El efecto Coriolis y el péndulo de Foucault

Elige una latitud y la página hará oscilar el péndulo de Foucault sobre un suelo que gira con la Tierra. La integración se muestra en tiempo real, a la velocidad que tú marques. Debajo, una bola cruza un tiovivo en movimiento (vista tanto desde tierra como desde el propio tiovivo) y una piedra cae por un pozo. Todos los valores se calculan a partir del giro terrestre Ω.

Ejemplo resuelto — El efecto Coriolis y el péndulo de Foucault

Parámetro de Coriolis (2Ωsenφ)	1,098×10⁻⁴ s⁻¹
Velocidad de giro del plano	11,32°/h
Tiempo de una vuelta completa	31,79 h
Giro total en 24 horas	271,76°
Una oscilación completa	6,65 s
Nº Rossby: gravedad vs Coriolis	8600
Aceleración Coriolis a 0,1 m/s	1,10×10⁻⁵ m/s²
La misma aceleración en g	1,12×10⁻⁶ g

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El efecto Coriolis y el péndulo de Foucault

La aceleración de Coriolis es el término −2Ω × v que aparece al describir un movimiento desde un sistema de referencia que gira con velocidad angular Ω, aquí el suelo. Al formar un ángulo recto con la velocidad, cambia la dirección de un cuerpo pero nunca su rapidez, y ninguna fuerza la produce. Para el movimiento sobre el suelo, solo cuenta la componente del giro terrestre sobre la vertical local, Ω sen φ. Esta hace girar el plano de un péndulo de Foucault a ese ritmo y define el parámetro de Coriolis f = 2Ω sin φ. La parte a lo largo del suelo, Ω cos φ, empuja los movimientos verticales hacia el este o hacia el oeste.

Qué significa cada símbolo

Ω: el giro de la Tierra, 7,292115×10⁻⁵ rad/s: una vuelta respecto a las estrellas en 23,93 h
φ: latitud, negativa al sur del ecuador
f: parámetro de Coriolis, 2Ω sen φ: la aceleración lateral de un cuerpo que se mueve por el suelo, por cada metro por segundo de su velocidad
Ro: número de Rossby U/(fL): la aceleración propia de un movimiento respecto a su aceleración de Coriolis

Supone: Oscilaciones pequeñas, de modo que el movimiento del péndulo se reduce a dos oscilaciones en ángulo recto. La componente centrífuga del giro de la Tierra se integra en g, que apunta a lo largo de la plomada, y g = 9,80665 m/s² en todas partes. La piedra cae en el vacío. El tiovivo es plano y carece de fricción, así que nada empuja la bola una vez que la haces rodar.
Falla cuando: Un péndulo real cuya trayectoria se ha abierto en una ligera elipse experimenta precesión por sí solo, a un ritmo que aumenta con la anchura de esa elipse. Por eso, Foucault liberaba su masa quemando el hilo que la mantenía apartada, sin darle ningún empuje lateral. El aire frena las bolas en caída: la de Reich tardó unos 6,01 s en caer, frente a los 5,69 s que habría tardado en el vacío. A lo largo de cientos de kilómetros, f varía con la latitud, algo que esta página mantiene constante.

En París, el plano tarda 31,79 horas en dar la vuelta, no 24 🖖

Pulsa Observatorio de París, 1851 y deja que avance a una hora por segundo. No hay nada que haga girar la oscilación sobre la vertical. Es el suelo el que gira por debajo, y un suelo solo gira con la componente de la rotación terrestre que coincide con su propia vertical: en la latitud φ, Ω sen φ. En el Polo Norte la abarca por completo, y el plano da una vuelta en 23,93 h, manteniendo el ritmo de la línea discontinua de una vez al día. A 48,836° N, esta velocidad es de 11,32°/h en lugar de 15,04°/h, de modo que una vuelta entera tarda 31,79 h, y pasadas 24 horas el plano solo ha recorrido 271,76°. Léon Foucault ya lo avisó en la nota publicada en los Comptes rendus el 3 de febrero de 1851: expuso la ley del seno y advirtió que en «nuestras latitudes» el plano no da una vuelta entera en veinticuatro horas. En el ecuador, el suelo no gira en absoluto sobre la vertical y el plano se queda donde lo soltaste todo el tiempo que la masa siga oscilando. Al sur, el suelo gira al revés, y Sídney marca 8,38°/h en sentido antihorario.

Frente a su propio movimiento, el agua de un lavabo siente más el efecto de Coriolis que el péndulo de 11 m de Foucault 🖖

En el péndulo de 11 m de París, la fuerza lateral de Coriolis nunca supera 1/8.600 de la tracción que hace oscilar la masa. El agua que cruza una pila a 0,1 m/s recibe una aceleración de Coriolis de 1,12×10⁻⁶ g y se desvía 0,022 mm en su trayecto de 0,2 m. Si lo comparas con el propio movimiento del agua, da un número de Rossby de 4.550, frente a los 8.600 del péndulo de la tabla inferior. Lo que los separa es todo lo demás. Solo la Tierra puede hacer girar el plano de un péndulo, de forma que cada oscilación suma el mismo pequeño giro y una hora añade 11,32°. El agua de una pila conserva cualquier remolino que tuviera al verterse, y el vaciado lo concentra, del mismo modo que un patinador gira más deprisa cuando encoge los brazos. Por tanto, la manera de llenarlo, una corriente de aire o una pared caliente deciden mucho antes que la Tierra. En 1962, Ascher Shapiro, del MIT, consiguió que un tanque se vaciara en sentido antihorario: lo llenó con un remolino en sentido horario, lo tapó, mantuvo la temperatura de la sala estable y esperó 24 horas. El flotador sobre el sumidero no empezó a girar hasta pasados entre 12 y 15 minutos de un vaciado de 20 minutos de duración. En el otro extremo de la tabla, un sistema meteorológico de 1.000 km de ancho que se mueve a 10 m/s presenta un número de Rossby de 0,0911, y en ese escenario manda la rotación.

Una piedra que cae por el pozo de una mina aterriza al este, no al oeste 🖖

Si el suelo se apartara debajo de una piedra que cae, al soltar una a 158,5407 m sobre el fondo de un pozo en Freiberg, esta aterrizaría a 1,67 km al oeste, que es lo que el suelo avanza allí hacia el este en los 5,686 s que dura la caída. Pulsa Pozo de Freiberg, 1831: aterriza a 27,65 mm al este. La piedra se movía junto con la boca del pozo en el momento en que se soltó, y esa boca está más lejos del eje de la Tierra que el fondo. Por este motivo empieza a caer con un poco más de velocidad hacia el este que el suelo que tiene debajo. Si lo describes desde el suelo en rotación, eso es la aceleración de Coriolis, 2Ω cos φ multiplicada por la velocidad de descenso de la piedra, y apunta al este en ambos hemisferios. Entre el 19 de agosto y principios de septiembre de 1831, Ferdinand Reich dejó caer 106 bolas por el Drei-Brüder-Schacht, una caída media de 158,5407 m a 50°53′22,81″ N, y midió 28,396 mm al este. También midió 4,374 mm al sur y no se fio; en la teoría, cualquier término hacia el sur es del orden de Ω²ht², unos 0,03 mm en este caso. La piedra responde a la componente del giro que va a lo largo del suelo, Ω cos φ, al contrario que el péndulo: nada en el polo, máximo en el ecuador.

Problema resuelto al detalle

Dispara una bola en vertical por el pozo: ¿dónde vuelve a caer? 5 pasos
En Freiberg, se dispara una bola en vertical desde el fondo del pozo de Reich, con la velocidad exacta para alcanzar la boca, 158,5407 m más arriba, y vuelve a caer. ¿Dónde aterriza en relación con el punto desde el que se disparó? Pulsa Pozo de Freiberg, 1831 para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. La piedra de la página, al dejarla caer desde la boca, desciende durante 5,686 s y aterriza 27,65 mm al este. La bola experimenta la misma latitud y la misma g:
  
  $t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 158 . 5407}{9 . 80665} = 5.686 s, x = \frac{1}{3} g Ω t^{3} cos φ = 27.65 mm east$
2. Para subir 158,5407 m tiene que salir a v₀ = √(2gh), y se mantiene en el aire un tiempo de 2v₀/g:
  
  $v_{0} = 2 g h = 2 \times 9.80665 \times 158.5407 = 55.76 m/s, T = \frac{2 v _{0}}{g} = 11.37 s$
3. En el sistema de referencia en rotación, la aceleración de Coriolis es −2Ω × v. Su componente hacia el este es −2Ω cos φ multiplicada por la velocidad ascendente, v₀ − gt: hacia el oeste en la subida, hacia el este en la bajada.
  
  $a_{E} = - 2Ω cos φ (v_{0} - g t)$
4. Si lo integras una vez, obtienes la velocidad lateral. En la parte más alta, t = v₀/g, la bola se desvía al oeste a Ω cos φ v₀²/g. La bajada tarda exactamente lo mismo, y su empuje hacia el este vuelve a dejar esa velocidad a cero justo cuando la bola aterriza, sin hacerla retroceder al punto de partida.
  
  $v_{E} (t) = - 2Ω cos φ (v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}) : v_{E} (\frac{v _{0}}{g}) = - \frac{Ω cos φ v _{0}^{2}}{g} = - 14.59 mm/s, v_{E} (\frac{2 v _{0}}{g}) = 0$
5. Al integrarlo de nuevo durante todo el vuelo, T = 2v₀/g:
  
  $x_{E} (T) = - 2Ω cos φ (\frac{1}{2} v_{0} T^{2} - \frac{1}{6} g T^{3}) = - \frac{4}{3} Ω cos φ \frac{v _{0}^{3}}{g ^{2}} = - 110.58 mm$
Respuesta

Aterriza 110,58 mm al oeste del punto desde el que se disparó, cuatro veces más lejos de lo que aterriza al este la piedra que se deja caer, y sin que le quede ninguna velocidad lateral. La proporción es exactamente 4 a cualquier altura y latitud, ya que ambas distancias son proporcionales a Ω cos φ h^3/2/√g.

$x_{E} = - 110.58 mm = - 4 \times 27.646 mm (west)$

Ruta de aprendizaje

Rotación y momento angular

Referencias (3)

Foucault's own announcement: the pendulum's plane turns against the floor at the Earth's rotation times the sine of the latitude, so that at Paris it does not make a whole turn in twenty-four hours; first a 2 m pendulum in a cellar, then 11 m in the Meridian Room of the Paris Observatory: L. Foucault, "Démonstration physique du mouvement de rotation de la terre au moyen du pendule." Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 32 (1851), 135–138.
The eastward fall measured: 106 balls dropped down the Drei-Brüder-Schacht at Freiberg in August and September 1831, a mean fall of 158.5407 m at 50°53′22.81″ N, landing 28.396 mm east (and 4.374 mm south, which Reich doubted), against his own computed 27.512 mm: F. Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde, angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg. Freiberg: J. G. Engelhardt, 1832, pp. 46–47.
A sink's drain direction is set by how it was filled, unless everything else is removed: Shapiro filled a tank with a clockwise swirl, covered it, kept the room's temperature steady, let it settle for 24 hours, and saw it drain counterclockwise: A. H. Shapiro, "Bath-Tub Vortex." Nature 196 (1962), 1080–1081. doi:10.1038/1961080b0

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.