Dies ist eine maschinelle Übersetzung; der englische Text ist das Original. Originalartikel lesen
Sie haben eine Ziffer eingegeben. Die Antwort kam mit sechs zurück.
Parallaxe: 0,2 Bogensekunden rein; 16,3078 Lichtjahre raus. Die Eingabe enthält eine signifikante Stelle. Die Ausgabe zeigt sechs.
Geben Sie 0,2 in das parallax tool ein. Es antwortet: 5 pc, 16,3078 Lichtjahre, 1.031.325 AU.
Die von Ihnen eingegebene Parallaxe hat eine signifikante Stelle. Die letzte dieser Antworten wird auf sieben Stellen angegeben. Irgendwo zwischen dem Eingabefeld und der Anzeige wurden sechs Ziffern Präzision erzeugt, die nie gemessen wurden.
Was die zusätzlichen Ziffern tatsächlich aussagen
Sie lügen nicht wirklich. Sie beantworten nur eine andere Frage als die, die Sie gestellt haben.
„16,3078 Lichtjahre“ ist die richtige Antwort auf wie groß wäre die Entfernung, wenn die Parallaxe exakt 0,2000000 betrüge? Das ist eine Frage der Arithmetik, und das Werkzeug beantwortet sie perfekt. Die Frage, die Sie meinten, lautete wie weit ist dieser Stern entfernt?, und diese trägt Ihre Unsicherheit mit sich.
Bei einem Kehrwert ist die Umrechnung ungewöhnlich einfach. Da d = 1/p ist, wird bei kleinen Fehlern ein relativer Fehler in p annähernd zu demselben relativen Fehler in d. Wenn diese 0,2 also in Wirklichkeit 0,2 ± 0,01 bedeutet — eine ordentliche Messung —, beträgt die Entfernung 5 pc ± 0,25, und die Angabe von 16,3078 ly gibt vor, die Antwort tausendmal besser zu kennen als Sie. Wenn sie 0,2 ± 0,05 bedeutet, was eine signifikante Stelle ehrlicherweise impliziert, liegt der Stern irgendwo zwischen 4 und 6,7 Parsec, und die vierte Nachkommastelle ist reine Fiktion.
Die zugrundeliegende Regel ist diejenige, die in jedem Praktikum gelehrt und in jeder Tabellenkalkulation vergessen wird: Ein Ergebnis kann nicht präziser sein als der ungenaueste Wert, der in seine Berechnung eingegangen ist. Multiplikation und Division übertragen signifikante Stellen; Addition überträgt Nachkommastellen. Nichts in einem Rechner setzt eines von beiden durch.
Kehrwerte sind der gefährliche Fall
Es lohnt sich, beim Parallaxenbeispiel zu verweilen, weil sich 1/p in eine bestimmte Richtung ungünstig verhält.
Nehmen wir p = 0,2 ± 0,05, sodass p von 0,15 bis 0,25 reicht. Dann reicht d = 1/p von 6,67 pc hinunter bis 4,00 pc. Die Entfernung beträgt nicht 5 ± 1,25 — der Fehlerbalken ist asymmetrisch, 1,67 nach oben und 1,00 nach unten, weil der Kehrwert das untere Ende von p dehnt und das obere staucht. Eine symmetrische Unsicherheit der Messgröße wird zu einer asymmetrischen Unsicherheit des gesuchten Werts.
Diese Asymmetrie verschlimmert sich, je kleiner p wird — genau dort, wo die Astronomie hinwill. Bei p = 0,02 ± 0,005 reicht die Entfernung von 40 bis 66,7 pc: ein angegebener Wert von 50 pc mit einer Spanne, die zwei Drittel des Wertes selbst umfasst. Das ist keine theoretische Gefahr. Es ist der Grund dafür, dass Kataloge mit Entfernungen schwacher Sterne als Parallaxen mit Unsicherheiten angegeben werden und gar nicht erst als Entfernungen — die Rohmessung hat einen gutmütigen Fehler, die nützliche Zahl hingegen nicht.
Warum zeigt diese Website sie also an?
Weil die Ziffern hier eine andere Aufgabe erfüllen, und es lohnt sich, explizit zu machen, welche das ist.
Diese Werkzeuge sind dafür da, interaktiv bewegt zu werden. Der Grund, warum eine Anzeige vier Nachkommastellen hat, liegt darin, dass das Anstupsen eines Reglers eine sichtbare Änderung erzeugt — wenn die Verstärkungsanzeige auf 6,7 runden würde, ginge die Hälfte des Nutzens beim Bewegen des Dämpfungsreglers verloren, und das Verhältnis zwischen zwei Eingaben bliebe unsichtbar. Die Ziffern sind da, um Bewegung zu zeigen, nicht um Genauigkeit zu behaupten.
Das ist eine vertretbare und zugleich eine denkbar unhandliche Entscheidung, weil dieselben Zeichen in einem Versuchsprotokoll etwas anderes bedeuten. Daher gilt: Die Ziffern auf diesen Seiten sind im arithmetischen Sinne präzise und sagen absolut nichts darüber aus, wie gut etwas bekannt ist. Wenn Sie eine Zahl von einem dieser Werkzeuge in eine reale Arbeit übernehmen, entscheidet die Präzision der Eingabe — nicht die der Anzeige.
Zwei Werkzeuge auf der Website verfolgen den entgegengesetzten Ansatz und sind wegen des Kontrasts einen Besuch wert. Das confidence interval-Werkzeug weigert sich völlig, eine einzelne Zahl zu liefern, weil sein gesamtes Thema darin besteht, dass ein Intervall die ehrliche Antwort ist. Und der sample size-Rechner verlangt von Ihnen, die Fehlerspanne zuerst anzugeben — Sie geben die Präzision an, für die Sie zu zahlen bereit sind, und er nennt Ihnen die Kosten. Beide sind so gebaut, dass Präzision eine Eingabe ist und kein Zufall der Formatierung.
Zwei Stellen sind meist die Antwort
Ehrenbergs Argument aus dem Jahr 1977 ist nach wie vor aktuell: Die meisten Zahlen sollten auf zwei signifikante Stellen angegeben werden, weil das ungefähr das ist, was Menschen im Kopf behalten und vergleichen können, und meist ohnehin alles, was die Daten hergeben. Auf zwei Stellen gerundete Tabellen werden gelesen; Tabellen mit sechs Stellen werden übersprungen.
Sein Test lässt sich gut auf alles anwenden, was man selbst erstellt. Decken Sie die nachstehenden Ziffern mit dem Daumen ab. Wenn der Satz, den Sie schreiben wollten, immer noch wahr ist, trugen sie nie Bedeutung — sie trugen den Eindruck von Bedeutung, was schlimmer ist, als gar nichts zu tragen.
16,3078 Lichtjahre ist, mit dem Daumen darüber, „etwa 16 Lichtjahre“, und das ist der gesamte Gehalt der Messung.