El plano hiperbólico

El plano de curvatura negativa constante, dibujado en el disco de Poincaré. Construye un triángulo y compara sus ángulos y área con uno plano, sitúa un punto junto a una recta y mira qué rectas que pasan por él nunca la cortan, o mide un círculo frente a 2πr.

Ejemplo resuelto — El plano hiperbólico

Lados (distancias en el plano)	1,0000, 1,0000, 1,0000
Ángulo en A	52,643°
Ángulo en B	52,643°
Ángulo en C	52,643°
Suma de los tres ángulos	157,93°
Área	0,385
Como proporción de π	12,26%
Triángulo plano equivalente (Herón)	0,43

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El plano hiperbólico

El plano hiperbólico es la superficie completa y simplemente conexa cuya curvatura gaussiana es el mismo número negativo en todas partes. Aquí K = −1, de modo que las longitudes se miden en unidades del radio de curvatura y las áreas en su cuadrado. El área de un triángulo es π menos la suma de sus ángulos. Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas que nunca la cortan. El disco de Poincaré dibuja todo el plano infinito dentro de un círculo. Las rectas se convierten en arcos que cortan el borde en ángulo recto, los ángulos se representan con exactitud y las distancias se reducen hacia el borde, situado en el infinito.

Qué significa cada símbolo

K: la curvatura gaussiana, −1 en todos los puntos de este plano
Π(d): el ángulo de paralelismo: las rectas por un punto a distancia d de una recta solo la cortan si se encuentran a menos de Π(d) de la perpendicular

Ningún triángulo aquí supera π, por muy largos que sean sus lados 🖖

Pulsa Equilátero, lado 1. Los lados son rectas de este plano, dibujadas como arcos porque el disco es un mapa. Los ángulos suman 157,93°. Lo que les falta para llegar a 180° es el área: 180° − 157,93° = 22,07°, que en radianes equivale a 0,385. Pulsa ahora Equilátero, lado 10. Cada ángulo se ha cerrado hasta 0,772°, la suma es de 2,32° y el área es de 3,101. Esto supone un 98,71% de π. Un triángulo plano con lados de 10 ocuparía 43,30. Como el área es π menos la suma de los ángulos, y los ángulos no pueden ser menores que cero, ningún triángulo de este plano supera π, tengan la longitud que tengan sus lados. La tabla muestra la progresión. El lado 5 ya alcanza el 84,41% de π, y el lado 20 llega al 99,99%. Solo un triángulo cuyos vértices se hayan alejado hacia el infinito, con tres ángulos de 0°, contiene π exactamente.

Por un punto exterior a una recta, infinitas rectas nunca la cortan 🖖

Pulsa Paralelas a distancia 1. La línea negra es una recta de este plano, y el punto está a una distancia de 1. Observa cómo gira la recta que pasa por el punto. Solo corta a la línea negra mientras está a menos de 40,395° de la perpendicular, a un lado o al otro. Lobachevsky llamó a este ángulo de paralelismo, Π(d), y en 1840 lo formuló como tan(Π/2) = e^−d. Las dos rectas exactamente en Π(d), de color rosa, se acercan a la línea negra hacia sus extremos y nunca la alcanzan. Todas las rectas entre ellas en los 99,21° restantes tampoco la tocan. La geometría de Euclides tiene exactamente una paralela por el punto. Esta geometría tiene infinitas. Pulsa Paralelas a distancia 3. Π(d) baja a 5,700°, y 168,60° de direcciones pasan de largo. Si en cambio acercas el punto, el abanico se estrecha casi hasta desaparecer, con 55,05° para d = 0,5. Cerca de la recta, el plano se comporta casi igual que un papel.

El borde de un círculo crece exponencialmente, y la mayor parte del disco se concentra cerca de la orilla 🖖

Pulsa Círculo de radio 10. La circunferencia mide 2π sinh 10 = 69.198,18, frente a 62,83 en papel. Es 1.101 veces más larga. El área interior, 2π(cosh 10 − 1) = 69.191,90, es casi el mismo número. Un 63,22% de esa área se encuentra a una distancia de 1 del borde. Más hacia el exterior, cada avance de 1 multiplica el borde casi por e. Henderson y Taimina tejen a ganchillo un modelo de este plano con esa regla. En cada nueva fila convierten N puntos en N + 1. Cada fila es más larga que la anterior en un mismo factor, y el tejido, al contener más borde del que cabe en una hoja plana, se pliega y ondula. La silla de montar del Theorema Egregium de Gauss se alargaba de la misma forma. Escribe r = 0,5 aquí y el anillo da una curvatura de −1,0126 (la estimación solo es exacta cuando el anillo se encoge). En la silla de montar, el anillo daba −0,884 con ese mismo radio. Este plano tiene una curvatura de −1 en todas partes; la silla de montar, solo en su centro.

Problema resuelto al detalle

Un triángulo conocido solo por sus ángulos 4 pasos
Un triángulo de este plano tiene ángulos de 30°, 45° y 60°. ¿Cuál es su área y cuánto miden sus lados? En el papel, la pregunta no tiene respuesta. Cualquier ampliación de un triángulo conserva sus ángulos. Pulsa primero Equilátero, lado 1, donde la página muestra la suma angular y el área.

Abre este problema en la herramienta
1. En el preajuste, el área es π menos la suma de los ángulos, en radianes:
  
  $A = π - (A + B + C) = (18 0^{\circ} - 157.9 3^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = 0.385$
2. La misma regla proporciona de inmediato el área de este triángulo:
  
  $A = (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{π}{4} = 0.7854$
3. Para los lados, este plano cuenta con una segunda ley de los cosenos. Toma los ángulos y devuelve la longitud del lado:
  
  $cosh a = \frac{cos 3 0 ^{\circ} + cos 4 5 ^{\circ} cos 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ} sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{0 . 866025 + 0 . 353553}{0 . 612372} = 1.991564 \Rightarrow a = 1.3121$
4. y los otros dos de la misma forma, empezando por B y por C:
  
  $cosh b = \frac{cos B + cos C cos A}{sin C sin A} \Rightarrow b = 1.6231, cosh c = \frac{cos C + cos A cos B}{sin A sin B} \Rightarrow c = 1.8131$
Respuesta

Área π/4 = 0,7854, lados 1,3121, 1,6231 y 1,8131. Ningún otro triángulo tiene estos ángulos. Si lo amplías su área crece, así que la suma de sus ángulos tiene que disminuir. En este plano no existen triángulos semejantes de distintos tamaños. Los ángulos de un triángulo llevan consigo una escala de longitud, el radio de curvatura.

$A = \frac{π}{4} = 0.7854, a, b, c = 1.3121, 1.6231, 1.8131$

Ruta de aprendizaje

Geometría en una superficie curva

Referencias (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.