Geburtstagsparadoxon-Explorer

Wahrscheinlichkeit eines gemeinsamen Geburtstags vs. Gruppengröße

Rechenbeispiel — Geburtstagsparadoxon-Explorer

P(gemeinsamer Geburtstag)	50,7%
1. Anzahl der Personen im Raum (n):	23
P(alle unterschiedlich)	49,3%
Verglichene Paare	253

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Geburtstagsparadoxon-Explorer

Das Geburtstagsproblem fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen irgendwo in der Gruppe am selben Tag Geburtstag haben. Es ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass jemand denselben Geburtstag wie du hat, und es geht auch nicht um ein bestimmtes Datum — genau dieser Unterschied ist der eigentliche Grund, warum sich das Ergebnis falsch anfühlt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

P(match): die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Paar am selben Tag Geburtstag hat — das zentrale Ergebnis, 50.7% at n = 23.
P(all unique): die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei Personen denselben Geburtstag haben. Beide zusammen ergeben immer 100 %: 50.7% + 49.3%.
pairs: wie viele Paare die Gruppe enthält, n(n−1)/2 — bei 23 Personen sind das 253, und es sind die Paare und nicht die Personen, die die Wahrscheinlichkeit nach oben treiben.

So liest du, was du siehst

Zuerst kommen die beiden Wahrscheinlichkeiten, dann die Anzahl der Paare, gefolgt von einer nummerierten Schritt-für-Schritt-Erklärung. Darunter zeigt die Formel genau, was multipliziert wurde: 1 − (365/365 × 364/365 × ⋯ × 343/365), ein Faktor pro Person, endend bei 1 − 0.492703 = 0.507297. Jeder Faktor ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person keinen der bereits vergebenen Geburtstage hat.

Setzt voraus: 365 gleich wahrscheinliche Geburtstage, unabhängig voneinander. Keine Schalttage, keine Zwillinge und keine saisonalen Muster bei den Geburten — alle drei Annahmen treffen in der Realität nicht zu, weshalb es sich hierbei um ein ideales Modell und nicht um eine demografische Vorhersage handelt.
Versagt, wenn: Die Annahme einer Gleichverteilung ist nicht in der Richtung vorsichtig, die du vielleicht vermutest. Echte Geburtstage häufen sich saisonal, und jede Abweichung von der Gleichverteilung erhöht die Wahrscheinlichkeit einer Übereinstimmung — somit ist 50.7% bei 23 Personen eine Untergrenze und keine bloße Schätzung. Schiebst du den Regler auf 80, rundet sich die Wahrscheinlichkeit auf 100 %, erreicht diesen Wert jedoch nie ganz: Bei weniger als 366 Personen bleibt ein Ergebnis ohne Übereinstimmung immer möglich.

das Paradox liegt in den Paaren, nicht in den Personen 🖖

Das Paradox löst sich auf, sobald du aufhörst, Personen zu zählen, und stattdessen Paare zählst. Bei 23 Personen gibt es nur 23 Geburtstage zu vergleichen, aber C(23,2) = 253 verschiedene Paare, von denen jedes einzelne einen Treffer liefern könnte — und schon einer genügt. Die menschliche Intuition orientiert sich an 'wie viele Personen sind wie ich', was linear wächst, während die eigentlich entscheidende Größe, die Anzahl der Paarvergleiche, quadratisch mit n(n−1)/2 wächst. Deshalb schießt die Wahrscheinlichkeitskurve so früh nach oben: Ab n=23 liegst du schon über 50 %, und bei n=57 sind es über 99 %, weil du dem Problem O(n²) Gelegenheiten zum Zusammentreffen gibst.

warum wir das Gegenteil berechnen 🖖

Statt jeden möglichen Weg zu einem Treffer zu verfolgen, stellt das Tool die einfachere Gegenfrage: Wie hoch ist die Chance, dass alle Geburtstage verschieden sind? Füge nacheinander Personen hinzu — die zweite muss 1 belegten Tag meiden (364/365), die dritte 2 und so weiter —, multipliziere diese schrumpfenden Brüche und ziehe das Ergebnis von 100% ab. Die Erkenntnis: Bei 23 Personen fällt die Chance auf 'alle verschieden' erstmals unter die Hälfte — genau deshalb ist 23 der Kipppunkt.

dieselbe Mathematik knackt Kryptografie 🖖

Die gleiche Logik bestimmt heimlich die digitale Sicherheit. Um eine Hashfunktion zu brechen, braucht ein Angreifer selten ein bestimmtes Ziel — zwei beliebige Eingaben mit gleichem Ergebnis genügen, und das ist genau das 'irgendein Paar'-Problem. Ein Hash mit N möglichen Ausgaben fällt daher einem Geburtstagsangriff schon nach etwa √N Versuchen zum Opfer, nicht erst nach N. Deshalb bietet ein 256-Bit-Hash nur rund 128 Bit Kollisionswiderstand — und Entwickler müssen die Länge verdoppeln.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Zehn Personen ergeben 45 Paare, und jedes Paar hat etwa eine Chance von 1 zu 365 auf eine Übereinstimmung — das legt 45/365 = 12.3% nahe. Das Feld sagt 11.7%. In welche Richtung liegt die schnelle Schätzung falsch, und warum in diese?

Antwort anzeigen

Sie überschätzt, und das wird sie immer. Das Aufaddieren von 45 Paarchancen zählt jede Doppelübereinstimmung mehrfach: diese Summe ist der erste Term einer Inklusions-Exklusions-Reihe, deren nächster Term abzieht. Das Feld geht stattdessen den ehrlichen Weg — P(alle verschieden) = (365/365)(364/365)…(356/365) = 88.3%, und 100% − 88.3% = 11.7%. Der Abstand wächst schnell: bei 23 Personen liefert die schnelle Summe 253/365 = 69.3% gegen wahre 50.7%, und sobald eine Gruppe mehr als 365 Paare hat, segelt die schnelle Summe über 100% hinaus — der denkbar deutlichste Beweis, dass sie nie eine Wahrscheinlichkeit war.
Schiebe die Gruppengröße auf ihr Maximum von 80. P(gemeinsamer Geburtstag) zeigt 99.99% — nicht 100%. Wie viele Personen braucht es, bis ein gemeinsamer Geburtstag wirklich sicher ist?

Antwort anzeigen

366, oder 367, sobald du den 29. Februar zulässt. Das ist das Schubfachprinzip, und es ist der einzige Weg zur Sicherheit: bei 365 möglichen Daten können 366 Personen nicht alle verschieden sein. Alles darunter ist bloß wahrscheinlich, so knapp es auch aussieht. Der Regler endet bei 80, weil dort die Kurve ihre Arbeit tut — sie steht da schon bei 99.99%, und die restlichen 286 Personen kaufen nur noch das letzte Hundertstel Prozent. Achte darauf, wie das Feld bei n = 73 eine zweite Nachkommastelle ergänzt, statt ein 100% zu drucken, das es nicht rechtfertigen kann.

Aufgaben vollständig gelöst

23 Personen in einem Raum mit einem gemeinsamen Geburtstag 5 Schritte
Wie viele Personen müssen sich in einem Raum befinden, damit ein gemeinsamer Geburtstag wahrscheinlicher ist als nicht? Leite es ab und erkläre dann, warum 23 gefühlt viel zu wenig ist.
1. Berechne das Gegenteil. „Mindestens ein gemeinsamer“ ist umständlich, weil die Überschneidung auf viele Arten gleichzeitig auftreten kann; „alle unterschiedlich“ ist eine einzige saubere Folge von Entscheidungen.
  
  $P (all different) = k = 0 \prod n - 1 \frac{365 - k}{365}$
2. Jede neue Person muss alle bereits vergebenen Geburtstage meiden, sodass die verfügbaren Tage jedes Mal um einen schrumpfen. Multipliziere die Brüche.
  
  $n = 23 : \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \dots \frac{343}{365} = 0.4927$
3. Ziehe das Ergebnis von eins ab. Der Explorer oben gibt genau dies aus, und 23 ist das erste n, für das das Ergebnis die Hälfte überschreitet.
  
  $P (shared) = 1 - 0.4927 = 0.5073 = 50.7%$
4. Du vergleichst dich nicht nur mit 22 anderen: Jedes Paar zählt, und die Anzahl der Paare wächst quadratisch mit der Größe der Gruppe.
  
  $(2 n) = \frac{23 \times 22}{2} = 253 pairs$
5. Dieses quadratische Wachstum ist in der Näherung sichtbar: Die Wahrscheinlichkeit hängt von n² über 730 ab, sodass der Schnittpunkt wie eine Quadratwurzel verläuft, nicht wie ein Bruchteil von 365.
  
  $P \approx 1 - e^{- n^{2} /730} : n = 730 ln 2 = 22.5$
Antwort

23 Personen für eine Chance von 50.7%. Die Intuition, die hier fehlschlägt, ist eine Ersetzung der Frage: Du stellst dir vor „jemand teilt meinen Geburtstag“, wofür 253 Personen für ausgeglichene Chancen nötig sind, während die gestellte Frage „zwei beliebige von uns“ lautet, was 253 Paare bei n = 23 ergibt. Die Skalierung über die Quadratwurzel ist die allgemeine Lektion, und sie ist der Grund, warum Hash-Kollisionen nach ungefähr √N Einfügungen anstelle von N auftreten — dieselbe Arithmetik entscheidet darüber, wie lang ein Hash sein muss.

$n = 23 \Rightarrow P = 50.7% pairs = (2 23) = 253$
Die 50,7%-Regel für dreiundzwanzig Personen in einem 365-Tage-Jahr 6 Schritte
Dreiundzwanzig Personen, 50,7 %. Die Zahl, die sich alle merken, ist 23 — und sie ist der unbrauchbarste Teil des Ergebnisses, denn sie gehört zu einem 365-Tage-Jahr und zu sonst nichts. Finde die Regel darunter, die auch dann noch gilt, wenn der Kalender eine Hashfunktion ist.
1. Die exakte Antwort ist ein Produkt: die zweite Person verfehlt die erste, die dritte verfehlt beide, und so weiter durch den Raum. Dieses Produkt wertet die Tafel aus.
  
  $Q (n) = k = 0 \prod n - 1 \frac{365 - k}{365}, P = 1 - Q (23) = 0.507$
2. Über Produkte lässt sich schlecht nachdenken, also logarithmiere — und solange k klein gegen 365 ist, ist jeder Logarithmus fast sein eigenes Argument. Übrig bleibt die Summe der ersten n−1 ganzen Zahlen.
  
  $ln Q = k = 0 \sum n - 1 ln (1 - \frac{k}{365}) \approx - k = 0 \sum n - 1 \frac{k}{365} = - \frac{n ( n - 1 )}{730}$
3. Setze die Wahrscheinlichkeit auf ein Halb und löse auf. Der n²-Term dominiert das n, die Antwort ist also eine Quadratwurzel — und sie landet auf eine halbe Person genau bei den 23 der Tafel.
  
  $P = \frac{1}{2} ⟹ \frac{n ( n - 1 )}{730} = ln 2 ⟹ n^{2} \approx 730 ln 2 = 506.0 ⟹ n \approx 22.5$
4. Schreibe es nun ohne jede 365. Das Jahr war nie besonders: bei N gleich wahrscheinlichen Fächern liegt der Halbwertspunkt bei etwa 1,1774√N.
  
  $n \approx 2 N ln 2 = 1.1774 N : N = 365 ⟹ 22.49$
5. Wende das dort an, wo es wehtut. Ein 32-Bit-Hash hat 2³² Fächer, was gewaltig klingt — aber die Wurzel aus einer gewaltigen Zahl ist nicht gewaltig.
  
  $N = 2^{32} : n \approx 1.1774 2^{32} = 1.1774 \times 65536 = 77162$
6. Miss das an der Größe des Raums, aus dem gezogen wird.
  
  $\frac{77 162}{2 ^{32}} = 1.8 \times 1 0^{- 5} = 0.0018%$
Antwort

Die Schwelle wächst wie √N, nicht wie N/2 — bei einem 32-Bit-Hash sind das 77.162 Einträge, 0,0018 % des Raums, bevor eine Kollision wahrscheinlicher ist als keine. Das ist der Geburtstagsangriff, und deshalb sind 32-Bit-Prüfsummen zur Deduplizierung in großem Maßstab wertlos und werden Hash-Längen in Bit bereits mit eingerechneter Wurzel gewählt. Die 23 auf der Tafel ist ein einzelner Punkt dieser Kurve. Übertragbar ist die Kurve.

$n \approx 1.1774 N : 365 \to 23, 2^{32} \to 77162$

Lernpfad

Wenn zwei Dinge auf demselben Wert landen

Führt zu Hash-Tabellen das Argument der Paarbildung und das Prinzip, das Gegenereignis zu berechnen — die Wahrscheinlichkeit, dass nichts kollidiert.

Quellen (1)

Why real, non-uniform birth dates make a collision MORE likely, not less — so 50.7% at 23 people is a floor: A. G. Munford, “A Note on the Uniformity Assumption in the Birthday Problem.” The American Statistician 31, 119, 1977.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-15

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Beispielaufgaben

Büro n=10 - n=10 -> 11.7% Wahrscheinlichkeit – wirkt sicher, dabei werden bereits 45 Paare verglichen
Klasse n=23 - n=23 -> 50.7% Wahrscheinlichkeit – der berühmte Wendepunkt: wahrscheinlicher als unwahrscheinlich
Raum n=30 - n=30 -> 70.6% Wahrscheinlichkeit – etwa 2 von 3 für eine typische Schulklasse
Saal n=57 - n=57 -> 99.0% Wahrscheinlichkeit – nahezu sicher schon bei 57 Personen