Laboratorio de distorsión cartográfica

Lleva el mismo terreno hacia los polos y descubre qué sacrifica cada mapa plano.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de distorsión cartográfica

Escala de área Mercator	14,00×
Escala lineal Mercator	3,74×
Escala de área equivalente	1,00×
Estiramiento de forma equivalente	14,00:1
Latitud elegida	74,5°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La distorsión es el precio, no un fallo 🖖

Un globo no puede aplanarse sin distorsión. Mercator conserva ángulos locales al estirar por igual este-oeste y norte-sur, pero el área crece como sec²(latitud). Una proyección equivalente comprime norte-sur tanto como estira este-oeste. Ningún mapamundi plano conserva a la vez área, ángulos, distancia y dirección en todas partes; elegir una proyección es elegir qué promesa importa.

Por qué los navegantes aceptaron la inflación 🖖

En la proyección de Mercator, un rumbo constante, es decir, una línea loxodrómica, se representa mediante una recta. Así se podía trazar el rumbo con regla y compás, aunque esa recta no suele corresponder a la ruta más corta sobre el globo. Las rutas ortodrómicas nunca son más largas y, salvo en el ecuador y los meridianos, aparecen como curvas en Mercator. La proyección resolvía un problema de navegación; no pretendía ordenar los países por tamaño.

Los pequeños círculos que auditan cada mapa 🖖

Las elipses de las cuadrículas son indicatrices de Tissot: círculos infinitesimales imaginarios sobre la Tierra después de proyectarlos. Un círculo que sigue redondo indica conservación angular; áreas iguales indican conservación de área. Su tamaño y forma hacen visible la huella de la distorsión.

Problemas resueltos al detalle

Groenlandia a 74,5° norte y el único número que toda proyección tiene que gastar en alguna parte 6 pasos
Groenlandia ocupa 2,166 millones de km² y se encuentra cerca de los 74,5° N. Calcula cómo la representa Mercator. A continuación, compara las tres proyecciones a esa latitud y halla qué tienen en común.
1. La proyección de Mercator está construida para conservar los ángulos, y esa condición determina todo lo demás. A lo largo de un paralelo, la distancia sobre el terreno correspondiente a un grado de longitud se ha reducido en un factor cos φ. Para mantener fiel la forma local, el mapa debe estirarse de este a oeste en un factor 1/cos φ = sec φ.
  
  $sec φ = \frac{1}{cos 74. 5 ^{\circ}} = \frac{1}{0.2672} = 3.742$
2. A 74,5°, cos φ = 0,26724, así que sec φ = 3,742. Allí, todas las distancias de este a oeste se dibujan 3,742 veces más largas de lo debido.
3. Los ángulos solo se conservan si la dirección norte-sur se estira en el mismo factor. Por tanto, el área se multiplica dos veces por sec φ: sec² φ = 14,002, que el panel redondea a 14,00.
  
  $A_{Mercator} = sec^{2} φ = 3.74 2^{2} = 14.00$
4. Aplícalo. 2,166 × 14,002 = 30,33 millones de km². Mercator dibuja una zona situada en la latitud media de Groenlandia con un tamaño catorce veces mayor que el real. La razón entre las escalas permanece en 1, de modo que la forma parece correcta en cada punto. Aun así, el país se deforma a lo largo de sus 24 grados de latitud porque la escala difiere entre sus dos extremos.
  
  $2.166 \times 14.002 = 30.33 million km^{2}$
5. Ahora las otras dos a la misma latitud. La equivalente mantiene el área en 2,166 al comprimir la dirección norte-sur a 0,2672 mientras que la este-oeste se sigue estirando a 3,742, por lo que su relación de forma es 3,742 ÷ 0,2672 = 14,00. La plate carrée no altera la dirección norte-sur: área 3,742, forma 3,742.
  
  $equal-area: \frac{3.742}{0.2672} = 14.00 (shape), area = 1$
6. Multipliquemos cada par. Mercator: 14,00 × 1; equivalente: 1 × 14,00; plate carrée: 3,742 × 3,742. Las tres dan 14,00, y 14,00 es sec² φ — el número del que partimos.
  
  $area \times shape = sec^{2} φ = 14.00 for all three$
Respuesta

Groenlandia aparece con 30,33 millones de km², y cualquier proyección en esa latitud tiene la misma distorsión total de 14,00; solo puede elegir dónde concentrarla. En cualquiera de las tres proyecciones cilíndricas de este panel, el error de área multiplicado por el error de forma es sec² φ. La pregunta adecuada ante un mapa no es «¿está distorsionado?», sino «¿qué distorsión decidió aceptar su autor?». Mercator concentra toda la distorsión en el área y ninguna en la forma. Eso es justo lo que necesita quien navega: una ruta de rumbo constante se representa mediante una recta, y ningún país dibujado con un tamaño incorrecto ha hecho naufragar a nadie. La proyección equivalente concentra toda la distorsión en la forma, como conviene en un mapa destinado a comparar territorios. La proyección equirrectangular la reparte por igual y es la única de las tres que no sobresale en nada. Su virtud consiste en que la latitud y la longitud corresponden directamente a x e y, algo útil para un ordenador, no para quien lee el mapa. Ajusta la latitud a 60° y el cálculo será exacto: sec 60° = 2, por lo que el total es 4, y cada proyección reparte ese 4 de manera distinta.
Media hoja de Mercator para una doceava parte del mundo 6 pasos
A 78,2° el panel sitúa el estiramiento este-oeste de Mercator en 4,89 y su factor de área en 23,91. Ambos son locales. Averigua en qué punto de la hoja se dibuja esa latitud y decide después cómo se reparte el papel.
1. Los dos números impresos describen un parche. Dicen cuánto se agranda un trozo pequeño de terreno situado a 78,2°, y nada acerca de dónde se dibuja ese trozo en la hoja.
  
  $sec 78. 2^{\circ} = \frac{1}{0.2045} = 4.89, sec^{2} 78. 2^{\circ} = 23.91$
2. La posición es la acumulación de todo el estiramiento que queda por debajo. Un paso de dφ hacia el norte cubre una distancia fija sobre el terreno y se dibuja sec φ veces más largo, de modo que la coordenada y de la hoja crece exactamente al ritmo que imprime el panel.
  
  $d y = sec φ d φ ⟹ y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'}$
3. Esa integral tiene forma cerrada, y es la que oculta la construcción del propio Mercator. A 78,2° vale 2,270.
  
  $y = ln tan (4 5^{\circ} + \frac{φ}{2}); y (78. 2^{\circ}) = ln tan 84. 1^{\circ} = ln 9.677 = 2.270$
4. La hoja hay que cortarla, porque y se va a infinito en el polo. Córtala a 85°, como hace este mapa, y la semialtura es 3,131, de manera que la latitud de Svalbard queda al 72,5% del recorrido hacia arriba.
  
  $y (8 5^{\circ}) = ln tan 87. 5^{\circ} = ln 22.90 = 3.131, \frac{2.270}{3.131} = 72.5%$
5. ¿Qué latitud queda a media altura? Invierte la misma fórmula en la mitad de la altura y sale 66,4°, a menos de un quinto de grado del círculo polar ártico.
  
  $y = \frac{1}{2} (3.131) = 1.566 ⟹ φ = 2 arctan e^{1.566} - 9 0^{\circ} = 66. 4^{\circ}$
6. Ahora el terreno que hay debajo. El área entre dos paralelos va como la diferencia de sus senos, así que la mitad superior de esa hoja, todo lo que queda al norte de 66,4°, contiene el 8,0% de lo dibujado. La franja del ecuador a 30°, que ocupa el 17,5% de la altura, contiene el 50,2%.
  
  $\frac{sin 8 5 ^{\circ} - sin 66. 4 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = \frac{0.9962 - 0.9166}{0.9962} = 8.0%, \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = 50.2%$
Respuesta

y = 2,270, o sea el 72,5% del camino hasta el corte de 85°. El 4,89 de la tarjeta es un ritmo de estiramiento y la posición es su integral, y es la integral la que decide cómo se reparte el papel. La mitad de la altura de una hoja cortada a 85° se la lleva el 8% del mundo que hay por encima de 66,4°, mientras que la mitad del mundo contenida dentro de los 30° recibe el 17,5%. La hinchazón de Groenlandia y la distribución de la página son la misma secante, elevada al cuadrado para un parche e integrada para la hoja.

$y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'} = ln tan (\frac{π}{4} + \frac{φ}{2})$

Referencias (3)

Mercator is conformal, keeps rhumb lines straight, and grossly distorts area on world maps: PROJ contributors, “Mercator.” PROJ 9 documentation.
The spherical Mercator areal scale k² = sec²φ used by the model: J. P. Snyder, Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, 1987.
The cylindrical equal-area projection and its standard-parallel parameter: PROJ contributors, “Lambert Cylindrical Equal Area.” PROJ 9 documentation.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

Todas las lecciones de Biología y Química →

Problemas de ejemplo

Latitud de Groenlandia - A 74,5°, la escala de área de Mercator es 14,00× y la equivalente 1,00×.
Ecuador - En el ecuador ambas proyecciones parten de 1,00×.
Londres - A 51,5°, Mercator amplía el área a 2,58×.
Svalbard - A 78,2°, Mercator llega a 23,91×.