Lecciones Interactivas de Matemáticas y Ciencias (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧

← Matemáticas

Problemas de planteo: del enunciado a las ecuaciones

Lee el enunciado, elige las letras para tus incógnitas y escribe las ecuaciones que describe. La página te dice si tus ecuaciones afirman lo mismo que el enunciado y, si no es así, qué parte te falta. Después las resuelve paso a paso. Nuevos números te darán un nuevo problema del mismo tipo.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Problemas de planteo: del enunciado a las ecuaciones

Un problema de planteo describe cantidades en forma de frases. Traducirlo significa elegir incógnitas, letras para las cantidades que la historia no proporciona, y escribir cada hecho que establece el enunciado como una ecuación. Cuando cada ecuación es lineal, donde cada incógnita aparece solo multiplicada por un número, el sistema se resuelve por eliminación: suma múltiplos de una ecuación a otra hasta que solo te quede una incógnita. Un sistema tiene una solución, ninguna o infinitas. La eliminación averigua cuál de las tres opciones presenta tu sistema; sin embargo, comprobar si la historia permite esa respuesta, como un volumen negativo o un mes anterior al inicio de un paquete, es algo que se verifica contra el propio enunciado.

Qué significa cada símbolo

x, y, z
las incógnitas. Lo que representa cada una se anota primero, y un sistema solo es correcto para las letras con las que se escribió
a₁x + b₁y = c₁
una ecuación lineal. Cada hecho del enunciado se convierte en una
0 = c
lo que deja la eliminación cuando c ≠ 0: los hechos se contradicen entre sí y no hay respuesta
0 = 0
lo que deja la eliminación cuando un hecho repite otro. No añade nada; si quedan menos ecuaciones que incógnitas, hay infinitas respuestas

Un tarro de monedas y una mezcla son el mismo problema 🖖

Pulsa Un tarro de monedas y escribe sus ecuaciones: x + y = 21 para el recuento, 0,10x + 0,20y = 2,90 para el valor. Ahora pulsa Mezclar dos líquidos: x + y = 45 para el volumen, 0,25x + 0,60y = 20,7 para la cantidad de sustancia. Dos enunciados que no tienen nada en común, pero con la misma forma de ecuaciones: un total, y el mismo total con cada parte ponderada por lo que vale una unidad. Entradas a dos precios y dinero invertido a dos tipos repiten esa misma forma. El álgebra es idéntica cada vez; lo que pone a prueba cada historia es si logras ver qué total se está ponderando y con qué.

Una solución correcta puede responder a la pregunta equivocada 🖖

Pulsa Dos trabajadores. El trabajo se completa con 4 h de un trabajador y 10 h del otro, o bien con 6 h y 5 h. Con las horas como únicas incógnitas, las ecuaciones no son lineales: 4/A + 10/B = 1. Escritas como ritmos de trabajo, la fracción de la tarea que cada uno hace en una hora, nos queda: 4x + 10y = 1 y 6x + 5y = 1, lo que da x = 1/8 e y = 1/20. La pregunta quiere saber cuánto tardaría cada uno por su cuenta, y la respuesta es la recíproca: 8 h y 20 h, no 1/8 y 1/20. Pulsa Dar alcance y asígnale al tiempo de Jonas la letra pensada para Lena: el sistema se sigue resolviendo sin problema, y la página te indica que tus ecuaciones solo encajan con el enunciado si intercambias x e y, ya que el resultado le da a cada conductor el tiempo del otro.

Algunos sistemas no tienen respuesta, y la eliminación te dice por qué 🖖

Pulsa Planes que no se cruzan. El gimnasio A cobra 25 € de matrícula y el B 55 €, y ambos cuestan 19 € al mes. Elimina las variables y todo lo que tiene una incógnita se anula, dejando 0 = −30 (o 0 = 30, si escribiste el gimnasio B primero): la diferencia de 30 € existe desde el primer día y ningún número de meses la cierra. Pulsa Un plan, dos versiones. El paquete del gimnasio B cuesta 166 € por 6 meses, lo que equivale exactamente a los 10 € del gimnasio A más seis meses a 26 €, y a partir de ahí ambos cobran 26 €. Haz la eliminación y obtendrás 0 = 0: las dos ecuaciones forman una sola línea. La ecuación del gimnasio B solo describe su factura a partir del mes 6, por lo que es el enunciado, y no la eliminación, lo que indica que cualquier mes a partir del sexto es una respuesta válida. Una contradicción, o la falta de suficientes datos independientes, son las dos formas en que un sistema lineal puede no tener una solución única, y cada una tiene un motivo claro en la historia.

Problema resuelto al detalle

  1. El tarro de monedas, planteado y resuelto 5 pasos

    Un tarro contiene 21 monedas, todas de 10 o de 20 céntimos, con un valor de 2,90 € en total. Escribe las ecuaciones y calcula cuántas monedas hay de cada tipo. Pulsa Un tarro de monedas y escríbelas para comprobarlo.

    Abre este problema en la herramienta

    1. Elige las incógnitas y define qué representa cada una:

    2. Un dato cuenta las monedas, el otro cuenta su valor en euros:

    3. Multiplica la segunda ecuación por 10 para quitar los decimales, y luego réstale la primera:

    4. Sustituye y en la primera ecuación:

    5. Comprueba la respuesta con el enunciado, no solo con las ecuaciones:

    Respuesta

    Hay 13 monedas de diez céntimos y 8 de veinte. La comprobación del último paso es la que importa: 21 monedas con un valor de 2,90 €, que es lo que decía la historia, en lugar de un par de números que se limitan a satisfacer unas ecuaciones escritas por alguien.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.