Stückweise-Funktionen-Labor
Verwende zwei lineare Regeln, die bei x = c aufgeteilt sind, und werte Funktionswerte und Sprungverhalten aus.
Kalkül diskontinuierlicher Subdomänen 🖖
Stückweise Funktionen modellieren abrupte systemische Phasenverschiebungen. Durch analytische Regeln über disjunkte Intervalle konfrontieren wir essentielle Diskontinuitäten. Die einseitigen Grenzwerte am Haltepunkt bestimmen, ob das System topologische Kontinuität bewahrt.
Eine Funktion, zwei Regeln 🖖
Ein stückweises Modell verwendet unterhalb der Übergangsstelle c eine lineare Regel und oberhalb eine andere — wie ein Taxameter, das zunächst einen Tarif und später einen günstigeren berechnet. Die beiden Stücke schließen nur dann glatt aneinander an, wenn sie bei c übereinstimmen: stetig genau dann, wenn m1·c + b1 = m2·c + b2. Sonst zeigt die Anzeige einen Sprung — der Graph springt an der Nahtstelle nach oben oder unten.
Der Knick, der Deep Learning antreibt 🖖
Die Aktivierungsfunktion hinter den meisten modernen neuronalen Netzen, ReLU, ist nichts anderes als eine stückweise lineare Funktion: Steigung 0, solange x negativ ist, und Steigung 1, sobald es positiv wird, verbunden an der Übergangsstelle x = 0. Sie ist dort stetig, besitzt aber keine Ableitung — eine scharfe Ecke, keine glatte Kurve. Stapelt man Millionen dieser Einheiten, berechnet das gesamte Netz noch immer eine einzige riesige stetige stückweise lineare Funktion.
Beispielaufgaben
- Taxitarif-Modell - Zweistufiges lineares Kostenmodell mit Knickpunkt bei x=5.
- Mengenrabatt-Modell - Eine Ratenänderung nach dem Schwellenwert bildet einen Mengenrabatt ab.
- Abkühlphasen - Stückweises Abklingmodell mit geringerer Steigung im zweiten Abschnitt.