen

Setzt voraus: Dass drei Zahlen für eine Flüssigkeit stehen können. Das können sie nicht, und Lorenz wusste das. Das System ist eine Stutzung der Konvektion, die drei Moden beibehält und den Rest verwirft. Es ist also ein Modell eines Modells. Was diese Reduktion überlebt, ist die Arithmetik des Streckens und Faltens. Deshalb lohnt sich ein Blick auf das Bild noch lange, nachdem die Konvektion vergessen ist. Die Integration erfolgt über RK4 mit einer festen Schrittweite von 0,005. Der Schritt ist absichtlich fest und nicht adaptiv gewählt, damit der einzige Unterschied zwischen den beiden Durchläufen genau der ist, den du festlegst.
Versagt, wenn: Als Wetterbeschreibung, und das fast sofort. Echte Konvektion hat Grenzen, Feuchtigkeit und ein Kontinuum von Moden. Die Zahlen hier sind keine Temperaturen oder Geschwindigkeiten in einer messbaren Einheit. Die Zeitachse ist in den eigenen Einheiten des Systems angegeben. Die Umrechnung in Tage ist eine Wahl und kein Ergebnis, weshalb diese Seite darauf verzichtet. Der Ljapunow-Exponent ist ein Durchschnitt über den gesamten Attraktor, und die lokale Rate variiert stark. Deshalb ist eine Vorhersage an einem ruhigen Tag mehr wert, als der Durchschnitt vermuten lässt. Bei der Ensemble-Wettervorhersage wird genau das gemessen. Treib ρ über etwa 31 hinaus, und das Bild ändert sich erneut. Innerhalb des chaotischen Bereichs öffnen und schließen sich periodische Fenster, und ein Durchlauf kann stattdessen auf einer geschlossenen Schleife landen.

Die beiden Durchläufe weichen ab und zeichnen weiterhin dasselbe 🖖

Klick auf Bis die Kurve voll ist und schau dir das zweite Feld an. Jedes Mal, wenn z ein Maximum erreicht, wird es vom Werkzeug erfasst und gegen das vorherige Maximum aufgetragen. Durchlauf A liefert 268 dieser Punkte, Durchlauf B liefert 266, und alle 534 fallen auf eine einzige Kurve. Wenn du misst, liegt die Hälfte der Punkte von Durchlauf B innerhalb von 0,011 der Linie, die durch die benachbarten Punkte von Durchlauf A verläuft, und das auf einer 17,75 Einheiten breiten Karte. Die beiden Durchläufe waren sich bei t = 24,78 zuletzt einig, wo sie sich befanden. Am Ende sind sie 11,9 voneinander entfernt, was auf einem 38 Einheiten breiten Attraktor einfach bedeutet, dass sie ganz woanders sind. Eine Vorhersage kann dir nicht sagen, wo die Trajektorie verläuft. Die Kurve in diesem Feld ist der Teil, der nie in Frage stand.

Es hat kein Volumen und ist dennoch keine Fläche 🖖

Addiere die drei Diagonalterme des Flusses und du erhältst ∇·F = −σ − 1 − β = −13,6667, was für jeden Punkt und jedes ρ gilt. Eine Wolke von Startzuständen behält nach einer Zeiteinheit also noch ein Millionstel ihres Volumens, und nach sechzig Zeiteinheiten noch 7,6 × 10⁻³⁵⁷ davon. Das Objekt, auf dem die Bahn letztlich landet, hat immer das Volumen null. Ein Punkt kann es nicht sein, denn oberhalb von ρ = 24,7368 sind beide stationären Rollen instabil und stoßen die Bahn ab. Eine Fläche kann es ebenso wenig sein, da sich zwei Trajektorien eines glatten Flusses niemals kreuzen und eine Schicht durchdrungen werden müsste, um sich auf diese Weise aufzuwickeln. Was bleibt, ist das eigenartige Gebilde dazwischen. Seine Dimension beläuft sich auf 2,0622.

Unter ρ = 24,7368 behalten die Gleichungen beide Antworten 🖖

Die beiden Voreinstellungen bei ρ = 24,4 unterscheiden sich in einer einzigen Einstellung. Beginnst du bei (1, 1, 20), wächst der Abstand zwischen den Zwillingen von 10⁻⁹ auf 8,889, und die Bahn wechselt 96-mal zwischen den Flügeln. Startest du neben der rechten Rolle, ziehen dieselben Gleichungen beide Bahnen spiralförmig auf sie hinab. Der Abstand endet bei 1,4 × 10⁻¹⁰, einem Siebtel seines Anfangswerts. Die stationäre Rolle und der seltsame Attraktor sind beide vorhanden. Welchen von beiden du erhältst, entscheidet dein Startpunkt und nicht, wie stark du heizt. Physiker nennen die Bifurkation bei 24,7368 subkritisch. Genau das beschreibt dieses Wort.

Aufgabe vollständig gelöst

Du kennst den Zustand bis auf einen Würfel der Kantenlänge 1 genau. Was ist aus diesem Würfel zehn Zeiteinheiten später geworden? 6 Schritte
Nimm an, der Zustand irgendwo auf dem Attraktor ist nur bis auf einen Würfel der Kantenlänge 1 (Volumen 1) bekannt und der Durchlauf wird zehn Zeiteinheiten fortgesetzt. Finde heraus, welche Form dieser Würfel angenommen hat und wie groß sein Volumen ist, bevor du weiterliest. Klicke auf Der klassische Durchlauf, um das Werkzeug auf ρ = 28 zu setzen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Es gibt drei Ljapunow-Exponenten, einen für jede Richtung. Nur einer davon muss überhaupt gemessen werden. Entlang der Strömung wird nichts gedehnt oder gestaucht, folglich ist λ₂ = 0. Die Renormierung in der Ergebnistabelle liefert λ₁ = 0,9059. Der dritte Exponent wird gar nicht erst gemessen. Alle drei zusammen müssen nämlich die Volumenkontraktionsrate ergeben, und diese ist exakt bekannt.
  
  $λ_{2} = 0, λ_{1} = ⟨ \frac{1}{τ} ln \frac{d ( τ )}{d _{0}} ⟩ = 0.9059$
2. Also gilt λ₃ = ∇·F − λ₁ = −13,6667 − 0,9059 = −14,5726. Fällt dir auf, wie einseitig das ist? Die Stauchung ist sechzehnmal stärker als die Dehnung. Das ist der eigentliche Grund, warum ein anfangs runder Bereich am Ende flach und nicht rund ist.
  
  $λ_{3} = \nabla \cdot F - λ_{1} = - 13.6667 - 0.9059 = - 14.5726$
3. Setze nun t = 10 für jede Richtung ein. Jede Kantenlänge des Würfels wird mit e^(λt) multipliziert:
  
  $direction stretching along the flow squeezing λ + 0.9059 0 - 14.5726 e^{λ t}, t = 10 8, 594 1 5.15 \times 1 0^{- 64}$
4. Multipliziere die drei Faktoren und du erhältst das Volumen: 8.594 × 1 × 5,15 × 10⁻⁶⁴ = 4,43 × 10⁻⁶⁰. Die Kontraktionsrate liefert genau dasselbe Ergebnis, ohne dass die drei Richtungen überhaupt vorkommen: e^(−13,6667 × 10) = 4,43 × 10⁻⁶⁰. Dass beide Wege übereinstimmen, bestätigt, dass die Exponenten richtig waren.
  
  $8, 594 \cdot 1 \cdot 5.15 \times 1 0^{- 64} = 4.43 \times 1 0^{- 60} and e^{- 13.6667 \cdot 10} = 4.43 \times 1 0^{- 60}$
5. Hier kommen wir an den Punkt, den die Mathematik zwingend vorgibt. Der Attraktor ist in x etwa 38 Einheiten breit und in z 46 hoch. Aus dem Würfel ist ein Band von 8.594 Einheiten Länge geworden. Das entspricht dem 226-Fachen der Breite der Box, in der es bleiben muss. Also faltet es sich. Bei jedem Umlauf faltet es sich erneut, und jede Faltung legt eine weitere Schicht auf die bereits vorhandenen.
  
  $\frac{8 , 594}{38} \approx 226$
6. Ein aus solchen Schichten aufgebautes Objekt ist dicker als eine Fläche und dünner als ein massiver Körper. Die Dimension sagt dir, wie viel genau: D = 2 + λ₁/|λ₃| = 2 + 0,9059/14,5726 = 2,0622. Die 2 steht für die Fläche, die 0,0622 für die Faltung.
  
  $D = 2 + \frac{λ _{1}}{∣ λ _{3} ∣} = 2 + \frac{0 . 9059}{14 . 5726} = 2.0622$
Antwort

Ein Band, 8.594 Einheiten lang, 1 breit und 5,15 × 10⁻⁶⁴ dick, mit einem Volumen von 4,43 × 10⁻⁶⁰, immer und immer wieder in eine 38 Einheiten breite Box gefaltet. Genau diese Faltung macht den Attraktor 2,0622-dimensional statt einfach nur flach. Sie ist auch der Grund dafür, warum du nicht sagen kannst, auf welcher Schicht du dich befindest. Das ist letztlich genau dasselbe, wie nicht zu wissen, wo die Trajektorie verläuft.

$8, 594 \times 1 \times 5.15 \times 1 0^{- 64} in a box 38 across \Rightarrow D = 2.0622$

Lernpfad

Wie eine Wettervorhersage entsteht

Quellen (4)

The paper itself. Section 5 works out the volume contraction, and the successive-maxima plot this page's second panel draws is his Figure 4: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
Where the bifurcation structure is set out in full, including the subcritical Hopf at 24.7368 that the page's last two presets sit either side of: C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, Springer New York, 1982. DOI 10.1007/978-1-4612-5767-7
That the attractor exists at all was an open question for thirty-six years. It is Smale's fourteenth problem, and this is the computer-assisted proof that settled it: W. Tucker, "A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem." Foundations of Computational Mathematics 2, 2002, pp. 53-117. DOI 10.1007/s002080010018
The dimension formula the results table uses, D = 2 + lambda_1/|lambda_3| for a three-dimensional flow: J. L. Kaplan and J. A. Yorke, "Chaotic behavior of multidimensional difference equations." In Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 1979, pp. 204-227. DOI 10.1007/BFb0064319

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.