Raketenabfang & Proportionalnavigation

Ein Abfangflugkörper bei (22, 2) km mit einer Geschwindigkeit von 1500 m/s, ein Ziel bei (5, 19) km mit 900 m/s auf einem Steuerkurs von -14° und der Abfangflugkörper direkt entlang der Sichtlinie gestartet. Welche Querbeschleunigung fordert die Proportionalnavigation im ersten Augenblick bei einer Navigationskonstante N = 3 – und warum fordert sie überhaupt etwas, wenn der Flugkörper bereits exakt auf das Ziel gerichtet ist?

1. Subtrahieren Sie die beiden Positionen: 17 km nach links und 17 km nach oben. Die 45°-Symmetrie ist ein Glücksfall, da R² exakt 578 ergibt und jeder der folgenden Schritte dadurch teilt.

   $$\vec{r}=(5-22,19-2)=(-17,17)\mathrm{km};R=17\sqrt{2}=24.04\mathrm{km};\lambda =atan2(17,-17)=135.0^{\circ }$$

2. Das Ziel manövriert in diesem Abfangvorgang nicht, sodass sich sein Geschwindigkeitsvektor nie ändert. Zerlegen Sie ihn einmal und verwenden Sie ihn wieder.

   $${\vec{v}}_T=900(\cos (-14^{\circ }),\sin (-14^{\circ }))=(873.3,-217.7)m/s$$

3. Der Abfangflugkörper wird entlang der Sichtlinie gestartet, sodass sein Steuerkurs ψ₀ ebenfalls 135° beträgt. Subtrahieren Sie die beiden Geschwindigkeiten, und Sie erhalten den einzigen Vektor, den das Lenkgesetz überhaupt berücksichtigt.

   $${\psi }_0=\lambda ⟹{\vec{v}}_I=(-1060.7,1060.7);{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}={\vec{v}}_T-{\vec{v}}_I=(1933.9,-1278.4)m/s$$

4. Die Annäherungsgeschwindigkeit ist derjenige Teil der Relativgeschwindigkeit, der entlang der Sichtlinie liegt, mit umgekehrtem Vorzeichen, sodass eine Annäherung positiv zählt. Nur dieser Teil verringert die Entfernung.

   $$V_c=-\frac{\vec{r}\cdot {\vec{v}}_{\mathrm{rel}}}{R}=\frac{54.609}{24.0416}=2.2714km/s=2271m/s$$

5. Der verbleibende Teil der Relativgeschwindigkeit zeigt quer zur Sichtlinie, und genau dieser lässt die Peilung drehen. Dividieren Sie ihn durch die Entfernung, um die Drehrate zu erhalten. Sie ist nicht null – trotz der perfekten Ausrichtung handelt es sich also nicht um einen Kollisionskurs.

   $$\dot{\lambda }=\frac{r_x{v}_{\mathrm{rel},y}-r_y{v}_{\mathrm{rel},x}}{R^2}=\frac{21.733-32.877}{578}=-0.0193rad/s=-1.10^{\circ }/\mathrm{s}$$

6. Die Proportionalnavigation multipliziert diese beiden Messwerte miteinander, skaliert das Ergebnis mit N und bezeichnet das Produkt als Beschleunigung. Nichts im Lenkgesetz weiß, wohin sich das Ziel bewegt; es weiß nur, wie schnell die Peilung driftet und wie schnell sich die Entfernung verringert – das ist alles.

   $$a_{\mathrm{cmd}}=N{V}_c\dot{\lambda }=3(2271)(-0.019280)=-131.4m/{\mathrm{s}}^2=13.4g$$

7. Bestimmen Sie nun dieselbe Rate auf einem zweiten Weg, ganz ohne Skalarprodukte. Zerlegen Sie die Eigengeschwindigkeit des Ziels senkrecht zur Sichtlinie.

   $$\hat{p}\perp \vec{r}:{\vec{v}}_T\cdot \hat{p}=900\sin (-14^{\circ }-135^{\circ })=-900\sin 31^{\circ }=-463.5m/s$$

8. Der Abfangflugkörper trägt nichts quer zur Sichtlinie bei, da er entlang dieser gestartet wurde. Die gesamten 463,5 m/s der Querdrift entfallen auf das Ziel, und die Division durch die 24.042 m Entfernung reproduziert Schritt 5 exakt.

   $${\vec{v}}_I\cdot \hat{p}=0⟹\dot{\lambda }=\frac{{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}\cdot \hat{p}}{R}=\frac{-463.5}{24042}=-0.0193rad/s$$