Laplace-Transformations-Labor

Erkunde Laplace-Transformationspaare zentraler Funktionsfamilien, ihre Pole, den Konvergenzbereich sowie Anfangs- und Endwerte.

Rechenbeispiel — Laplace-Transformations-Labor

Pole	−1
Anfangswert f(0⁺)	1
Endwert f(∞)	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Laplace-Transformations-Labor

Die Laplace-Transformation tauscht eine Zeitfunktion gegen eine Funktion der komplexen Variablen s und macht aus Analysis in t Algebra in s. Der Katalog hier ist ein Wörterbuch von acht solchen Paaren, und neben jedem druckt die Seite vier Angaben, die sich allein aus F(s) ablesen lassen, ohne je in den Zeitbereich zurückzukehren.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

F(s): die Transformierte. Für jeden Eintrag dieses Katalogs ein Quotient von Polynomen — nur deshalb gibt es die nächsten drei Zeilen überhaupt.
poles: die Werte von s, die den Nenner null machen. Alles andere auf der Seite hängt davon ab, wo sie liegen.
ROC: der Konvergenzbereich — die Halbebene, in der das definierende Integral tatsächlich konvergiert. Schritt 3 zeigt, wie wenig eigenständige Information diese Zeile trägt.
f(∞): der Endwert, gedruckt als Zahl, als ∞ oder als Verweigerung.

Woher die Formel kommt

Lies das Paar. Bei der voreingestellten Exponentialfunktion wird aus e^(−t) die Funktion 1/(s+1) — eine Abklingrate in der Zeit wird zur Lage eines einzelnen Pols.
Finde die Pole, indem du den Nenner null setzt. s+1=0 ergibt s = −1, und genau das zeigt die Polzeile.
Vergleiche nun die Polzeile mit der ROC-Zeile — und vergleiche weiter, während du den Katalog durchgehst. Der ROC ist der Realteil des am weitesten rechts liegenden Pols. Exponential: Pol bei −1, ROC Re(s) > −1. Sprung: Pol bei 0, ROC Re(s) > 0. Sinus: Pole bei ±j2, deren Realteil null ist, also wieder ROC Re(s) > 0. Acht Zeilen, eine Regel.
Die beiden Wertzeilen kommen von entgegengesetzten Enden desselben F(s): f(0⁺) = lim(s→∞) sF(s) und f(∞) = lim(s→0) sF(s). Deshalb sind sich Sprung und Kosinus bei f(0⁺) = 1 einig und uneins über das Ende.

So liest du, was du siehst

Geh die acht Einträge durch und sieh zu, wie zwei scheinbar unabhängige Spalten sich wie eine verhalten. Sprung, Rampe und Potenz haben ihre Pole im Ursprung und lesen alle Re(s) > 0. Exponential und beide gedämpften Schwingungen haben einen Pol mit Realteil −1 und lesen alle Re(s) > −1. Sinus und Kosinus sehen nach Ausnahme aus — ihre Pole sind imaginär — und sind keine: der Realteil von ±j2 ist null, also lesen sie Re(s) > 0 wie die im Ursprung. Sieh dann auf die Enden, die die Pole ebenfalls bestimmen: Realteil −1 ergibt 0, ein einfacher Pol im Ursprung ergibt eine Konstante, ein doppelter Pol im Ursprung ergibt ∞, und ein rein imaginäres Paar ergibt gar kein Ende.

Setzt voraus: Dass f(t) = 0 vor t = 0 gilt — das ist die einseitige Transformation, weshalb jeder Eintrag gegen eine Sprungfunktion geschrieben ist. Dass die Amplitude A F(s) skaliert, ohne einen Pol zu verschieben, also den Anfangswert ändert und niemals den ROC oder das Ende. Und dass jeder Eintrag ein Quotient von Polynomen ist: eine Transformierte mit Verzweigungsschnitt oder wesentlicher Singularität hat keine Polliste zum Ablesen, und drei der vier Zeilen hätten nichts zu sagen.
Versagt, wenn: Der Endwertsatz ist der Satz, den man ohne seine Voraussetzungen zitiert, und dieser Katalog enthält das Gegenbeispiel. Blind auf den Sinus angewandt ergibt lim(s→0) s·ω/(s²+ω²) den Wert 0 — sauber, eindeutig und falsch: sin(ωt) hat keinen Endwert. Der Satz gilt nur, wenn die Pole von sF(s) streng in der linken Halbebene liegen, und die des Sinus liegen auf der imaginären Achse. Die Seite verweigert die Antwort, statt den Grenzwert zu melden — deshalb steht dort DNE — oszilliert und nicht die 0, die die Formel bereitwillig liefert. Die Rampe fällt an derselben Prüfung von der anderen Seite durch und bekommt ∞. Zwei der acht Einträge brechen die Regel, die man aus den übrigen sechs gerade verallgemeinern wollte.

Die Polstellen-Zeile verrät schon den Schluss 🖖

Geh den Katalog Eintrag für Eintrag durch und vergleiche dabei nur zwei Tabellenzeilen: Pole und Endwert. Jedes Paar, dessen Pole strikt links von der imaginären Achse liegen, endet bei 0: e^−at hat seinen Pol bei s = −a, der gedämpfte Sinus bei s = −a ± jω. Pole auf der Achse führen zu keiner Beruhigung. Sinus und Kosinus haben ihre Pole bei s = ±jω; in der Tabelle steht deshalb "existiert nicht; oszilliert". Die Rampe wächst wegen ihrer doppelten Polstelle bei s = 0 stattdessen gegen ∞. Nur die Sprungfunktion mit einer einzelnen einfachen Polstelle bei s = 0 erreicht einen endlichen Wert ungleich null. Der Realteil des am weitesten rechts liegenden Pols entscheidet, ob ein Signal abklingt, bestehen bleibt oder divergiert. Deshalb entwerfen Regelungstechniker im s-Bereich, ohne die Transformation überhaupt zurückzurechnen.

Ein Wörterbuch zwischen Zeit und s 🖖

Im Kern ist dieses Werkzeug eine Zuordnungstabelle. Zu jeder Zeitfunktion, etwa einer Sprungfunktion, einer Rampe oder einer abklingenden Exponentialfunktion, gehört ein Gegenstück im s-Bereich. Im Labor siehst du beide Seiten dieser Zuordnung. Löse dein Problem im einfacheren s-Bereich und übertrage das Ergebnis anschließend mithilfe dieser Paare zurück. Ein Abklingvorgang e^-at wird stets auf 1/(s+a) abgebildet; die Zahl a bestimmt, wie schnell er abklingt.

Der Ingenieur, der die Mathematiker schockierte 🖖

Lange bevor die Transformation streng begründet war, löste der autodidaktische Ingenieur Oliver Heaviside Schaltungsgleichungen, indem er den Ableitungsoperator d/dt kühn wie ein gewöhnliches algebraisches Symbol behandelte — er dividierte sogar durch ihn. Reine Mathematiker waren über den fehlenden Beweis entsetzt; er soll erwidert haben: „Soll ich mein Abendessen verweigern, weil ich die Verdauung nicht ganz verstehe?" Seine Sprungfunktion trägt bis heute seinen Namen, und die Laplace-Transformation lieferte später die Strenge, um die er sich nie kümmerte.

Aufgaben vollständig gelöst

Endwerte und Abklingen von f(t) = e −1.5t 6 Schritte
f(t) = e^−1,5t für t ≥ 0. Bestimmen Sie F(s) aus der Definition, lesen Sie die Polstelle und den Konvergenzbereich aus derselben Rechnung ab und legen Sie beide Endwerte fest, ohne jemals eine Transformation zu invertieren. Beantworten Sie dann die Frage, die keiner der beiden Endwertsätze beantwortet: Wie lange dauert der Abfall tatsächlich?
1. Die Transformation ist ein einzelnes Integral, und alles andere auf dem Bedienfeld ist ein Nebenprodukt ihrer Auswertung. Beide Exponentialfunktionen teilen sich dieselbe Basis, sodass sie zu einem einzigen Exponenten, −(s + 1,5)t, zusammengefasst werden.
  
  $F (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- 1.5 t} e^{- s t} d t = [\frac{- e ^{- (s + 1.5) t}}{s + 1.5}]_{0}^{\infty}$
2. Die obere Grenze ist der entscheidende Schritt. e^−(s+1,5)t fällt für wachsendes t nur dann gegen 0 ab, wenn der Realteil von s + 1,5 positiv ist. Genau diese eine Ungleichung liefert Ihnen beide verbleibenden Einträge: den Konvergenzbereich Re(s) > −1,5 und die Polstelle bei s = −1,5, die genau auf dessen Grenze liegt. Die Polstelle ist kein separates Faktum, das man auswendig lernen müsste — sie ist der Wert von s, bei dem das Integral aufhört zu existieren.
  
  $Re (s + 1.5) > 0 ⟺ Re (s) > - 1.5 ⟹ F (s) = \frac{1}{s + 1.5}$
3. Leiten Sie den Anfangswertsatz her, anstatt ihn nur zu zitieren. Ein großes s gewichtet e^−st so stark in Richtung kleiner t, dass sF(s) zu einer Sonde für f nahe dem Ursprung wird. Hier strebt s/(s + 1,5) gegen 1, und e⁰ = 1 bestätigt dies — Sie haben f(0⁺) aus einer Transformation abgelesen, die Sie nie invertiert haben.
  
  $f (0^{+}) = s \to \infty lim s F (s) = s \to \infty lim \frac{s}{s + 1.5} = 1 = e^{0}$
4. Lassen Sie s für den Endwert in die andere Richtung gehen. Dieser Grenzwert ist an eine Bedingung geknüpft: Er gilt nur dann als Satz, wenn jede Polstelle von sF(s) strikt links der imaginären Achse liegt, und die einzige Polstelle liegt hier bei −1,5. Vor dem unten stehenden oszillierenden Fall soll genau diese Bedingung schützen.
  
  $f (\infty) = s \to 0 lim s F (s) = \frac{0}{1.5} = 0$
5. Keiner der beiden Sätze enthält eine Uhr. Der eine beschreibt t = 0 und der andere t = ∞, und dazwischen könnte die Kurve eine Mikrosekunde oder ein Jahrhundert benötigen. Lösen Sie f(τ) = f(0)/e nach der fehlenden Zeitskala auf.
  
  $e^{- 1.5 τ} = e^{- 1} ⟹ τ = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} = 0.667 s$
6. Lassen Sie nun das Bedienfeld hinter sich und fragen Sie sich, wann das Signal auf 1 % seines Anfangswerts abgesunken ist.
  
  $e^{- 1.5 t} = 0.01 ⟹ t = \frac{ln 100}{1.5} = \frac{4.6052}{1.5} = 3.07 s$
Antwort

F(s) = 1/(s + 1,5), eine Polstelle bei −1,5 und τ = 0,667 s — das Bedienfeld gibt die Polstelle und die Zeitkonstante aus, und Sie haben beide aus einem einzigen Integral abgeleitet. Behalten Sie stattdessen die letzte Zeile. Da sich a aus ln(100)/a dividiert durch 1/a herauskürzt, dauert das Erreichen von 1 % stets 4,61 Zeitkonstanten, wie auch immer die Abfallrate lautet: 4,61 ist eine Eigenschaft der Zahl 100, nicht dieses Signals. Die Polstelle steuert lediglich, wie lange ein τ dauert. Verdoppeln Sie a auf 3, halbiert sich jede Zeitdauer auf dieser Seite. Verschieben Sie sie in die andere Richtung zur imaginären Achse hin, läuft τ gegen Unendlich — und sobald die Polstelle die Achse erreicht, existiert der Endwert überhaupt nicht mehr, was das Thema der nächsten Aufgabe ist.

$τ = \frac{1}{a}, t_{1%} = \frac{ln 100}{a} = 4.61 τ (a > 0)$
Der Endwertsatz-Grenzwert für f(t) = sin(4t), der 0 ergibt 5 Schritte
f(t) = sin(4t) für t ≥ 0. Der Grenzwert des Endwertsatzes verläuft hier völlig problemlos und liefert 0. Nichts explodiert und nichts ist unbestimmt. Finden Sie heraus, warum 0 dennoch die falsche Antwort ist und was der Satz Sie wirklich zu überprüfen aufforderte.
1. Bauen Sie diese Transformation aus dem Ergebnis der vorherigen Aufgabe auf, anstatt eine Formelsammlung zu verwenden. Euler spaltet eine Sinusfunktion in ein Paar komplexer Exponentialfunktionen auf, und jede davon gehorcht der Regel, die Sie bereits aus dem Integral abgeleitet haben.
  
  $sin 4 t = \frac{e ^{j 4 t} - e ^{- j 4 t}}{2 j}, L {e^{α t}} = \frac{1}{s - α}$
2. Bringen Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Die 2j kürzen sich gegen j4 − (−j4) im Zähler weg, sodass eine komplexe Konstruktion eine reelle Funktion von s hinterlässt. Das Bedienfeld schreibt den Nenner als s² + 4², was dasselbe ist.
  
  $F (s) = \frac{1}{2 j} (\frac{1}{s - j 4} - \frac{1}{s + j 4}) = \frac{4}{s ^{2} + 16}$
3. Bestimmen Sie die Polstellen. Der Nenner wird bei s = ±j4 zu 0, und ihr Realteil ist 0 — nicht negativ, nicht positiv, sondern liegt genau auf der imaginären Achse. Das ist genau der Fall, den die oben genannte Bedingung ausschließen sollte.
  
  $s^{2} + 16 = 0 ⟹ s = \pm j 4, Re (s) = 0$
4. Führen Sie den Grenzwert für den Endwert trotzdem aus, denn nichts hält Sie davon ab. Der Zähler geht gegen 0, der Nenner geht gegen 16 und der Quotient ist 0. Die Arithmetik wird Sie nicht warnen, dass Sie kein Recht dazu hatten.
  
  $s \to 0 lim s F (s) = s \to 0 lim \frac{4 s}{s ^{2} + 16} = \frac{0}{16} = 0$
5. Vergleichen Sie das mit der Funktion selbst. sin(4t) hat die Periode 2π/4 = 1,5708 s, die das Bedienfeld auf 1,57 s rundet, und nach einem Viertel jeder dieser Perioden ist sie wieder bei +1. Eine Funktion, die für immer wieder zu 1 zurückkehrt, kann nicht gegen 0 oder gegen sonst irgendeinen Wert konvergieren. Das Bedienfeld gibt in der Zeile für den Endwert keine Zahl aus und gibt stattdessen an, dass das Signal oszilliert.
  
  $T = \frac{2 π}{4} = 1.5708 s, f (\frac{T}{4} + k T) = 1$
Antwort

Polstellen bei ±j4, Periode 1,57 s und überhaupt kein Endwert — obwohl der Grenzwert sauber zu 0 ausgewertet wird. Die Lehre daraus ist nicht, dass die Arithmetik anfällig ist, sondern dass die Arithmetik nicht der Satz ist. Vergleichen Sie die beiden sF(s) nebeneinander, und der Unterschied liegt in einer einzigen Polstellenlage. Was die 0 interessant statt bloß falsch macht, ist, dass sie die richtige Antwort auf jede benachbarte Frage ist: Dämpfen Sie den Sinus um ein beliebiges a > 0, verschieben sich die Polstellen nach −a ± j4, findet der Satz Anwendung und der Endwert ist tatsächlich 0 — für jedes a, wie klein auch immer. Der Grenzwert liefert die Antwort auf alle nahegelegenen Probleme und auf keines dieser Aufgabe. Und eine beweisbare 0 kann dennoch nutzlos sein: Bei a = 0,1 liefert die Uhr aus Aufgabe 1 ln(100)/0,1 = 46 s für den Abfall auf 1 %, was etwa 29 vollständigen Schwingungsperioden bei dieser Frequenz entspricht.

$s F (s) = \frac{4 s}{s ^{2} + 16} \Rightarrow s = \pm j 4 s F (s) = \frac{s}{s + 1.5} \Rightarrow s = - 1.5$

Quellen (3)

When the final-value theorem applies, and when the table must say it does not: E. Gluskin, "Let us teach this generalization of the final-value theorem." European Journal of Physics 24(6), 591–597, 2003.
Pole location and stability, at length: Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.
Where the region of convergence is derived from the pole positions: A. V. Oppenheim & A. S. Willsky, Signals and Systems, 2nd edition. Prentice Hall, 1997 — chapter 9, on the Laplace transform and its region of convergence. ISBN 978-0-13-814757-0.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Sprungfunktion - Eine Sprungfunktion der Höhe 2 wird zu 2/s transformiert und besitzt eine einfache Polstelle im Ursprung. Sie ist der einzige Eintrag im Katalog mit einem endlichen Endwert ungleich null, nämlich 2.
Rampe - Eine Rampe 2t — wird zu 2/s², ein doppelter Pol im Ursprung
Potenz tⁿ - t³ — wird zu 6/s⁴: die n! = 6 entsteht durch dreifache partielle Integration, die Polordnung ist n + 1 = 4
exponentieller Zerfall - e^(-1,5t) wird zu 1/(s + 1,5) transformiert. Die Funktion besitzt eine einzelne reelle Polstelle bei s = -1,5; ihr Konvergenzgebiet ist daher Re(s) > -1,5 und ihr Endwert beträgt 0.
Sinuswelle - sin(4t) wird zu 4/(s² + 16) transformiert und hat Pole bei ±j4. Sie liegen auf der Achse, daher klingt die Schwingung nicht ab und der Endwert existiert nicht.
Kosinus - cos(4t) — die Pole liegen auf der imaginären Achse bei ±j4, also gibt es keinen Endwert: es schwingt ewig
gedämpfter Sinus - Gedämpfter Sinus: 3/((s + 1)² + 9), mit Polen bei -1 ± j3. Die Frequenz ist dieselbe wie beim ungedämpften Sinus. Der Realteil -1 entscheidet hier darüber, ob die Schwingung abklingt oder unbegrenzt anhält.
Gedämpfter Kosinus - Ein gedämpfter Kosinus — die Pole wandern auf −1 ± j3, der Konvergenzbereich wird Re(s) > −1 und der Endwert ist 0