Rutas de círculo máximo

Elige dos lugares en el globo. La página traza la ruta más corta entre ellos junto a la que mantiene un solo rumbo de brújula, muestra ambos rumbos y distancias, y divide la ruta en tramos tal como lo haría un navegante.

Ejemplo resuelto — Rutas de círculo máximo

Ángulo entre A y B desde el centro de la Tierra	78,78°
Círculo máximo, la ruta más corta	8760,1 km
Rumbo al salir de A	311,7°
Rumbo al llegar a B	214,1°
Distancia máxima de la ruta al ecuador	62,26° N
El único rumbo que llega a B	258,4°
Longitud con ese único rumbo	9732,5 km
Un rumbo, supera al círculo máximo en	972,4 km

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Rutas de círculo máximo

Un círculo máximo es la intersección de una esfera con un plano que pasa por su centro. El arco más corto entre dos puntos es la ruta más corta entre ellos sobre la esfera, su equivalente a una línea recta. Una loxodrómica cruza todos los meridianos con el mismo ángulo, por lo que se puede seguir manteniendo un único rumbo de brújula; en el mapa de Mercator se representa como una línea recta. Salvo que ambos lugares estén en el ecuador o en el mismo meridiano, el círculo máximo es más corto y su rumbo cambia durante todo el trayecto.

Qué significa cada símbolo

σ: el ángulo entre los dos lugares visto desde el centro de la Tierra; el círculo máximo mide Rσ, con σ en radianes
θ: un rumbo, medido en sentido horario desde el norte: θ₁ al salir de A, θ₂ al llegar a B
ψ: latitud isométrica, ln tan(45° + φ/2): la altura de la latitud φ en el mapa de Mercator de un globo unitario
R: el radio de la Tierra, aquí el radio medio de 6.371,0088 km

Supone: Una esfera con el radio medio de la Tierra. Nuestro planeta está achatado en torno a 1 parte en 298, y sobre el elipsoide WGS 84 la ruta más corta desde Londres Heathrow a Los Ángeles es de 8.781,1 km según el método de Vincenty, un 0,24% más larga que los 8.760,1 km de la esfera. Al analizar un amplio conjunto de rutas, el error máximo de la esfera es de alrededor de un medio por ciento, y ocurre en rutas cortas de norte a sur cerca del ecuador.

Para llegar a una ciudad al suroeste, despega hacia el noroeste 🖖

Pulsa Londres a Los Ángeles. Los Ángeles se encuentra a 17,5 grados de latitud al sur de Londres y a 118 grados al oeste, y un navegante que mantuviera un solo rumbo, 258,4°, llegaría allí en 9.732,5 km. La ruta más corta despega a 311,7°, hacia el noroeste, cruza el sur de Groenlandia a 62,26° N y desciende sobre Los Ángeles a 214,1°, rumbo al suroeste: 8.760,1 km, es decir, 972,4 km menos. Observa la aguja cian de la brújula. Gira 97,5° sin que la ruta se desvíe nunca a izquierda ni a derecha, porque lo que se mueve es el norte: todos los meridianos convergen en el mismo polo, por lo que un círculo máximo los cruza con ángulos distintos. En el mapa plano inferior, la línea recta es la ruta de un solo rumbo, y el círculo máximo se curva hacia el polo para ahorrar casi mil kilómetros.

Un paralelo de latitud no es una línea recta 🖖

Madrid está a 40,49° N y Nueva York a 40,64° N, así que la ruta de rumbo constante entre ambas avanza casi directamente hacia el oeste, a 270,2°, y prácticamente sobre el paralelo: 5.930,8 km. El círculo máximo sale de Madrid a 294,7°, cruza el Atlántico subiendo hasta los 46,30° N y llega 169,9 km antes. Caminar sobre un paralelo parece ir en línea recta, pero no lo es. Lejos del ecuador, un paralelo es un círculo menor trazado alrededor del polo, y para mantenerte a 40,49° N tendrías que girar hacia el polo 0,768° cada 100 km; suelta el timón y derivarás hacia el sur a lo largo de un círculo máximo. El ecuador es el único paralelo en el que no hace falta girar, porque es el único cuyo centro es el centro de la Tierra.

Reduce los tramos a la mitad y la distancia extra caerá a la cuarta parte, salvo que la ruta pase cerca de un polo 🖖

Los barcos seguían los círculos máximos mucho antes de tener pilotos automáticos, navegando en unos pocos tramos de rumbo fijo entre puntos de ruta. Pulsa Cuatro tramos: ir de Londres a Los Ángeles a 299,2°, 267,1°, 236,5° y 219,3° resulta 74,6 km más largo que el círculo máximo, frente a los 972,4 km de un único rumbo. La tabla muestra esta reducción a la mitad: 972,4, 282,0, 74,6, 18,9 y 4,8 km, y la proporción se estabiliza en 4. La razón es que la longitud adicional de un tramo corto crece en proporción al cubo del tramo: si divides el tramo a la mitad, cada uno cuesta la octava parte, pero tienes el doble de ellos. Pulsa Singapur a Nueva York y la regla falla. Esa ruta pasa a 2,53° del polo, donde un rumbo fijo gira alrededor del polo en lugar de atravesarlo, y dos tramos siguen sumando 2.976,7 km adicionales frente a los 3.160,4 de uno solo; las proporciones varían de 1,06 hasta 3,92 y vuelven a 2,27, y solo a partir de los 32 tramos, de unos 480 km cada uno, la proporción vuelve a ser 4.

Problema resuelto al detalle

Mantén un solo rumbo para siempre 4 pasos
Sal desde un punto en el ecuador con un rumbo de 45°, hacia el noreste, y no lo cambies nunca. ¿Qué distancia recorres antes de llegar al Polo Norte y cuántas veces lo rodeas por el camino? Pulsa primero Londres a Los Ángeles: la página calcula la longitud de esa loxodrómica, y la misma regla responde a esta pregunta.

Abre este problema en la herramienta
1. La longitud indicada en la página para la ruta de rumbo constante de Londres a Los Ángeles, dividida en una parte norte–sur y otra este–oeste, ambas medidas como ángulos en el centro de la Tierra, en radianes:
  
  $d_{r} = R Δ φ^{2} + (q Δ λ)^{2} = 6371.0088 \times 0.30595 6^{2} + 1.49667 8^{2} = 9, 732.5 km$
2. A lo largo de una loxodrómica el rumbo nunca cambia, así que cada kilómetro gana el mismo avance hacia el norte, cos θ de un kilómetro. Del ecuador al polo hay un cuarto de meridiano, πR/2:
  
  $d = \frac{π R /2}{cos 4 5 ^{\circ}} = \frac{10 , 007 . 56}{0 . 707107} = 14, 152.8 km$
3. La longitud es la otra componente. En una loxodrómica, tan θ = Δλ/Δψ, de modo que a 45° la longitud ganada equivale al cambio en la latitud isométrica ψ, en radianes, y cada 2π equivale a una vuelta completa alrededor del polo. A un grado del polo, con 157,3 km de espiral hasta el final:
  
  $Δ λ = tan 4 5^{\circ} Δ ψ = ψ (8 9^{\circ}) = 4.7413 \Rightarrow n = \frac{4 . 7413}{2 π} = 0.755$
4. Pero ψ nunca deja de crecer. Cerca del polo, ψ es casi exactamente el logaritmo de 2 dividido por la colatitud restante, así que cada vez que la distancia se reduce a la décima parte se le suma la misma cantidad, lo que supone la misma fracción de vuelta:
  
  $ψ (φ) \approx ln \frac{2}{π /2 - φ} \Rightarrow Δ n = \frac{ln 10}{2 π} = 0.3665$
Respuesta

14.152,8 km, y un número infinito de vueltas. La distancia es finita porque cada kilómetro de espiral avanza 0,707 km hacia el norte, por lo que toda la espiral equivale a √2 veces un cuarto de meridiano. Las vueltas no terminan nunca porque ψ no tiene techo, pero se producen muy tarde y son pequeñas: 0,755 de vuelta a los 89° N; 1,488 a los 89,99° N cuando faltan 1,573 km de espiral, y desde ahí se suma 0,3665 de vuelta cada vez que la distancia se reduce a la décima parte. El mapa de Mercator no puede mostrar su final, porque el polo se encuentra a una altura infinita en el mapa.

$d = 14, 152.8 km, n \to \infty, n (89.9 9^{\circ}) = 1.488$

Ruta de aprendizaje

Geometría en una superficie curva

Referencias (2)

Geodesics on the Earth: the great circle as the sphere's shortest path, Clairaut's relation sin α₀ = sin α cos β that fixes how the heading changes along one (on a sphere, the sine rule), and the WGS 84 semi-axes this page's mean radius (2a + b)/3 is taken from: C. F. F. Karney, "Algorithms for geodesics", Journal of Geodesy 87(1), 43–55 (2013).
The ellipsoidal distance the lesson compares the sphere with: Vincenty's iterative inverse formula, used here on the WGS 84 ellipsoid for London Heathrow to Los Angeles (8,781.1 km against the sphere's 8,760.1 km): T. Vincenty, "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations", Survey Review 23(176), 88–93 (1975).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.