Stichprobenumfang- & Fehlerspannen-Planer

Umfrage-Stichprobenumfang und Präzision planen

Rechenbeispiel — Stichprobenumfang- & Fehlerspannen-Planer

Konfidenz	95% (z* = 1.96)
Fehlerspanne	5,0%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Eine landesweite Umfrage braucht nicht mehr Menschen als eine örtliche 🖖

Wie viele Menschen du brauchst, hängt kaum davon ab, wie viele es gibt. Bei 95 % Konfidenz und ±5 % verlangt dieses Werkzeug 385 Befragte, ob die Grundgesamtheit eine Million umfasst oder völlig unbegrenzt ist — beide ergeben genau dasselbe. Erst wenn die Grundgesamtheit auf etwa 5.000 schrumpft, greift die Endlichkeitskorrektur überhaupt, und selbst dann senkt sie 385 nur auf 357. Widerlegt wird damit die Vorstellung, eine Stichprobe müsse ein Prozentsatz des Ganzen sein — was Umfragen in einem ganzen Land aussichtslos machen würde. Worauf die Formel tatsächlich schaut, ist die zufällige Streuung, die du hinnehmen willst, und eine Grundgesamtheit von Millionen trägt dazu nichts Eigenes bei.

Warum Präzision quadratisch kostet 🖖

Dieser Planer beantwortet eine Frage: Wie viele Menschen musst du befragen, um einen Prozentsatz auf eine gewählte Fehlerspanne einzugrenzen? Weil die Spanne mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs sinkt, kostet doppelte Präzision viermal so viele Befragte — von ±3% auf ±1.5% vervierfacht n ungefähr. Ist der erwartete Anteil unbekannt, setze p = 0.5: das maximiert p(1−p) und ergibt den größten, sichersten Stichprobenumfang.

Als 2.4 Millionen Antworten irrten 🖖

Die Fehlerspannen-Formel misst nur den zufälligen Stichprobenfehler — sie setzt voraus, dass jeder Befragte rein zufällig ausgewählt wurde. 1936 befragte der Literary Digest rund 2.4 Millionen Menschen und sagte selbstsicher einen Sieg Landons über Roosevelt voraus; George Gallup traf es mit kaum 50,000 richtig. Die Liste des Digest übergewichtete Auto- und Telefonbesitzer während der Depression, sodass eine riesige, aber verzerrte Stichprobe einer kleinen, repräsentativen unterlag. Kein Stichprobenumfang heilt einen schiefen Auswahlrahmen.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Stichprobengröße für eine Umfrage mit ±5% Genauigkeit bei 95% Konfidenz 5 Schritte
Du möchtest eine Umfrage mit einer Genauigkeit von ±5% bei 95% Konfidenz. Leite den Stichprobenumfang ab — ermittle dann, was es kostet, den Fehler zu halbieren, und warum die Populationsgröße nie auftaucht.
1. Fehlermarge ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls für einen Anteil. Sie schrumpft mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs, woraus alles Überraschende resultiert.
  
  $ME = z^{*} \frac{p ( 1 - p )}{n}$
2. Stelle nach n um. Die 1.96 ist der Standardnormalverteilungswert, der 2.5% in jedem Ende abschneidet — sie ist eine Eigenschaft des Konfidenzniveaus, nicht deiner Daten.
  
  $n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}}, z^{*} = 1.96 at 95%$
3. Setze ein. Der Planer oben gibt dieses n aus, und die Antwort von 385 ist der Grund, warum so viele Umfragen rund tausend Befragte angeben.
  
  $n = \frac{1.9 6 ^{2} \times 0.25}{0.0 5 ^{2}} = \frac{0.9604}{0.0025} = 384.2 \to 385$
4. Beachte, dass p = 0.5 verwendet wurde, ohne den wahren Anteil zu kennen. Das ist Absicht: p(1−p) erreicht dort sein Maximum, sodass dies der ungünstigste Fall ist und der Stichprobenumfang sicher ist, wie auch immer die Antwort ausfällt.
  
  $p (1 - p) \leq 0.25 always, maximised at p = 0.5$
5. Halbiere nun den Zielfehler. Das Quadrat im Nenner richtet den Schaden an.
  
  $ME = 2.5% : n = \frac{0.9604}{0.000625} = 1537$
Antwort

385 Personen für ±5% und 1537 für ±2.5%. Vierfache Kosten zur Verdopplung der Präzision — das Wurzelgesetz in umgekehrter Richtung und der Grund, warum Umfragen bei einigen Tausend verharren, anstatt auf ±1% zu drängen, was 9604 erfordern würde. Die andere Überraschung ist das, was fehlt: Die Grundgesamtheit geht nie ein. Eine Stichprobe von 385 ist für eine Stadt mit 100 000 Einwohnern genauso genau wie für ein Land mit 100 Millionen, da die Schätzung davon abhängt, wie viele du befragt hast, nicht davon, wie viele du nicht befragt hast.

$n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}} = 385 ME halved \Rightarrow n quadrupled$

Lernpfad

Wann ist ein Unterschied echt?

Quellen (1)

The 1936 Literary Digest poll, and why 2.4 million responses lost to 50,000: P. Squire, "Why the 1936 Literary Digest Poll Failed." Public Opinion Quarterly 52(1), 125–133, 1988.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

Schnellumfrage 95/5 - 95% Konfidenz und ±5% Fehlerspanne -> klassische Planung einer schnellen Umfrage
eng gefasst 95/3 - Eine engere Genauigkeit von ±3% erfordert eine deutlich größere Stichprobe
endliche Grundgesamtheit - Die Endlichkeitskorrektur senkt das benötigte n bei kleinen Grundgesamtheiten
gegeben n=1000 - Bei gegebenem n=1000 die resultierende Fehlerspanne bei 95% Konfidenz berechnen