Transporte paralelo en una esfera

Traza un bucle en una esfera y recórrelo con una flecha, manteniéndola siempre apuntando en la misma dirección. La página te muestra dónde acaba, cuánto se ha desviado de su orientación inicial y cómo se compara el giro con el área interior del bucle.

Ejemplo resuelto — Transporte paralelo en una esfera

Lados, como ángulos centrales	90,00°, 90,00°, 90,00°
Ángulo en A	90,00°
Ángulo en B	90,00°
Ángulo en C	90,00°
Suma de los tres ángulos	270,00°
Exceso angular	90,00°
Porción de esfera interior	0,1250
Área interior	1,5708 R²

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Transporte paralelo en una esfera

El transporte paralelo lleva una flecha por un camino sobre una superficie sin girarla: a cada paso la flecha se mantiene en la superficie y cambia solo lo que la superficie la obliga. En una hoja plana, una flecha que recorre cualquier bucle cerrado regresa tal como salió. En una superficie curva puede regresar girada, y el giro equivale a la curvatura sumada en toda el área interior del bucle, menos cualquier vuelta completa. En una esfera de radio R esto es área/R² en radianes, lo que para un triángulo de arcos de círculo máximo es su exceso angular A + B + C − 180°.

Qué significa cada símbolo

E: exceso angular de un triángulo, A + B + C − 180°; en radianes es el área interior en unidades de R²
R: radio de la esfera; para la Tierra aquí 6.371,0088 km
φ: latitud del círculo por el que se transporta la flecha

Aun sin girar, la flecha regresa desviada 90° 🖖

Pulsa Tres ángulos rectos. El triángulo va desde el Polo Norte hasta el ecuador, recorre un cuarto de este, y vuelve al polo, y sus tres ángulos miden 90°. Ahora fíjate en la flecha naranja. A lo largo de cada lado mantiene el mismo ángulo respecto a este, que es lo único que puede significar «no girar» en una superficie curva, y en cada vértice no se mueve en absoluto. Alcanza de nuevo el polo con un giro de 90° en sentido antihorario respecto a la flecha discontinua de la que partió. El dial indica adónde fueron a parar esos 90°. Alguien que recorra el triángulo a pie gira 90° en cada vértice, 270° en total, y un recorrido cerrado en papel gira exactamente 360°. Los 90° que faltan son el giro de la flecha, y también el área del triángulo: π/2 en unidades de R², un octavo de la esfera.

Solo el área importa, y el París de Foucault es casi un octavo de la esfera 🖖

Pulsa Misma área, circular: un paralelo a 48,59° N, donde sen φ = 3/4, por lo que el casquete superior es un octavo de la esfera, como el octante. Un círculo no tiene vértices ni nada en común con ese triángulo, y la flecha regresa girada los mismos 90°. El giro solo depende del área encerrada: 720° por la fracción de esfera en su interior, menos cualquier vuelta completa, y la segunda gráfica sitúa cada bucle en una sola línea. Pulsa París, 48,836° N, la latitud del péndulo de Foucault en Efecto Coriolis y péndulo de Foucault: la flecha vuelve girada 88,98° en sentido antihorario. El péndulo es esta flecha. En un día sidéreo la Tierra arrastra su oscilación una vez alrededor del paralelo, nada la tuerce, y respecto al suelo que gira se atrasa 360° − 88,98° = 271,02° en sentido horario, que son los 11,32° por hora que indica esa página para París. A 30° N el casquete es un cuarto de la esfera y la flecha regresa invertida.

Una hormiga puede descubrir el radio de su mundo sin salir de él 🖖

El giro dividido por el área es igual para todo bucle en una esfera que abarque menos de la mitad de esta, y equivale a 1/R²: esa proporción es la curvatura. Pulsa Londres, Tokio, Los Ángeles. En la Tierra el triángulo cubre 47.696.300 km² y gira la flecha 67,33°, que son 1,17508 radianes, y √(47.696.300 / 1,17508) da 6.371,0 km, el radio terrestre, hallado a partir de dos medidas hechas sobre la superficie. Hace falta un bucle grande para verlo. Reduce a la mitad los lados de un triángulo equilátero y, una vez que es pequeño, el giro cae a un cuarto (la tabla: 4,059, 4,015, 4,004), de modo que un triángulo con lados de 100 km gira la flecha 22,0 segundos de arco. Los topógrafos han compensado exactamente esto desde Legendre: cada ángulo de un triángulo esférico pequeño es mayor que el del triángulo plano con los mismos lados en casi exactamente un tercio del exceso.

Problema resuelto al detalle

Un triángulo cuyos ángulos suman 181° 4 pasos
En la Tierra, un triángulo equilátero de arcos de círculo máximo tiene ángulos que suman exactamente 181°. ¿Cuánto terreno abarca y qué longitud tienen sus lados? Pulsa primero Tres ángulos rectos: ahí el exceso es de 90° y la página te da el área en la Tierra.

Abre este problema en la herramienta
1. En el octante el exceso es un cuarto de vuelta, y el área es ese exceso, en radianes, multiplicado por R²:
  
  $E = 27 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 90.0 0^{\circ} = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{2} R^{2} = 63, 758, 235 km^{2}$
2. Un exceso de 1° equivale a π/180 radianes, por lo que el área se obtiene de inmediato, sin importar la forma del triángulo:
  
  $A = \frac{π}{180} \times 6371.008 8^{2} = 708, 424.8 km^{2}$
3. Para los lados, aprovecha que el triángulo es equilátero. Cada ángulo mide 181°/3, y el teorema del coseno para un triángulo esférico con tres lados iguales s se simplifica a cos A = cos s / (1 + cos s), que al despejarse da cos s:
  
  $A = \frac{18 1 ^{\circ}}{3} = 60.333 3^{\circ}, cos s = \frac{cos A}{1 - cos A} = \frac{0 . 49495324}{0 . 50504676} = 0.9800147 \Rightarrow s = 11.474 1^{\circ}$
4. y el lado, en kilómetros, es ese ángulo en radianes multiplicado por R:
  
  $s = 11.474 1^{\circ} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \times 6371.0088 km = 1, 275.9 km$
Respuesta

708.425 km², con lados de 1.275,9 km. Un triángulo plano con los mismos tres lados tendría ángulos de exactamente 60° y un área de unos 704.900 km², un 0,50% menos. Un grado entero de exceso requiere un triángulo del tamaño de un país grande: reduce sus lados a la mitad y el exceso cae a 0,249°, cerca de un cuarto. Por eso un triángulo medido a pasos en un campo suma 180° a ojos de cualquier transportador.

$A = 708, 425 km^{2}, s = 1, 275.9 km$

Ruta de aprendizaje

Geometría en una superficie curva

Referencias (2)

The turn of a parallel-transported vector round a circle of latitude, 2π(1 − sin φ), equal to the area of the cap it bounds on the unit sphere; the Foucault pendulum as that transport, with Paris turning about 271° against the ground in a sidereal day; and, for a geodesic triangle, the curvature inside equal to the angle sum minus π: O. Stoytchev, "From Foucault's Pendulum to the Gauss–Bonnet Theorem", arXiv:1701.01666 [math.HO] (2017).
The area of a spherical triangle, (A + B + C − π)r², proved from lunes; the law of cosines the results table uses for the angles; and Legendre's theorem, that each angle of a small spherical triangle exceeds the flat triangle's with the same sides by a third of the excess, with its use in measuring the Earth: I. Todhunter, Spherical Trigonometry for the Use of Colleges and Schools, 5th edition, Macmillan, 1886, Arts. 96–97 and 106–108 (Project Gutenberg ebook 19770).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.