Wurzelgleichungs-Prüfer
Quadriere beide Seiten, löse das entstehende Polynom und prüfe jeden Kandidaten anschließend in der ursprünglichen Gleichung.
Algebraische Domäneninvarianten 🖖
Das Quadrieren einer Wurzelgleichung zerstört absichtlich die Parität der analytischen Domäne und beschwört irrelevante Phantomwurzeln herauf. Diese mathematischen Artefakte erfüllen die quadratische Formulierung, verletzen aber die Domäneneinschränkungen der Hauptwurzel.
Warum jede Lösung geprüft werden muss 🖖
Das Quadrieren beider Seiten ist eine Einbahnstraße: Weil sowohl 3 als auch −3 zu 9 werden, kann dieser Schritt Lösungen zulassen, die die ursprüngliche Gleichung nie erlaubt hat. Das Wurzelzeichen liefert nur den nicht-negativen Wert, also muss die rechte Seite cx+d ≥ 0 sein. Fazit: Setze jeden Kandidaten in die unveränderte Ausgangsgleichung ein — das Werkzeug tut dies automatisch und entlarvt die Betrüger.
Scheinlösungen lösen die Spiegelgleichung 🖖
Eine verworfene Lösung ist nicht bedeutungslos — sie ist die exakte Lösung der vorzeichenumgekehrten Zwillingsgleichung √(ax+b) = −(cx+d). Das Quadrieren löscht das Minuszeichen, daher teilen sich beide Gleichungen ein Polynom, und dessen Kandidaten trennen sich sauber: jene mit cx+d ≥ 0 gehören zur Originalgleichung, der Rest zur Spiegelung. Deshalb liegt jeder Scheinpunkt genau auf dem gestrichelten negativen Ast y = −√(ax+b) im Diagramm.
Beispielaufgaben
- Fall mit einer Lösung - Fall mit genau einer gültigen Lösung für sqrt(x+4)=x.
- Fall mit Scheinlösung - Das Quadrieren erzeugt eine Scheinlösung, die die Probe im ursprünglichen Definitionsbereich nicht besteht.
- Fall mit zwei Kandidaten - Vor der Filterung nach dem Definitionsbereich der Wurzel ergeben sich zwei algebraische Kandidaten.