Caza de ángulos

encuentra el ángulo marcado, aplicando una regla a la vez

Ejemplo resuelto — Caza de ángulos

Pasos en la cadena	2
Reglas utilizadas	2
Fijados	5 / 6
Otras formas de llegar a este ángulo	6, de 1 a 3 pasos
Datos	30°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Caza de ángulos

Un rastreo de ángulos es el ejercicio de encontrar un ángulo sin marcar en una figura aplicando una regla conocida cada vez. En cada paso utilizas los ángulos que ya has descubierto. Las reglas forman ese pequeño grupo invariable que te enseñan en un curso de geometría, y cada una de ellas es una ecuación lineal con ángulos desconocidos: la suma de los ángulos de un triángulo es a + b + c = 180, los ángulos opuestos por el vértice son a = b, etcétera. Por eso la eliminación siempre sirve para resolver el cálculo. Y por eso mismo, lo interesante no es saber cuál es el ángulo, sino si la figura te ha dado suficiente información para averiguarlo, además de cuántos pasos tendrás que dar para conseguirlo.

Qué significa cada símbolo

180°: la suma de ángulos de cualquier triángulo y de los ángulos que llenan un lado de una línea recta
360°: los ángulos alrededor de un punto
rank: cuántos de los ángulos desconocidos de la figura logran fijar realmente los datos y las reglas

Supone: Una figura plana, dibujada sin contradicciones. Cada figura aquí se construye eligiendo primero sus ángulos y luego materializando las coordenadas. Por lo tanto, no puede ser imposible por accidente. Es una garantía que no viene con una figura de libro de texto dibujada a mano.

Puedes responder la pregunta sin que la figura esté resuelta 🖖

Pulsa Un paso y lee la tarjeta marcada como Fijados. Dice 4 de 6. La figura contiene seis ángulos desconocidos. Lo que te dieron, junto con las reglas, determinan cuatro de ellos. Dos quedan libres. La ceviana podría encontrarse con BC en cualquier punto a lo largo de un rango y nada de lo que te dijeron cambiaría. El ángulo que te pidieron es seguro sin importar lo demás. Vale la pena detenerse en esa brecha. Sentirse atascado es idéntico en ambos casos. A un estudiante que no puede encontrar ∠ADB le falta un paso. A un estudiante que no puede encontrar ∠BAD no le falta nada en absoluto. Ese ángulo no tiene ningún valor que encontrar aquí. Contar las incógnitas frente a lo que fijan las reglas separa a ambos en una sola línea. Además, responde a una pregunta que la búsqueda nunca logra: si existe una respuesta o no.

Nueve reglas, y repetir una es lo que alarga una persecución 🖖

Toda cadena que produce esta herramienta se construye a partir de nueve reglas: las sumas de ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero, ángulos sobre una recta, opuestos por el vértice, ángulos alrededor de un punto, la igualdad en la base de un isósceles, ángulos alternos y correspondientes entre paralelas, y la recomposición de un ángulo dividido. En siete de las ocho figuras una resolución casi nunca usa la misma regla dos veces. El cuadrilátero jamás lo hace. El cruce lo hace en el 0,0% de sus problemas, el triángulo dividido en tres en el 4,7%. Luego está la escalera. Allí el 30,1% de las resoluciones emplean alguna regla tres veces o más. Además es la única figura que alcanza los ocho pasos. Ambos datos apuntan a lo mismo. Se alarga repitiéndose a sí misma, arrastrando un valor desde un extremo del recorrido hasta el otro. Esquina tras esquina, alternando un ángulo y luego una recta. La longitud nace de la distancia, no de la dificultad.

Un cálculo largo suele ser culpa del problema, no tuya 🖖

Pulsa Otro rompecabezas un par de veces sin tocar la figura. El ángulo pedido suele ser el mismo; lo que cambia son los datos iniciales. En la escalera, al ∠A0A1A2 se puede llegar de 32 formas diferentes. El camino más corto exige un solo paso. El más largo, ocho. Misma figura, mismo ángulo y la misma respuesta de 30°. En las ocho figuras que tienes aquí, el 63,0% de los ángulos se calcula mediante secuencias que difieren en dos pasos o más. El 32,8%, en tres o más. Así que, cuando un cálculo se alarga, casi siempre se debe a los datos de partida y no a tu forma de trabajar. Por eso la tarjeta Otras formas de llegar a este ángulo te indica ambas cifras para el ejercicio en pantalla. Esto también explica por qué comparar tus resultados con los de alguien más resulta útil y a la vez muy poco preocupante. Descubrir dos secuencias correctas de longitudes muy distintas es lo habitual.

Problema resuelto al detalle

Un paso, u ocho, para el mismo ángulo 5 pasos
En la escalera, el ∠A0A1A2 mide 30°. Calcúlalo de dos maneras: una usando los ángulos que lo hacen fácil y otra con los que no. Después, explica qué nos dice realmente esa diferencia. Elige Escalera entre paralelas y pulsa Otro rompecabezas hasta que la pregunta te pida el ∠A0A1A2.

Abre este problema en la herramienta
1. La respuesta no depende de nada de esto. El ∠A0A1A2 mide 30° en esta figura y seguiría siendo de 30° te dijeran lo que te dijeran, ya que la figura se construyó antes de plantear la pregunta.
  
  $∠ A_{0} A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$
2. Este es el camino fácil. Si el problema te da los dos ángulos situados a ambos lados del vértice A1, todo el cálculo se reduce a una sola resta sobre una línea recta. Los tres ángulos en A1 por debajo de la paralela inferior suman 180°, y conoces dos de ellos.
  
  $from ∠ N A_{1} A_{0} = 3 0^{\circ} and ∠ A_{2} A_{1} M = 12 0^{\circ} : 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3. Veamos ahora el camino difícil para ese mismo ángulo. Tienes un ángulo en A0, uno en A2 y otro en A3, pero no te dan absolutamente nada en A1. Debes trasladar cada uno de ellos a lo largo del recorrido para llegar hasta A1, lo que exige ocho pasos. Tres de esos pasos cruzan entre las paralelas.
  
  $from ∠ A_{1} A_{0} R, ∠ A_{3} A_{2} A_{1}, ∠ A_{2} A_{3} M : eight steps, three of them across the parallels$
4. Ninguna de las dos rutas es más ingeniosa que la otra. La única diferencia radica en qué ángulos eligió marcar el problema. Esta figura ofrece 32 opciones distintas para el mismo objetivo: la más corta implica un paso y la más larga, ocho.
  
  $what the question handed you both angles at A_{1} one angle at each of A_{0}, A_{2}, A_{3} steps 18$
5. Esa variación no tiene nada de raro. En las ocho figuras que tienes aquí, el 63,0% de los ángulos se puede calcular mediante secuencias que difieren en dos pasos o más, y el 32,8% en tres o más.
  
  $32 ways in, 1 \leq steps \leq 8$
Respuesta

La longitud de un cálculo depende del problema, no de la persona que lo resuelve. Conviene saberlo por un motivo muy práctico. Cuando los pasos se alargan, la reacción útil es comprobar si resulta más fácil averiguar primero otro ángulo de la figura, en lugar de dar por hecho que te has saltado algún atajo. Por esto mismo, es completamente normal tener dos soluciones correctas de longitudes muy distintas; no significa que una de ellas esté mal. Y por eso también, un examinador que evalúa el procedimiento en vez del simple número final está corrigiendo la parte verdaderamente difícil.

$same figure, same angle, same 3 0^{\circ}$

Referencias (3)

The angle sum, which is the rule every chain on this page leans on hardest: Euclid, Elements, Book I, Proposition 32. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Vertical angles, the rule that is the only bridge between the two halves of the crossing: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
The equal base angles, which is where the chase stops and the algebra starts: Euclid, Elements, Book I, Proposition 5 (the pons asinorum). D. E. Joyce (ed.), Clark University.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.