t-Test nach Student

Führe Hypothesentests durch, um zu prüfen, ob sich Mittelwerte signifikant unterscheiden.

Rechenbeispiel — t-Test nach Student

t-Statistik	4.1079
Freiheitsgrade	29
p-Wert	0.0002982

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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was p < 0,05 tatsächlich bedeutet 🖖

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik zu beobachten, die mindestens so extrem ist wie deine — unter der Annahme, dass H₀ zutrifft. Er ist NICHT die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ zutrifft. Ein p-Wert von 0,03 heißt: wäre die Nullhypothese wahr, würdest du ein so extremes Ergebnis nur in 3 % der Fälle zufällig sehen — ungewöhnlich genug, um sie zu verwerfen. Ein Signifikanzniveau von 5 % heißt aber auch, dass 1 von 20 Tests eine wahre Nullhypothese rein zufällig verwirft (Fehler 1. Art). Ein kleineres α ist strenger, erhöht aber die Fehler 2. Art (echte Effekte werden übersehen). Das Diagramm zeigt das direkt: liegt die rote Linie jenseits der bernsteinfarbenen Schwelle, ist p < α.

Ein Signal-Rausch-Verhältnis für Mittelwerte 🖖

Im Kern ist die t-Statistik nichts anderes als ein Signal-Rausch-Verhältnis: der Abstand zwischen den Gruppenmittelwerten (das Signal) geteilt durch den Standardfehler (das Rauschen der zufälligen Stichprobenziehung). Ein großes t bedeutet, dass sich der Unterschied deutlich von der Streuung abhebt; ein kleines t könnte leicht Zufall sein. Die praktische Lehre: Derselbe Mittelwertunterschied wird überzeugender, je größer die Stichproben oder je kleiner ihre Streuung ist, denn das verringert das Rauschen im Nenner.

Welchs Freiheitsgrade sind keine ganzen Zahlen 🖖

Man würde erwarten, dass Freiheitsgrade eine glatte ganze Zahl sind — die Anzahl unabhängiger Informationsstücke. Doch der Welch-t-Test verwendet die Welch-Satterthwaite-Formel, die meist einen gebrochenen Wert wie df = 17.4 liefert. Das ist eine bewusste Näherung: Bei ungleichen Varianzen gibt es keine exakte ganzzahlige df, also interpoliert die Methode, um die wahre Verteilung möglichst genau zu treffen. Deshalb weicht Welchs df meist vom klassischen n₁ + n₂ − 2 ab.

DER t-TEST — WELCHES DESIGN, UND WAS SAGT DAS ERGEBNIS WIRKLICH?

In welchem t-Test-Fall bist du?

Zwei Fragen entscheiden hier alles. Erstens das Design: Vergleichst du eine Gruppe mit einem behaupteten Wert oder zwei Gruppen miteinander? Das legt Formel und Freiheitsgrade fest. Zweitens die Lesart: Ein kleines p verwirft die Nullhypothese, ein großes beweist sie aber nicht — meist heißt es nur, dass die Stichprobe zu klein war. Beide Fehler sind häufiger als Rechenfehler.

Eine Stichprobe gegen einen behaupteten Wert — die Evidenz reicht t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)

Ein kleinerer Abstand — kein Urteil, und das ist nicht dasselbe wie kein Effekt p > α ⇏ H₀

Zwei unabhängige Gruppen — Welch, ohne Annahme gleicher Varianzen SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)

Derselbe Vergleich, zu wenig Power — ein Unterschied, den die Stichprobe nicht auflöst 1 − β ∝ δ√n/s

Eine Stichprobe gegen einen behaupteten Wert — die Evidenz reicht

Was du weißt: Eine Gruppe von Messwerten und eine Zahl, gegen die geprüft wird. Die Prüfgröße ist t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) mit n − 1 Freiheitsgraden.

Prüfgröße: t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)

Rechenbeispiel: x̄ = 78 gegen μ₀ = 72 bei s = 8 und n = 30 → SE = 1,461, t = 4,108, df = 29, p = 0,0003

Diesen Fall öffnen: Prüfung (H₀ ablehnen)

Eine Stichprobe gegen einen behaupteten Wert — die Evidenz reicht. Das beobachtete t liegt weit außerhalb der kritischen Werte, tief im schattierten Ablehnungsbereich. Eine Gruppe von Messwerten und eine Zahl, gegen die geprüft wird. Die Prüfgröße ist t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) mit n − 1 Freiheitsgraden. — Das beobachtete t liegt weit außerhalb der kritischen Werte, tief im schattierten Ablehnungsbereich.

Ein kleinerer Abstand — kein Urteil, und das ist nicht dasselbe wie kein Effekt

Was du weißt: Gleiches Design, gleiches n, aber der Unterschied ist klein gegenüber dem Rauschen. p liegt über α, die Nullhypothese wird nicht verworfen.

Prüfgröße: p > α ⇏ H₀

Rechenbeispiel: x̄ = 73 gegen μ₀ = 72 bei s = 8 und n = 30 → t = 0,685, p = 0,499

Diesen Fall öffnen: Prüfung (nicht ablehnen)

Ein kleinerer Abstand — kein Urteil, und das ist nicht dasselbe wie kein Effekt. Das beobachtete t liegt zwischen den kritischen Werten, dort wo der Test sich nicht entscheiden kann. Gleiches Design, gleiches n, aber der Unterschied ist klein gegenüber dem Rauschen. p liegt über α, die Nullhypothese wird nicht verworfen. — Das beobachtete t liegt zwischen den kritischen Werten, dort wo der Test sich nicht entscheiden kann.

Zwei unabhängige Gruppen — Welch, ohne Annahme gleicher Varianzen

Was du weißt: Zwei getrennte Stichproben mit je eigenem Mittelwert, eigener Streuung und eigenem Umfang. SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂), und die Freiheitsgrade fallen gebrochen aus.

Prüfgröße: SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)

Rechenbeispiel: 82 ± 10 aus 40 Personen gegen 75 ± 12 aus 38 → SE = 2,508, t = 2,791, df = 72,1, p = 0,0067

Diesen Fall öffnen: Studie (signif.)

Zwei unabhängige Gruppen — Welch, ohne Annahme gleicher Varianzen. Zwei Streuungen, zwei Stichprobenumfänge und ein df, das keine ganze Zahl ist — die Handschrift von Welch. Zwei getrennte Stichproben mit je eigenem Mittelwert, eigener Streuung und eigenem Umfang. SE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂), und die Freiheitsgrade fallen gebrochen aus. — Zwei Streuungen, zwei Stichprobenumfänge und ein df, das keine ganze Zahl ist — die Handschrift von Welch.

Derselbe Vergleich, zu wenig Power — ein Unterschied, den die Stichprobe nicht auflöst

Was du weißt: Wieder zwei Gruppen, aber kleiner und mit geringerem Abstand. Das Ergebnis ist von Rauschen nicht zu unterscheiden.

Prüfgröße: 1 − β ∝ δ√n/s

Rechenbeispiel: 77 ± 11 aus 25 Personen gegen 75 ± 12 aus 28 → SE = 3,160, t = 0,633, df = 51,0, p = 0,530

Diesen Fall öffnen: Studie (nicht signif.)

Derselbe Vergleich, zu wenig Power — ein Unterschied, den die Stichprobe nicht auflöst. Das beobachtete t liegt fast in der Mitte der Verteilung, wo nahezu die gesamte Wahrscheinlichkeit sitzt. Wieder zwei Gruppen, aber kleiner und mit geringerem Abstand. Das Ergebnis ist von Rauschen nicht zu unterscheiden. — Das beobachtete t liegt fast in der Mitte der Verteilung, wo nahezu die gesamte Wahrscheinlichkeit sitzt.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Stichprobe von 30 mit Wert 78 bei einem Populationsmittelwert von 72 5 Schritte
Eine Stichprobe von 30 erzielt einen Mittelwert von 78, wobei der behauptete Populationsmittelwert 72 beträgt, bei s = 8. Führe den Test durch — und beantworte dann die Frage, die der p-Wert nicht beantwortet.
1. Ein einzelner Mittelwert ist eine rauschbehaftete Schätzung, und sein Rauschen ist der Standardfehler — die Stichprobenstreuung geteilt durch die Wurzel des Stichprobenumfangs. Größere Stichproben machen Einzelwerte nicht weniger variabel; sie machen den Mittelwert weniger variabel.
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{8}{30} = 1.4606$
2. Die t-Statistik fragt, wie viele Standardfehler das Beobachtete von dem Behaupteten trennen. Sie ist ein Abstand, gemessen in Einheiten ihrer eigenen Unsicherheit.
  
  $t = \frac{x ˉ - μ _{0}}{SE} = \frac{78 - 72}{1.4606} = 4.1079$
3. Die Freiheitsgrade sind um eins geringer als der Stichprobenumfang, da der Stichprobenmittelwert bereits für die Schätzung des Zentrums verbraucht wurde. Der Rechner oben gibt sowohl dies als auch die Prüfgröße aus.
  
  $df = n - 1 = 29$
4. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit für ein so großes |t|, wenn die Behauptung wahr wäre. Das Werkzeug gibt 0.0002982 aus — etwa 3 von 10 000.
  
  $p = P (∣ T_{29} ∣ > 4.1079) = 0.0002982$
5. Nun der Teil, zu dem der p-Wert schweigt: wie groß der Unterschied ist. Cohens d dividiert durch die Streuung der Daten statt durch die Streuung des Mittelwerts und schrumpft daher nicht, wenn die Stichprobe wächst.
  
  $d = \frac{x ˉ - μ _{0}}{s} = \frac{6}{8} = 0.75$
Antwort

t = 4.1079 bei 29 df, p = 0.0002982. Die Effektstärke beträgt d = 0.75, ein wirklich großer Unterschied. Die beiden auseinanderzuhalten ist die gesamte Disziplin: p beantwortet „könnte das Rauschen sein?“, und kann durch Erhebung von mehr Daten beliebig klein gemacht werden, weil n im Standardfehler steht. d beantwortet „spielt es eine Rolle?“, und bewegt sich nicht mit n. Eine Studie mit n = 10 000 kann p < 0.001 für ein d von 0.02 melden — statistisch sicher, praktisch nichts.

$t = 4.1079, df = 29, p = 0.0002982 d = 0.75$

Lernpfad

Wann ist ein Unterschied echt?

Führt zu ANOVA eine Differenz, geteilt durch die Streuung, die du allein durch die Stichprobenziehung erwarten würdest.

Quellen (1)

The paper that introduced the distribution, published under a pseudonym: "Student" (W. S. Gosset), "The Probable Error of a Mean." Biometrika 6, 1–25, 1908.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Prüfung (H₀ ablehnen) - Eine Klasse mit einem Durchschnitt von 78 bei einem Zielwert von 72, einer Streuung von 8 und 30 Schülern: t = 4,1079 und p = 0,0002982. Die Differenz beträgt 6 Punkte bei einer Streuung von 8. Das ist kein großer Effekt, aber er ist dennoch eindeutig. Die Signifikanz wird durch den Standardfehler von 1,4606 bestimmt und nicht durch die Größe der Differenz.
Prüfung (nicht ablehnen) - Ändere nur den Klassendurchschnitt von 78 auf 73: gleiche Streuung, weiterhin 30 Schüler. Der p-Wert steigt von 3 aus 10.000 auf 0,499. Die Hälfte aller Klassen aus einer Grundgesamtheit mit einem echten Durchschnitt von 72 läge mindestens so weit davon entfernt. Die Nullhypothese nicht verwerfen zu können, belegt nicht das Fehlen eines Unterschieds. Die Daten verweigern schlicht die Aussage.
Studie (signif.) - Lies die Freiheitsgrade ab: 72,137, nicht 76. Bei 40 und 38 Patienten ergäbe der Student-t-Test 76 Freiheitsgrade. Die beiden Streuungen unterscheiden sich jedoch mit 10 gegenüber 12. Die Welch-Korrektur zieht dafür Bruchteile eines Freiheitsgrades ab. Es gilt t = 2,7912 gegenüber einem kritischen Wert von 1,9934. Somit ist p = 0,006716 und das Ergebnis hat Bestand.
Studie (nicht signif.) - Die gleiche Studie mit geringerem Abstand und weniger Patienten: 2 Punkte statt 7, bei 25 und 28 statt 40 und 38. Der Standardfehler liegt bei 3,1596 und ist damit größer als die gemessene Differenz. Daraus folgt t = 0,633 und p = 0,5296. Nichts hier besagt, dass das Medikament wirkungslos ist. Die Zahlen zeigen lediglich, dass die Studie zu klein war, um das herauszufinden.