Lektion
Die Theorie — Stückweise-Funktionen-Labor
Eine abschnittsweise definierte Funktion ist nicht eine Regel mit einer Ausnahme, sondern zwei vollständige Regeln plus die Angabe, welche wo gilt. Hier bestimmt eine lineare Regel alles unterhalb eines Knickpunkts c und eine zweite alles ab c. Die interessante Frage ist nie, was die einzelnen Stücke tun — es sind bloß Geraden —, sondern was an der Nahtstelle passiert.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
c- der Knickpunkt: der Eingabewert, bei dem die Regel wechselt.
f(c⁻)- wohin das linke Stück strebt, wenn
xsichcvon unten nähert. Ein Grenzwert, kein Funktionswert: beicgilt die linke Regel nicht mehr. f(c⁺)- der Wert, den das rechte Stück bei
ctatsächlich annimmt — und zugleich der Funktionswert dort. jumpf(c⁺) − f(c⁻). Genau dann null, wenn die beiden Stücke zusammentreffen.
Woher die Formel kommt
- Schreibe die Definition samt Bedingung aus:
f(x) = m₁x + b₁fürx < cundf(x) = m₂x + b₂fürx ≥ c. Achte darauf, welchem Stück der Knickpunkt selbst gehört — hier dem rechten, weshalb die Grafik am linken Ast einen offenen Kreis und am rechten einen gefüllten Punkt zeigt. - Bei
chat die Funktion einen Wert aus der rechten Regel,m₂c + b₂. Die linke Regel hat dort keinen Wert, wohl aber ein Ziel: Steigtxgegenc, so nähert sichm₁x + b₁dem Wertm₁c + b₁. Das ist der linksseitige Grenzwert. - Stetigkeit an einer Stelle heißt, dass die Grenzwerte von beiden Seiten und der Funktionswert übereinstimmen. Rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert sind hier dasselbe, zwei von drei sind also automatisch erfüllt, und die ganze Bedingung fällt auf eine Gleichung zusammen:
m₁c + b₁ = m₂c + b₂. - Eine Gleichung, und jeder einzelne Koeffizient lässt sich so verschieben, dass sie erfüllt ist:
b₂ = (m₁ − m₂)c + b₁. Stetigkeit ist damit immer erreichbar und nie umsonst — man muss einen Parameter dafür ausgeben. Tut man es nicht, ist der Rest genau das, was die Anzeige Sprung nennt:(m₂c + b₂) − (m₁c + b₁).
So liest du, was du siehst
Das blaue Segment ist die linke Regel, das orange die rechte, und jedes ist so weit gezeichnet, wie seine eigene Bedingung reicht. Am Knickpunkt endet der blaue Ast in einem offenen Kreis — einem Ziel, das er nie einnimmt —, und der orange beginnt mit einem gefüllten Punkt, dem tatsächlichen Wert von f(c). Fallen beide zusammen, liegen die Kreise übereinander und in der Sprungzeile steht 0. Der petrolfarbene Punkt ist f(x₀) für das, was du ins Auswertungsfeld schreibst, und die letzten drei Zeilen übersetzen das Bild in Zahlen: ob die Stücke zusammentreffen, wie stark sich die Steigung beim Überschreiten ändert, und ob der Sprung nach unten einen Bereich von Eingaben erzeugt, die mehr kosten als der Knickpunkt selbst.
- Setzt voraus
- Beide Stücke sind Geraden, es gibt genau einen Knickpunkt, und er liegt an einer bekannten Stelle. Die halboffene Konvention ist wichtig und eine Wahl: Die rechte Regel besitzt
x = c, also istf(c)gleichm₂c + b₂. Kehrt man die Konvention um, ändert sich der Wert an der einen Stellec, der Sprung aber nicht. - Versagt, wenn
- Richtig heikel wird es, wenn
cnicht bekannt, sondern geschätzt ist. Ein aus denselben Daten geschätzter Knickpunkt, mit denen auch die Geraden angepasst werden, ist ein Parameter, der zur Fehlerminimierung gewählt wurde — die üblichen Standardfehler der Regression sind dann zu klein und die Anpassung sieht besser aus, als sie ist. Genau dafür gibt es die Verfahren der segmentierten Regression. Und ein Zwei-Stücke-Modell sagt überhaupt nichts über ein drittes Regime: Wer eine der Geraden über den beobachteten Bereich hinaus verlängert, unterstellt eine Regel, die er nie geprüft hat.
Aufgabe vollständig gelöst
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Ein Tarif-Schwellenwert bei 5 und der Bereich, in dem mehr kaufen weniger kostet 6 Schritte
Ein Tarif berechnet 2x + 3 unterhalb einer Sprungstelle bei 5 und 0,8x + 8 darüber. Bestimmen Sie den Wert bei 7 — und finden Sie dann den Bereich, in dem mehr zu kaufen weniger kostet.
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Zwei Geraden und eine Regel dafür, welche gilt. Die einzige Sorgfalt betrifft die Grenze: Bei genau x = 5 gilt der zweite Abschnitt.
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Nähern Sie sich der Sprungstelle von beiden Seiten. Der linksseitige Grenzwert und der tatsächliche Wert stimmen nicht überein, und das Ausmaß der Abweichung ist die Sprunghöhe.
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Auch die Steigungen stimmen nicht überein, und zwar unabhängig voneinander. Eine Funktion kann stetig sein mit einem Knick, oder springen ohne Knick; diese hier tut beides.
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Nun zur interessanten Frage. Bestimmen Sie, wo der erste Abschnitt bereits über den Wert angestiegen ist, bei dem der zweite Abschnitt beginnt.
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Diese Ungleichung gilt von 4,5 bis zur Sprungstelle, und auf diesem gesamten Intervall ist der größere Kauf der günstigere.
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Die Bedingung, die dieses Fenster beseitigen würde, ist es wert, aufgeschrieben zu werden, denn genau sie wird von einer gut konstruierten Tarifordnung erfüllt.
Antwort
13,6, und zwischen 4,5 und 5 sollte man immer 5 kaufen. Der zweite Abschnitt beginnt bei 12, während der erste Abschnitt noch darüber hinaus ansteigt; wer sich in diesem Fenster befindet, zahlt also mehr für weniger. Das Fenster ist kein Rundungsartefakt — es macht 10 % des gesamten ersten Intervalls aus und ist genau das, was ein unstetiger Tarif mit sich brings. Reale Tarifordnungen vermeiden dies, indem sie die Abschnitte aneinanderfügen: Stetigkeit erfordert b₂ − b₁ = (m₁ − m₂)c, was hier erfordern würde, dass 5 gleich 6 ist. Grenzsteuerstufen sind bewusst so aufgebaut, weshalb der Volksglaube, eine Gehaltserhöhung könne das Nettoeinkommen verringern, für die Einkommensteuer falsch ist und für fast jeden jemals gedruckten Mengenrabatt wahr.
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Quellen (2)
- The theory section ends on what happens when the breakpoint is estimated rather than known. This is the method that handles it: V. M. R. Muggeo, "Estimating regression models with unknown break-points." Statistics in Medicine 22(19), 3055–3071, 2003.
- Insight block 3 — the piecewise-linear kink at the centre of modern networks: X. Glorot, A. Bordes and Y. Bengio, "Deep Sparse Rectifier Neural Networks." Proceedings of the 14th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS), PMLR 15, 315–323, 2011.