Theorema egregium de Gauss

Elige una superficie y una distancia r. Una hormiga camina r a lo largo de cada línea recta desde un punto, y la página compara el anillo de los puntos finales con el 2πr que mediría en un papel, para luego calcular la curvatura de la superficie a partir de la diferencia.

Ejemplo resuelto — Theorema egregium de Gauss

Longitud C por los 720 radios	6,2832
En una hoja plana, 2πr	6,2832
El anillo según su fórmula	6,2832
C / 2πr	1,00000
Déficit, 2πr − C	0,0000
Radio de círculo plano igual	1,0000
Curvatura según el anillo	0,000 / R²
Curvaturas principales	1/R y 0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Theorema egregium de Gauss

La curvatura gaussiana K en un punto de una superficie es el producto de sus dos curvaturas principales en ese lugar: lo máximo y lo mínimo que la superficie se dobla en cualquier dirección que pase por el punto, cada una con un signo según el lado hacia el que se curva. El Theorema egregium (1827) de Gauss afirma que K depende únicamente de las longitudes medidas dentro de la superficie, por lo que doblar una superficie sin estirarla mantiene K intacta. Una medición que la determina desde dentro: el anillo de puntos a distancia r del punto central tiene una longitud C = 2πr − (π/3)K r³ + …, por lo que K es el límite de 3(2πr − C)/(πr³) a medida que r se reduce.

Qué significa cada símbolo

K: curvatura de Gauss en el centro, el producto κ₁κ₂ de las dos curvaturas principales; 1/R² en una esfera de radio R
C: la longitud del anillo de puntos a una distancia r del centro, medida sobre la superficie
r: la distancia caminada desde el centro a lo largo de la superficie

Un cilindro es tan plano como esta página, y una hormiga puede demostrarlo 🖖

Pulsa Cilindro, r = R, y luego Esfera, r = R. Ambas superficies se curvan por 1/R en su parte superior, y desde fuera se ven claramente redondas. Al caminar 1 desde el centro en todas direcciones, la hormiga en el cilindro traza un anillo de 6,2832 de largo, exactamente lo que marcaría en una hoja de papel; en la esfera el anillo mide 5,2871. A lo largo de su longitud, el cilindro no se curva en absoluto. Sus dos curvaturas principales son 1/R y 0, y la curvatura K de Gauss es su producto, 0. Gauss demostró en 1827 que K se puede calcular a partir de longitudes medidas dentro de la superficie, por lo que doblar una superficie sin estirarla no puede cambiar K. A este resultado se le conoce desde entonces como el theorema egregium, el teorema notable. Enrollar papel para formar un tubo no estira nada. El tubo mantiene K = 0, y ninguna hormiga que mida un fragmento de este podrá notar que alguna vez fue enrollado. Es también la razón por la que una porción de pizza doblada por la corteza deja de caerse: al curvarse en un sentido, debe mantenerse recta a lo largo.

Ningún mapa plano de la Tierra conserva sus distancias, y el anillo indica por cuánto 🖖

Pulsa La Tierra, 1.000 km. Cada punto del anillo naranja está a 1.000 km del centro, medidos sobre el terreno, y el anillo tiene una circunferencia de 6.257,42 km. Un círculo plano de 1.000 km de radio mide 6.283,19 km de contorno. Así que un mapa que conserve fielmente cada distancia desde el centro tiene que dibujar el borde 25,77 km demasiado largo. A su vez, un mapa que mantenga el borde fiel y redondo tiene que trazar los radios de 995,90 km, quedándose 4,10 km cortos. Una u otra distancia es errónea en todo mapa plano. El teorema explica por qué no se salva ninguna proyección, por ingeniosa que sea: la curvatura que acorta el anillo no puede eliminarse sin estirar la superficie. Pulsa La Tierra, 2.000 km. Con el doble de radio, el borde se queda 205,4 km corto, lo que supone 7,97 veces más. El déficit crece como el cubo del radio. Por eso el plano de una ciudad puede ignorar la curva terrestre, pero el mapa de un continente no. El Laboratorio de distorsión en proyecciones cartográficas muestra a qué renuncia cada proyección.

En una silla de montar el anillo resulta demasiado largo 🖖

Pulsa Silla de montar, r = R/2. La hormiga camina 0,5 en todas direcciones y el anillo mide 3,2573, más que los 3,1416 de un círculo plano. Una esfera acorta el anillo y una silla de montar lo alarga, porque las líneas rectas de una silla se separan más rápido de lo que lo harían en un papel. Las de una esfera lo hacen más despacio, hasta que se vuelven a encontrar en el polo opuesto. El signo de 2πr − C es el signo de K, de modo que la hormiga averigua en qué sentido se curva su mundo sin ver ninguna de las dobleces. La K de Gauss es el límite de 3(2πr − C)/(πr³) cuando el anillo se encoge. Esa es la expansión de la longitud del anillo que Bertrand y Puiseux publicaron en 1848, resuelta para K. La tabla inferior muestra cómo se aproxima este límite. En la esfera, cuya curvatura es 1/R² en todas partes, la estimación es de 0,9876 con r = R/2 y de 0,9995 con R/10. En la silla de montar es de −0,8838 y −0,9945: un anillo de radio R/2 ya alcanza terreno donde esta silla está menos curvada que en su centro.

Problema resuelto al detalle

¿Qué tamaño tiene que tener un círculo para que una cinta métrica note la curva de la Tierra? 4 pasos
Una cinta topográfica tiene una precisión de una parte por millón, un milímetro por kilómetro. ¿Qué tamaño debe tener un círculo trazado sobre la Tierra antes de que su borde se quede perceptiblemente corto respecto a 2πr? Pulsa primero La Tierra, 1.000 km: la página te da C/2πr para un disco de ese tamaño.

Abre este problema en la herramienta
1. A 1.000 km, al borde le falta 1 − 0,99590 de 2πr. En una esfera C = 2πR sen(r/R), y sen x / x = 1 − x²/6 + …, de forma que la fracción es (r/R)²/6 en primer orden:
  
  $1 - 0.99590 = 0.00410 \approx \frac{1}{6} (\frac{1 , 000}{6 , 371 . 0088})^{2} = 0.00411$
2. Iguala esa fracción a una parte por millón y despeja r/R:
  
  $\frac{1}{6} (\frac{r}{R})^{2} = 1 0^{- 6} \Rightarrow \frac{r}{R} = 6 \times 1 0^{- 6} = 0.0024495$
3. y el radio sobre la Tierra es ese valor multiplicado por R:
  
  $r = 0.0024495 \times 6, 371.0088 km = 15.606 km$
4. Compruébalo. El perímetro del círculo plano es 2π × 15,606 km, y su millonésima parte es
  
  $2 π \times 15.606 km = 98.055 km, 98.055 km \times 1 0^{- 6} = 9.8 cm$
Respuesta

Unos 15,6 km de radio, un círculo de 31 km de diámetro. Su borde de 98 km se queda 9,8 cm corto respecto a 2πr, que es cuando la cinta empieza a notarlo. El déficit crece como el cubo del radio, de modo que a un círculo de la décima parte de ese tamaño le falta una milésima parte de eso, una décima de milímetro. Por tanto, el levantamiento topográfico de una ciudad puede tratar el terreno como si fuera una hoja plana.

$r \approx 15.6 km, 2 π r - C \approx 9.8 cm$

Ruta de aprendizaje

Geometría en una superficie curva

Referencias (3)

The measure of curvature as one over the product of the two extreme radii of curvature (Art. 8), and the theorem that it stays unchanged when a surface is developed upon another, with surfaces developable on a plane having curvature zero everywhere (Art. 12): C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel, Princeton University Library, 1902, Arts. 8 and 12, pp. 15 and 20–21 (Project Gutenberg ebook 36856).
The length of the ring traced by a short thread of length s turned about a point on a surface, 2πs − πs³/(3R₁R₂) to fourth order, from which the product of the principal radii, and so Gauss's curvature, is recovered by a measurement made on the surface: J. Bertrand, "Démonstration d'un théorème de M. Gauss", Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, 13 (1848), 80–82; and V. Puiseux, "Sur le même théorème", same volume, 87–90.
The folded pizza slice as the theorem in the kitchen: a surface with zero Gaussian curvature bent one way must stay flat the other way, so curling the crust stiffens the slice along its length: A. Bhatia, "How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice", WIRED, 5 September 2014.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.