Chi-Quadrat- und Residuen-Karte

Ändere Zellenwerte und beobachte, wie sich Signifikanz und Residuen-Hotspots sofort aktualisieren.

Rechenbeispiel — Chi-Quadrat- und Residuen-Karte

Chi-Quadrat-Statistik	2.5943
Freiheitsgrade	2
p-Wert	0.2733
Kleinste erwartete Zellenhäufigkeit	8.5
r1, c2	0.8182
r2, c2	0.8182
r1, c3	0.2647
r2, c3	0.2647

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Residuen verraten, welche Zelle die Anpassung sprengt 🖖

Eine Chi-Quadrat-Summe fasst die gesamte Tabelle in einer einzigen Zahl zusammen. Woher die Abweichung kommt, verrät sie nicht; das zeigt die Residuenkarte. Lade Starker Zusammenhang: χ² beträgt 24,3415 bei 2 Freiheitsgraden. Den größten Einzelbeitrag liefert Zeile 1, Spalte 1 — beobachtet wurden 20 statt der erwarteten 11,20, was 6,91 zur Gesamtsumme beiträgt. Der Test setzt außerdem voraus, dass jede erwartete Häufigkeit mindestens etwa 5 beträgt. Lade Dünn besetzt: Keine der neun Zellen erfüllt diese Bedingung. Die kleinste erwartete Häufigkeit beträgt 0,13, diese eine Zelle liefert 65 % der Teststatistik, und der p-Wert wirkt mit 0,0521 trotzdem verlockend.

Wo der Zusammenhang wirklich steckt 🖖

Ein einzelner Chi-Quadrat-Wert und sein p-Wert zeigen nur, ob zwischen zwei kategorialen Merkmalen überhaupt ein Zusammenhang besteht. Was genau dahintersteckt, erkennst du an der Karte der standardisierten Residuen: Jede farbige Zelle zeigt, welche Kombinationen deutlich häufiger oder seltener vorkommen, als bei Unabhängigkeit zu erwarten wäre. Ein positives Residuum kennzeichnet eine überrepräsentierte Kombination, ein negatives eine unterrepräsentierte. Achte auf die farblich auffälligsten Zellen, nicht auf die größten absoluten Häufigkeiten.

Fishers Korrektur, die Pearson ablehnte 🖖

Die hier gezeigten Freiheitsgrade (r−1)(c−1) gehen auf einen erbitterten Statistikstreit zurück. Karl Pearson führte den Chi-Quadrat-Test 1900 ein, leitete seine Freiheitsgrade aber aus der bloßen Kategorienzahl ab. 1922 zeigte Ronald Fisher, dass jede aus den Randsummen der Tabelle geschätzte erwartete Häufigkeit einen Freiheitsgrad kostet — weshalb eine r×c-Tabelle (r−1)(c−1) hat, nicht rc−1. Pearson wies die Korrektur bis an sein Lebensende zurück, doch Fisher hatte recht, und seine Formel nutzt jede Tabelle hier.

CHI-QUADRAT — GIBT ES EINEN ZUSAMMENHANG, UND IST DER TEST ÜBERHAUPT ZULÄSSIG?

In welchem Chi-Quadrat-Fall bist du?

Der Test vergleicht das Beobachtete mit dem, was Unabhängigkeit erzeugt hätte: erwartet = Zeilensumme × Spaltensumme ÷ Gesamtsumme. Die Prüfgröße summiert die quadrierten Abstände, und die standardisierten Residuen sagen, welche Zellen sie getrieben haben. Zwei Fragen sind der Reihe nach zu beantworten — erst, ob die erwarteten Häufigkeiten groß genug sind, damit der Test etwas bedeutet, und erst dann, ob der Zusammenhang echt ist.

Vollkommene Unabhängigkeit — die Prüfgröße ist exakt null E = R_iC_j/n

Ein kleines χ² — das Muster liegt im Bereich des Zufalls χ² < χ²_α

Ein großes χ² — und die Residuen nennen die verantwortlichen Zellen r = (O − E)/√E

Erwartete Häufigkeiten zu klein — der Test ist nicht anwendbar E ≥ 5

Vollkommene Unabhängigkeit — die Prüfgröße ist exakt null

Was du weißt: Jede Zelle trifft ihre erwartete Häufigkeit, also ist jedes Residuum null und χ² mit ihm. Die Zeilen sagen nichts über die Spalten.

Prüfgröße: E = R_iC_j/n

Rechenbeispiel: Eine 3×3-Tabelle aus lauter Achten: Jede erwartete Häufigkeit ist ebenfalls 8, χ² = 0 bei 4 Freiheitsgraden, p = 1,000

Diesen Fall öffnen: Ausgeglichene Basislinie

Vollkommene Unabhängigkeit — die Prüfgröße ist exakt null. Jede beobachtete Häufigkeit gleicht ihrer erwarteten, keine Zelle steuert etwas bei. Jede Zelle trifft ihre erwartete Häufigkeit, also ist jedes Residuum null und χ² mit ihm. Die Zeilen sagen nichts über die Spalten. — Jede beobachtete Häufigkeit gleicht ihrer erwarteten, keine Zelle steuert etwas bei.

Ein kleines χ² — das Muster liegt im Bereich des Zufalls

Was du weißt: Die Häufigkeiten weichen von den erwarteten ab, aber nicht stärker, als Stichprobenrauschen es täte. χ² bleibt unter dem kritischen Wert, und alle Residuen sind klein.

Prüfgröße: χ² < χ²_α

Rechenbeispiel: Eine 2×3-Tabelle mit 60 Beobachtungen → χ² = 2,594 bei 2 Freiheitsgraden, p = 0,273. Das größte standardisierte Residuum beträgt −0,90.

Diesen Fall öffnen: Schwache Abhängigkeit

Ein kleines χ² — das Muster liegt im Bereich des Zufalls. Die Zellen weichen ein wenig von der Erwartung ab, aber keine sticht hervor. Die Häufigkeiten weichen von den erwarteten ab, aber nicht stärker, als Stichprobenrauschen es täte. χ² bleibt unter dem kritischen Wert, und alle Residuen sind klein. — Die Zellen weichen ein wenig von der Erwartung ab, aber keine sticht hervor.

Ein großes χ² — und die Residuen nennen die verantwortlichen Zellen

Was du weißt: Die Prüfgröße überschreitet den kritischen Wert deutlich. Wichtig ist danach nicht der p-Wert, sondern welche Zellen ihn erzeugt haben, und die Residuentabelle beantwortet genau das.

Prüfgröße: r = (O − E)/√E

Rechenbeispiel: Dieselbe 2×3-Form mit 60 Beobachtungen → χ² = 24,342 bei 2 Freiheitsgraden, p = 0,000005, mit einem standardisierten Residuum von +2,63 in der größten Zelle

Diesen Fall öffnen: Starker Zusammenhang

Ein großes χ² — und die Residuen nennen die verantwortlichen Zellen. Zwei Zellen liegen weit über der Erwartung und zwei weit darunter — der Zusammenhang hat eine Richtung. Die Prüfgröße überschreitet den kritischen Wert deutlich. Wichtig ist danach nicht der p-Wert, sondern welche Zellen ihn erzeugt haben, und die Residuentabelle beantwortet genau das. — Zwei Zellen liegen weit über der Erwartung und zwei weit darunter — der Zusammenhang hat eine Richtung.

Erwartete Häufigkeiten zu klein — der Test ist nicht anwendbar

Was du weißt: Chi-Quadrat ist eine Näherung, die einigermaßen große erwartete Häufigkeiten braucht. Sind sie winzig, ist der berichtete p-Wert nicht vertrauenswürdig, was auch immer dort steht.

Prüfgröße: E ≥ 5

Rechenbeispiel: Eine 3×3-Tabelle mit nur 8 Beobachtungen → alle 9 erwarteten Häufigkeiten liegen unter 5, die kleinste bei 0,13. χ² = 9,389 ergibt p = 0,052, und diese Zahl sollte nicht verwendet werden.

Diesen Fall öffnen: Dünn besetzter Warnfall

Erwartete Häufigkeiten zu klein — der Test ist nicht anwendbar. Neun Zellen, acht Beobachtungen: Die erwarteten Häufigkeiten sind für eine Näherung viel zu klein. Chi-Quadrat ist eine Näherung, die einigermaßen große erwartete Häufigkeiten braucht. Sind sie winzig, ist der berichtete p-Wert nicht vertrauenswürdig, was auch immer dort steht. — Neun Zellen, acht Beobachtungen: Die erwarteten Häufigkeiten sind für eine Näherung viel zu klein.

Quellen (2)

Insight block 3 — where the test came from: K. Pearson, "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine 50(302), 157–175, 1900.
And the correction Pearson never accepted, which is the (r−1)(c−1) used here: R. A. Fisher, "On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922. The DOI resolves to the publisher's 2018 digitisation of that volume.

Aufgabe vollständig gelöst

Der komplette Test und p-Wert für eine 2×3-Tabelle von Hand 5 Schritte
Eine 2×3-Tabelle ergibt χ² = 2,5943 bei 2 Freiheitsgraden und einen p-Wert von 0,2733. Führen Sie den gesamten Test von Hand durch — einschließlich des p-Werts, für den bei dieser Anzahl an Freiheitsgraden überhaupt keine Tabelle nötig ist.
1. Erwartete Häufigkeiten nehmen an, dass die beiden Variablen unabhängig sind, sodass jede Zelle dem Produkt aus ihrer Zeilensumme und ihrer Spaltensumme geteilt durch die Gesamtsumme entspricht. Der kleinste Wert liegt bei 8,5 und damit komfortabel über der Faustregel von 5, unterhalb derer die Näherung unzuverlässig ist.
  
  $E_{ij} = \frac{R _{i} C _{j}}{N} : \frac{30 \times 21}{60} = 10.5, \frac{30 \times 22}{60} = 11, \frac{30 \times 17}{60} = 8.5$
2. Jede Zelle trägt ihre quadratische Abweichung dividiert durch ihren Erwartungswert bei. Die Division durch E verwandelt eine absolute Abweichung in eine vergleichbare Größe — 3 von 11 fällt mehr ins Gewicht als 3 von 1100.
  
  $χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = 2 (0.2143 + 0.8182 + 0.2647) = 2.5943$
3. Die Anzahl der Freiheitsgrade gibt an, wie viele Zellen frei gefüllt werden können, sobald die Randsummen feststehen. Wenn Zeilen- und Spaltensummen vorgegeben sind, bestimmt die Wahl zweier Zellen den Rest.
  
  $df = (r - 1) (c - 1) = 1 \times 2 = 2$
4. Zwei Freiheitsgrade sind ein Spezialfall: Die Chi-Quadrat-Verteilung ist dann einfach eine Exponentialverteilung, und der p-Wert ist e hoch minus die Hälfte der Teststatistik. Keine Tabelle, keine Software.
  
  $df = 2 ⟹ p = e^{- χ^{2} /2} = e^{- 1.29717} = 0.2733$
5. Ein Blick darauf, woher die Teststatistik stammt, ist aufschlussreicher als die Gesamtsumme. Die mittlere Spalte liefert 63,1 % davon — die Zellen mit 8 gegenüber 11 und 14 gegenüber 11 —, wenn also etwas vorliegt, dann dort.
  
  $\frac{2 \times 0.8182}{2.5943} = 63.1% of χ^{2} is one column$
Antwort

Das Tool zeigt χ² = 2,5943, df = 2, p = 0,2733 und eine kleinste erwartete Häufigkeit von 8,5 an. Ein p-Wert von 0,27 liefert keinen Hinweis auf einen Zusammenhang. Mehr lässt sich redlicherweise nicht sagen: Für Unabhängigkeit spricht das Ergebnis ebenfalls nicht, denn in einer Tabelle mit 60 Beobachtungen kann ein mäßiger Effekt leicht unentdeckt bleiben. Entscheidend ist der letzte Schritt. Der Chi-Quadrat-Gesamtwert allein sagt fast nichts aus; die Beiträge der einzelnen Zellen zeigen dir, wo du genauer hinschauen solltest. Klick auf die Voreinstellung „stark“ und beobachte, wie der Beitrag der mittleren Spalte verschwindet, während die vier Eckzellen 99,5 % der Summe ausmachen.

$p = e^{- χ^{2} /2} when df = 2; p = 0.27 ⟹ no evidence of association$

Lernpfad

Wann ist ein Unterschied echt?

Führt zu Stichprobenumfang dieselbe Aufteilung, bei der es nichts zu mitteln gibt, sondern nur Häufigkeiten in Kategorien vorliegen.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Schwache Abhängigkeit - chi² = 2,5943 bei 2 Freiheitsgraden ergibt p = 0,2733; das betragsmäßig größte standardisierte Residuum ist -0,905. Nichts deutet auf eine Abweichung von der Unabhängigkeit hin.
Starker Zusammenhang - chi² = 24,3415 bei 2 Freiheitsgraden, p unter 0,00001. Am stärksten fällt Zeile 1, Spalte 1 ins Gewicht: Beobachtet wurden 20, bei Unabhängigkeit wären 11,20 zu erwarten; das Residuum beträgt +2,63.
Dünn besetzter Warnfall - p = 0,0521 liegt hauchdünn über der Signifikanzgrenze, ist hier aber wertlos. Alle neun erwarteten Häufigkeiten liegen unter 5, die kleinste beträgt 0,13, und diese eine Zelle liefert 65 % der Teststatistik.
Ausgeglichene Basislinie - In jeder Zelle steht 8. Daher beträgt auch jede erwartete Häufigkeit 8, jedes Residuum ist 0 und chi² ist bei p = 1 genau 0. Das ist die einzige perfekte Übereinstimmung im Tool.