Ensemble-Wettervorhersage

Starte fünfzig Vorhersagen vom fast gleichen Ausgangspunkt. Beobachte, wie sie erst übereinstimmen und dann auseinanderlaufen. Die Seite misst, was jede einzelne wert ist, was ihr Durchschnitt taugt und ob dich ihre Uneinigkeit im Voraus gewarnt hat.

Rechenbeispiel — Ensemble-Wettervorhersage

Ensemble-Streuung	3,30 K
Fehler des Ensemble-Mittels	2,91 K
Fehler eines typischen Mitglieds	4,35 K
Die Aufteilung: mittlerer Fehler und Streuung	19,131
Mitglieder, die schlechter sind als ihr Mittel	50 von 50
Wann sich eine Vorhersage nicht mehr lohnt	3,60 K
Das Ensemble-Mittel reicht für	10,9 Tage
Eine einzelne Vorhersage reicht für	9,4 Tage

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Ensemble-Wettervorhersage

Eine Ensemble-Vorhersage lässt dasselbe Modell mehrmals mit leicht unterschiedlichen Anfangszuständen laufen, da der exakte Anfangszustand nie bekannt ist. Das Ensemble-Mittel ist der Durchschnitt dieser Durchläufe und stellt die beste Einzelschätzung dar. Die Streuung gibt an, wie weit die Mitglieder von diesem Mittel entfernt liegen. Sie ist die modelleigene Aussage darüber, wie sehr man der Vorhersage trauen sollte. Das Modell hier ist Lorenz 96. Edward Lorenz schrieb es 1996 eher als Spielzeugatmosphäre denn als reines Chaos-Beispiel: 40 Werte entlang eines Breitenkreises, jeder durch Advektion seiner Nachbarn verschoben, gedämpft und von einem konstanten Antrieb gesteuert. Eine Modelleinheit in der Zeit entspricht fünf Tagen, was Lorenz’ eigener Kalibrierung folgt. Eine Werteinheit des Modells entspricht einem Kelvin Temperaturanomalie. Dies ist die Konvention dieser Seite, um einen Schwellenwert greifbar zu machen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

N: wie viele Mitglieder das Ensemble berechnet. 50 ist eine gewöhnliche Zahl für den operativen Betrieb. Auf dieser Seite kannst du bis auf 2 herunter- und bis auf 100 heraufgehen
σ: die Streuung: die Wurzel des mittleren quadratischen Abstands der Mitglieder zu ihrem eigenen Mittelwert
E: ein Fehler: die Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung zwischen einer Vorhersage und dem, was tatsächlich geschah. Immer erst im Nachhinein berechenbar
λ: die Wachstumsrate eines kleinen Fehlers, hier 0,3154 pro Tag. Das entspricht einer Verdopplungszeit von 2,20 Tagen und liegt nah an dem, was die echte Atmosphäre tut
P: eine Wahrscheinlichkeit, die direkt aus den Mitgliedern abgelesen wird: der Anteil von ihnen, der einen Schwellenwert überschreitet

Setzt voraus: Ein perfektes Modell. Jedes Mitglied integriert hier dieselben Gleichungen, die auch die Realität erzeugt haben. Das Einzige, was sie unterscheidet, ist ihr Startpunkt. Die Analyse, also die beste heutige Schätzung des Meteorologen, ist die Wahrheit plus gaußsches Rauschen. Die Mitglieder bestehen aus dieser Analyse plus einer weiteren zufälligen Ziehung derselben Größe. Dadurch wird die Wahrheit statistisch gesehen zu einem weiteren Mitglied. Genau dieses letzte Detail verleiht den Wahrscheinlichkeiten überhaupt erst Bedeutung. Würde man die Wahrheit selbst stören, stünde sie stattdessen im Zentrum der Wolke. So gemessen hätte das Ensemble 24 % für Ereignisse vorhergesagt, die in 15 % der Fälle eintraten, und 65 % für Ereignisse, die zu 80 % passierten.
Versagt, wenn: Bei allem, worüber sich ein Wetterdienst den Kopf zerbricht. Ein echtes Ensemble ist unterdispersiv. Seine Streuung ist kleiner als sein Fehler, weil jedes Mitglied dieselbe unvollkommene Physik in sich trägt. Die Wetterdienste betreiben großen Aufwand, um Modellstörungen hinzuzufügen und dieses Manko zu beheben. Echte Störungen werden auch nicht zufällig gezogen. Sie werden entlang der am schnellsten wachsenden Richtungen ausgewählt. So können fünfzig Mitglieder den Fehler systematisch erkunden, anstatt ihn nur zufällig abzutasten. Außerdem sind 40 Zahlen auf einem Kreis keine Atmosphäre. Ein Vorhersagemodell operiert in der Größenordnung von 10⁹ davon.

Der Durchschnitt von fünfzig Vorhersagen schlägt alle fünfzig 🖖

Klick auf Eine gewöhnliche Woche und lies Tag 16 ab. Ein typisches Mitglied weicht um 4,35 K ab. Ihr Durchschnitt weicht um 2,91 K ab. Die Zahl der Mitglieder, die von diesem Durchschnitt übertroffen werden, liegt bei 50 von 50. Das ist keine Glückssträhne. Die Ergebnistabelle zeigt, warum. Entwickle den quadratischen Fehler der Mitglieder um ihren eigenen Mittelwert. Der Kreuzterm verschwindet und hinterlässt eine Identität: mean(Eᵢ²) = E(mean)² + (N−1)/N · spread². Der Durchschnitt der quadratischen Fehler der Mitglieder entspricht immer dem quadratischen Fehler des Mittels plus ihrer Uneinigkeit. Deshalb kann das typische Mitglied nicht besser abschneiden. Ein einzelnes Mitglied schafft das nur durch reines Glück. In der ruhigen Woche passierte genau das. Je mehr die Mitglieder uneins sind, desto größer wird die Lücke. An Tag 16 steht dort auf beiden Seiten 19,1308 = 19,1308.

Die Streuung ist die Vorhersage 🖖

Klick auf Eine ruhige Woche und dann auf Eine stürmische Woche. Gleiches Modell, gleiches Ensemble mit fünfzig Mitgliedern, gleicher Beobachtungsfehler von 0,3 K. In der ruhigen Woche ist das Ensemble-Mittel noch bei 15,7 Tagen verlässlich nutzbar. In der stürmischen Woche ist es schon nach 6,9 am Ende. Die Atmosphäre ist nicht von einer Woche zur nächsten gleich gut vorhersehbar. Der praktische Nutzen liegt darin, dass du erkennst, in welcher Woche du dich befindest, ohne das Endergebnis zu wissen. Die Mitglieder widersprechen sich an den Tagen frühzeitig, an denen die Vorhersage schlecht ausfällt. Das passiert oft genug, um darauf zu wetten: Sechzig Starts, überprüft nach sechs Tagen und dargestellt im dritten Diagramm, setzen Streuung und Fehler bei r = 0,80 in Beziehung. Genau dafür ist ein Ensemble da. Aus diesem Grund erfüllt eine Vorhersage, die „Ich weiß es nicht“ sagt, ihren Zweck und versagt nicht.

Die beste Einzelvorhersage ist eine Wetterkarte, die niemals eintreffen könnte 🖖

Schau dir die letzte Spalte der Tabelle bei Eine gewöhnliche Woche an, während die Vorlaufzeit steigt. Sie zeigt die im Ensemble-Mittel verbleibende Varianz im Vergleich zur Varianz eines einzelnen Mitglieds: Tag 0 zeigt 99 %, Tag 8 zeigt 57 % und Tag 16 zeigt 21 %. Das Mitteln von fünfzig unterschiedlichen Karten glättet sie. Eine glatte Karte ist jedoch kein echtes Wetter. Von den 601 Tagen in den Aufzeichnungen dieses Modells behält selbst der ruhigste noch 70 % der durchschnittlichen Varianz, und kein einziger fällt unter die Hälfte. Die gemittelte Karte für Tag 16 enthält nur noch 21 %. Das Ensemble-Mittel ist also gleichzeitig die beste verfügbare Einzelschätzung und das Bild von etwas, das so niemals eintreffen wird. Deshalb veröffentlicht ein Wetterdienst die Regenwahrscheinlichkeit und nicht die gemittelte Karte.

Aufgabe vollständig gelöst

Gibt es am Donnerstag Frost? 7 Schritte
Es ist Mittwoch und du wirst gefragt, ob die Temperatur in der darauffolgenden Woche am Donnerstag, also acht Tage im Voraus, an Ort 19 unter den Gefrierpunkt fällt. Das Ensemble-Mittel sagt +1,44 K voraus. Entscheide dich, was du veröffentlichen willst, und finde dann heraus, was tatsächlich geschah. Klick auf Gibt es Frost?, um das Werkzeug in diesen Zustand zu versetzen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Lies zuerst den Mittelwert ab. Genau das hätte dir eine Einzelvorhersage geliefert. Das Ensemble-Mittel an Ort 19 an Tag 8 beträgt +1,44 K und liegt damit bequem über null. Ein Meteorologe mit nur einem Modelldurchlauf veröffentlicht „kein Frost“ und geht nach Hause.
  
  $\overset{x}{ˉ}_{19} (d = 8) = \frac{1}{N} i = 1 \sum 50 x_{i, 19} = + 1.44 K$
2. Zähle nun, anstatt den Durchschnitt zu bilden. Von den 50 Mitgliedern liegen 20 an diesem Ort und an diesem Tag unter null. Die Antwort des Ensembles auf die gestellte Frage lautet 40 %.
  
  $P (x_{19} < 0) = \frac{# { i : x _{i, 19} < 0 }}{N} = \frac{20}{50} = 40%$
3. Diese beiden Aussagen beziehen sich auf verschiedene Dinge. Selbst mit größter Sorgfalt beim Mittelwert kommst du niemals auf die zweite Aussage. Ein Durchschnitt verrät nicht, wie viele der zugrundeliegenden Zahlen unter einer bestimmten Grenze liegen. Fünfzig Mitglieder, die alle bei +1,44 K liegen, und die fünfzig Mitglieder hier, die von −4,95 K bis +11,25 K reichen, haben beide einen Mittelwert von +1,44. Das erste Ensemble räumt dem Frost überhaupt keine Chance ein. Das zweite gibt ihm vier von zehn Chancen.
  
  $\overset{x}{ˉ} < 0 ⟺ \frac{1}{N} i \sum x_{i} < 0 \neq ⟺ # {i : x_{i} < 0} > \frac{N}{2}$
4. Tatsächlich gemessen wurde an Ort 19 an Tag 8 ein Wert von −3,86 K. Das Mittel lag beim Vorzeichen der Antwort falsch. Das Ensemble lag nicht falsch. Es sagte dem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von vier zu zehn voraus, und das Eintreffen eines solchen Ereignisses bedeutet keine gescheiterte Vorhersage.
  
  $T_{19} (d = 8) = - 3.86 K$
5. Dieser letzte Satz ist nur dann vertretbar, wenn 40 % auch wirklich 40 % bedeuten. Ein einzelner Fall reicht als Beweis nicht aus. Das vierte Diagramm zeigt dir die Messdaten: 1.600 Ortstage bei dieser Vorlaufzeit, sortiert nach der vom Ensemble ausgegebenen Wahrscheinlichkeit. Von den Vorhersagen im Bereich von 30 % bis 40 % (das waren insgesamt 130) trafen 29 % tatsächlich ein. Beim Bereich von 60 % bis 70 % lag der Anteil bei 66 %. Du kannst die Wahrscheinlichkeiten des Ensembles beruhigt wörtlich nehmen, weil sie systematisch überprüft wurden. Nicht einfach nur, weil sie aus einem Modell stammen.
  
  $Pr (T < 0 ∣ P \in [0.3, 0.4]) = \frac{38}{130} = 29%, Pr (T < 0 ∣ P \in [0.6, 0.7]) = \frac{57}{87} = 66%$
6. Die Wahl dieses Beispiels ist ehrlich gemeint. Dieser Tag wurde bewusst ausgesucht, um das Versagen zu demonstrieren. An den meisten Tagen sind sich das Mittel und das Ensemble einig, auf welche Seite eines Schwellenwerts das Wetter fällt. Es geht nicht darum, dass das Mittel meistens falsch liegt. Der Punkt ist, dass das Mittel eine Frage dieser Art überhaupt nicht beantworten kann, während die Mitglieder genau das leisten.
7. Wo die Seite aufhört: Eine echte Frostwarnung wägt die Kosten eines fälschlicherweise ruhigen Tages gegen die Kosten eines Fehlalarms ab. Für diese Berechnung braucht man den Wert beider Fehler. Keine Atmosphäre liefert solche Zahlen. Auf unserer eigenen Seite zur Kalibrierung wird die Frage, ob 40 % wirklich 40 % bedeuten, im Detail behandelt.
Antwort

Veröffentliche 40 %, nicht „kein Frost“. Das Mittel lag bei +1,44 K. 20 der 50 Mitglieder lagen unter null, und das Ergebnis war −3,86 K. Das Mittel hat eine Frage beantwortet, die niemand gestellt hat.

$P = \frac{20}{50} = 40% \overset{x}{ˉ} = + 1.44 K T = - 3.86 K$

Lernpfad

Wie eine Wettervorhersage entsteht

Quellen (5)

The seminar the model comes from, where Lorenz wrote it down as a toy atmosphere rather than as a chaotic curiosity: E. N. Lorenz, "Predictability: A problem partly solved." Proc. ECMWF Seminar on Predictability, Vol. 1, Reading, ECMWF, 1996, pp. 1-18.
The paper that put the model into general use, and the source of the K = 40, F = 8 settings this page runs: E. N. Lorenz and K. A. Emanuel, "Optimal Sites for Supplementary Weather Observations: Simulation with a Small Model." Journal of the Atmospheric Sciences 55(3), 1998, pp. 399-414. DOI 10.1175/1520-0469(1998)055<0399:OSFSWO>2.0.CO;2
What an operational ensemble actually is, including why real ones are under-dispersive and why their perturbations are chosen rather than drawn at random: M. Leutbecher and T. N. Palmer, "Ensemble forecasting." Journal of Computational Physics 227(7), 2008, pp. 3515-3539. DOI 10.1016/j.jcp.2007.02.014
Where the fourth panel comes from: the decomposition that separates "were the probabilities honest" from "did they say anything useful", which is why a reliability curve is read as a curve rather than scored as a number: A. H. Murphy, "A New Vector Partition of the Probability Score." Journal of Applied Meteorology 12(4), 1973, pp. 595-600. DOI 10.1175/1520-0450(1973)012<0595:ANVPOT>2.0.CO;2
And the 1963 paper the whole subject starts from, which is a different model and a different lesson: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.