Wetter auf einem Gitter

Eine Vorhersage ist ein Feld auf einem Gitter, das von einer Uhr vorangetrieben wird. Spielst du diese beiden gegeneinander aus, liefert dir ein physikalisch völlig korrektes Modell Zahlen, die keine Atmosphäre der Welt aushalten würde.

Rechenbeispiel — Wetter auf einem Gitter

Gitterabstand	1,000 km
Courant-Zahl	1,000
Wie weit der Wind in einem Schritt weht	1,000 km
Bleibt dieser Durchlauf stabil?	ja
Erhaltene Höhe der Struktur	100,0 %
Fehler gegenüber der exakten Lösung	5,4 × 10⁻²²
Größter aufgetretener Wert	1,000
Simuliertes Wetter	11,11 h

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Lektion

Die Theorie — Wetter auf einem Gitter

Ein Vorhersagemodell erfasst die Atmosphäre als Zahlen auf einem Gitter und bewegt sie in Zeitschritten vorwärts. Das Einfachste, was es tut, ist Advektion: Wind trägt ein Muster weiter, ∂u/∂t + c ∂u/∂x = 0. Diese Seite löst das auf einem Ring mit einem Umfang von 160 km. Diese Wahl ist entscheidend, denn Advektion hat eine exakte Lösung. Nach einer Zeit t ist das Feld lediglich das um c·t verschobene Anfangsfeld, mehr nicht. Deshalb wird jeder hier gemeldete Fehler an der Realität gemessen und nicht an einem noch feineren Durchlauf. Die Courant-Zahl ν = c·Δt/Δx gibt an, wie viele Zellen der Wind in einem Schritt überquert. Die CFL-Bedingung ν ≤ 1 ist die Regel, an die sich die expliziten Verfahren hier halten oder an der sie scheitern. Courant, Friedrichs und Lewy veröffentlichten sie 1928, achtzehn Jahre bevor irgendjemand eine numerische Vorhersage rechnete.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

c: die Windgeschwindigkeit in m/s. Hier konstant; in einem echten Modell ist sie Teil der Lösung und keine bloße Einstellung
Δx: der Gitterabstand, also 160 km geteilt durch die Anzahl der Zellen
Δt: der Zeitschritt in Sekunden
ν: die Courant-Zahl, c·Δt/Δx. Alles auf dieser Seite dreht sich darum, ob sie über oder unter 1 liegt
N: Zellen um den Ring, von 10 bis 400

Setzt voraus: Eine Gleichung, eine Dimension, eine Windgeschwindigkeit und ein Ring ohne Ränder. Da die exakte Lösung bekannt ist, stammt der gemeldete Fehler ausschließlich vom Verfahren selbst. Es wird außerdem ein explizites Verfahren vorausgesetzt, bei dem jeder neue Wert nur aus alten Werten berechnet wird. Genau um diese Annahme geht es bei der CFL-Bedingung im Kern, und sie ist jene, der sich ein echtes Modell teilweise entzieht.
Versagt, wenn: Bei fast allem, womit es ein Wetterzentrum zu tun hat. Ein echtes Modell rechnet mit mehreren Wellengeschwindigkeiten gleichzeitig, und die schnellste ist der Schall mit etwa 340 m/s. Die CFL-Bedingung für Schallwellen einzuhalten, die niemand vorhersagen will, würde einen Zeitschritt erzwingen, der dreißigmal kleiner ist, als das Wetter es erfordert. Deshalb arbeiten operationelle Modelle semi-implizit und behandeln diese Wellen separat. Der Wind ist auch nicht konstant, also muss ν den stärksten Wind auf dem gesamten Gitter aushalten und nicht nur einen Durchschnittswert. Ein Modell mit begrenztem Gebiet hat Ränder, und wie man damit umgeht, ist ein eigenes Forschungsfeld. Ein implizites Verfahren entgeht dem CFL-Limit vollständig, zahlt dafür aber den Preis, bei jedem Schritt ein Gleichungssystem lösen zu müssen, anstatt nur ein Array zu durchlaufen.

Die Uhr wird vom Gitter vorgegeben, nicht von der Gleichung 🖖

Klick auf Genau auf der Kante und dann auf Feineres Gitter, gleicher Takt. Gleicher Wind, gleicher Zeitschritt, gleiche Gleichung; die Zellen schrumpfen von 1 km auf 667 m und sonst ändert sich nichts. Der erste Durchlauf ist exakt. Der zweite überschreitet bei Schritt 44 das Zehnfache seines Anfangsmaximums und erreicht 1,8 × 10³⁰. Die dritte Zeile der Tabelle verrät warum: Der Wind legt in einem Schritt von 100 s 1,000 km zurück. Solange eine Zelle mindestens so breit ist, stammt die darin eintreffende Luft von irgendwo zwischen der Zelle und ihrem luvseitigen Nachbarn. Der neue Wert ist also eine Mischung aus diesen beiden. Genau das macht das Upwind-Verfahren. Machst du die Zelle schmaler als das, kommt die eintreffende Luft von weiter hinten als der Nachbar, den das Verfahren abfragt. Das Gewicht für den eigenen Wert der Zelle, 1 − ν, wird negativ. Ein negatives Gewicht bildet keinen Mittelwert. Es verstärkt. ν = c·Δt/Δx ≤ 1 ist dieser Satz in Symbolen. Ein Gitter zu verfeinern, verbessert die Physik und gefährdet die Arithmetik, und die Gleichungen sagen darüber nichts aus.

Die Grenze zu überschreiten, bricht eine Vorhersage nicht ab. Es legt nur fest, dass sie scheitert. 🖖

Das zweite Panel variiert die Courant-Zahl und zählt die Schritte, bis das Feld sich verzehnfacht. Bei 1,05 dauert das 330 Schritte; bei 1,2 sind es 93; bei 2,0 nur 19. Knapp über der Grenze, bei 1,01, braucht es 1.588 Schritte – mehr als die ersten drei Voreinstellungen zusammen ausführen. In diesen frühen Schritten sieht nichts falsch aus. Das Wachstum ist exponentiell, und exponentielles Wachstum ist unsichtbar, bis es das plötzlich nicht mehr ist. Ein Meteorologe, der den Output liest, hat die Rechenzeit bereits verbraucht. Die Courant-Zahl lässt sich aus drei Zahlen ablesen, bevor der Durchlauf überhaupt beginnt. Genau dort liest ein operationelles Zentrum sie auch ab.

Die genaueste Einstellung ist die am Rande des Scheiterns 🖖

Bei genau ν = 1 ist das Upwind-Verfahren nicht nur genau. Es ist exakt: Der Fehler gegenüber dem wahren Ergebnis beträgt 5,4 × 10⁻²² und das Wetterphänomen behält 100,0 % seiner Höhe. Denn eine Courant-Zahl von 1 macht jeden Schritt zu einer sauberen Verschiebung um eine Zelle, und eine Verschiebung ist alles, was Advektion je war. Jeder kleinere Wert verschmiert das Phänomen auf Nachbarn, die der Wind noch nicht erreicht hatte. Über dieselben 11,11 simulierten Stunden auf demselben 1-km-Gitter behält ν = 0,99 noch 94,3 %, ν = 0,90 noch 66,7 %, ν = 0,50 noch 37,1 % und ν = 0,25 noch 31,0 %. Aus Sicherheitsgründen vom Grenzwert abzurücken, ist die denkbar einfachste Art, ein Wetterphänomen zu verlieren. Und das offensichtliche Gegenmittel ist schlimmer als die Krankheit: Klick auf Das bessere Verfahren und sieh zu, wie eine Methode, deren Abbruchfehler eine Größenordnung kleiner ist als der des Upwind-Verfahrens, in Schritt 39 bei der halben Courant-Grenze explodiert.

Aufgabe vollständig gelöst

Das Modell mit 4 km braucht 40 Minuten. Was kosten 500 m? 7 Schritte
Ein Vorhersagemodell mit 4 km Gitterweite berechnet sein Gebiet in 40 Minuten Rechenzeit. Du wirst gefragt, was dieselbe Vorhersage bei 500 m kosten würde. Rechne das aus, bevor du weiterliest, und achte darauf, welchen der drei Faktoren du nicht erwartet hättest. Klick auf Genau an der Grenze, um das Werkzeug auf die Zeile für 1 km in der Tabelle zu setzen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Fang mit den Zellen an. Den Abstand zu halbieren, verdoppelt die Anzahl entlang jeder Seite. Ein Vorhersagegebiet hat zwei horizontale Dimensionen, eine Halbierung führt also zu viermal so vielen Zellen: 4 km ergeben 40 × 40, während 2 km 80 × 80 bedeuten.
  
  $N_{2 km}^{2} / N_{4 km}^{2} = \frac{8 0 ^{2}}{4 0 ^{2}} = 4$
2. Nun zum Faktor, der die Leute überrascht. Über den Zeitschritt kannst du nicht frei verfügen. Die CFL-Bedingung bindet ihn an den Gitterabstand, eine Halbierung von Δx halbiert also auch das größtmögliche erlaubte Δt. Bei einem Wind von 10 m/s und ν = 0,9 erlaubt ein Gitter von 4 km einen Zeitschritt von 360 s, ein Gitter von 2 km erlaubt 180 s. Die Schritte für einen simulierten Tag steigen von 240 auf 480.
  
  $Δ t \leq \frac{ν Δ x}{c} : \frac{0 . 9 \cdot 4000}{10} = 360 s ⟶ \frac{0 . 9 \cdot 2000}{10} = 180 s$
3. Multipliziere sie. Viermal so viele Zellen und doppelt so viele Schritte ergeben die achtfache Rechenarbeit für eine einzige Halbierung: 384.000 Zellaktualisierungen pro Tag bei 4 km gegenüber 3.072.000 bei 2 km. Die letzte Spalte der Tabelle zeigt in jeder Zeile 8,00. Das ist der exakte Faktor, keine Schätzung.
  
  $Δ x 8 km 4 km 2 km 1 km 500 m cells 2 0^{2} 4 0^{2} 8 0^{2} 16 0^{2} 32 0^{2} Δ t_{m a x} 720 s 360 s 180 s 90 s 45 s steps/day 120240480960 1, 920 updates/day 48, 000 384, 000 3, 072, 000 24, 576, 000 196, 608, 000 \times 8888 4 (cells) \cdot 2 (steps) = 8 per halving$
4. Von 4 km auf 500 m sind es drei Halbierungen, der Faktor lautet also 8³ = 512. Die Tabelle stimmt von vorne bis hinten überein: 384.000 Aktualisierungen pro Tag bei 4 km, 196.608.000 bei 500 m.
  
  $8^{3} = 512$
5. Aus den 40 Minuten werden 40 × 512 = 20.480 Minuten, was zwei Wochen für einen einzigen Wettertag entspricht. Das ist die Antwort darauf, warum ein Vorhersagegitter genau die Größe hat, die es hat, und nicht so fein ist, wie man es sich wünschen würde. Und es erklärt, warum ein Rechenzentrum, das die doppelte Auflösung anstrebt, eine achtmal so starke Maschine kaufen muss.
  
  $40 min \cdot 512 = 20, 480 min = 14.2 days$
6. Diese Schätzung ist ehrlich, was ihre Grenzen angeht. Sie geht davon aus, dass sich die Rechenarbeit pro Zellaktualisierung nicht ändert. Das stimmt für einen Advektionsterm in etwa und wird zunehmend optimistisch, je komplexer die Physik wird. Sie nimmt an, dass ν bei 0,9 bleibt, was kein echtes Modell versprechen kann. Denn ν muss dem stärksten Wind auf dem Gitter standhalten, und ein Jetstream hält keine Rücksprache mit dem Modellentwickler.
7. Wo diese Seite aufhört: Ein Wetterzentrum, das mit dieser Arithmetik konfrontiert ist, zahlt diesen Preis nicht einfach blind. Ein Teil des Faktors wird durch ein semi-implizites Verfahren zurückgewonnen. Das umgeht die CFL-Bedingung für die schnellen Wellen, was allerdings bei jedem Schritt die Lösung eines Gleichungssystems erfordert. Ein weiterer Teil wird eingespart, indem man hohe Auflösung nur dort einsetzt, wo sie benötigt wird – etwa in einem verschachtelten oder variablen Gitter. Beides ist real, nichts davon ist umsonst, und diese Seite berechnet keines von beiden.
Antwort

512-mal so viel Arbeit, also grob zwei Wochen für einen einzigen Vorhersagetag. Viermal so viele Zellen und doppelt so viele Schritte pro Halbierung, drei Halbierungen, 8³ = 512. Der Faktor, den niemand erwartet, ist der dritte: Die Courant-Bedingung verbraucht deinen Zeitschritt.

$8^{3} = 51240 min \cdot 512 \approx 14 days$

Lernpfad

Wie eine Wettervorhersage entsteht

Quellen (4)

The condition itself, published in 1928 — eighteen years before anyone integrated a forecast, and about hyperbolic equations rather than about weather: R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik." Mathematische Annalen 100(1), 1928, pp. 32-74. DOI 10.1007/BF01448839
The first numerical forecast that worked, and the paper that had to choose a grid and a time step to make it work: J. G. Charney, R. Fjørtoft and J. von Neumann, "Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation." Tellus 2(4), 1950, pp. 237-254. DOI 10.3402/tellusa.v2i4.8607
Richardson's 1922 attempt, which is where the subject starts and where the arithmetic first bit — his six-hour forecast of pressure change came out 145 hPa, against a real change of almost nothing: L. F. Richardson, Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.
Where the stability analysis of these two schemes is done properly, including why a second-order centred difference is unconditionally unstable for pure advection: D. R. Durran, Numerical Methods for Fluid Dynamics: With Applications to Geophysics, 2nd edition. Springer, 2010.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.