Giroscopio

Pon a girar la rueda. Elige el ángulo del eje al soltarla y decide si le das un empujón lateral en ese instante. La página integra el movimiento en tiempo real para mostrarte cuánto cae la rueda, a qué velocidad precesa y qué tanto se aleja de la fórmula del libro.

Ejemplo resuelto — Giroscopio

Inercia respecto al eje (aro)	0,180 kg·m²
Inercia en pivote, transversal	0,170 kg·m²
Momento angular del giro	11,31 kg·m²/s
Par del peso en el pivote	3,923 N·m
Velocidad de precesión lenta	0,3468 rad/s
Una vuelta a esa velocidad	18,12 s
Precesión simulada, 39 osc.	0,3468 rad/s
Diferencia con la fórmula	−0,005%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Giroscopio

En este contexto, un giroscopio es una rueda giratoria cuyo eje descansa sobre un pivote fijo en uno de sus extremos. Con el eje horizontal, su peso ejerce un par τ = mgl sobre el pivote, horizontal y perpendicular al eje. Como el par es la tasa de cambio del momento angular, el momento angular del giro propio L = I₃ω₃ gira lateralmente en lugar de inclinarse hacia abajo. En una precesión estacionaria, el eje gira alrededor de la vertical a Ω = mgl/L. Si se suelta desde el reposo, primero cae un poco y luego nuta, oscilando entre su altura inicial y un punto mínimo situado a unos 2I₁mgl/L² radianes por debajo, alrededor de L/(2πI₁) veces por segundo.

Qué significa cada símbolo

L: momento angular del giro propio respecto al eje, I₃ω₃
Ω: velocidad de precesión estacionaria, mgl/L, la tasa a la que el eje gira en torno a la vertical
I_3: momento de inercia respecto al eje; mR² para un aro
I_1: momento de inercia respecto a un eje transversal que pasa por el pivote, ml² + ½mR²
l: distancia del pivote al centro de la rueda
k: velocidad de giro lateral al soltarla, en unidades de Ω

Supone: Una rueda rígida tratada como un aro con toda su masa en el borde, sobre un eje ligero, apoyada en un pivote puntual sin fricción. Gravedad estándar, 9,80665 m/s². Ausencia total de aire y fricción, por lo que la energía y los momentos angulares respecto a la vertical y al eje se conservan. La tabla de resultados muestra qué tan bien los mantiene el integrador.
Falla cuando: Un pivote real tiene fricción, lo que amortigua la nutación y deja a la rueda precesando suavemente un poco por debajo del punto en que se soltó. La fricción del cojinete también frena el giro. A medida que L disminuye, la precesión se acelera y la caída se hace más profunda, hasta que la rueda vuelca.

Al soltarla, la rueda cae antes de precesar 🖖

Pulsa Soltar a 10 rev/s y observa el segundo panel. Precesar significa que el centro de la rueda se mueve. Esa energía cinética tiene que salir de alguna parte, así que la rueda no puede empezar a precesar en el instante en que la sueltas. Primero cae. El eje baja 0,597° y su centro 2,09 mm. En el punto más bajo de la caída, la velocidad lateral alcanza los 0,6937 rad/s, el doble de su media. Luego vuelve a subir a la altura inicial, donde el movimiento lateral se detiene en seco, y el ciclo vuelve a empezar. El extremo del eje traza una serie de cúspides, 10,59 por segundo. Los apuntes de dinámica del MIT de Peraire y Widnall lo llaman movimiento cuspidal. Las clases de David Tong en Cambridge lo deducen como el comportamiento exacto de una peonza cuando la haces girar y la sueltas. Una caída tan pequeña es difícil de ver. Además, la fricción en un pivote real amortigua la nutación, haciendo que una rueda de demostración parezca flotar. El fantasma gris es la misma rueda sin giro, que cuelga en vertical tras 0,39 s.

Gírala al doble de velocidad y precesará a la mitad 🖖

El par del peso respecto al pivote, de 3,923 N·m con el eje horizontal, cambia L en 3,923 kg·m²/s cada segundo, siempre lateralmente. Cuanto mayor es L, más tiempo tarda en hacerlo girar. Por eso la velocidad de precesión es Ω = mgl/L: da una vuelta en 9,06, 18,12 y 36,23 s a 5, 10 y 20 rev/s. La caída es proporcional a 1/L², reduciéndose a una cuarta parte cada vez que se duplica el giro. La simulación arroja 2,386°, 0,597° y 0,149°. La fórmula Ω = mgl/L asume que L discurre a lo largo del eje. Esto solo se cumple mientras el momento angular del giro eclipsa la contribución del giro lateral. La tabla sigue este descenso: la rueda simulada precesa un 0,087% más lento que la fórmula a 5 rev/s, un 3,026% a 2, y un 21,481% a 1, donde la rueda oscila 39,013° hacia abajo y actúa más como un péndulo con torsión que como un giroscopio.

Empuja el eje lateralmente y la rueda subirá 🖖

Un empujón en el extremo del eje es un par. Al igual que el del peso, mueve la punta de L en la dirección del par, no en la del empujón. Un empujón en la dirección en la que ya gira la rueda crea un par hacia arriba, por lo que el eje se eleva. Pulsa Empujar a 2Ω: si la sueltas precesando al doble de la velocidad estacionaria, el eje sube 0,597°, la misma distancia que caía sin el empujón. Su velocidad de precesión media sigue siendo de 0,3468 rad/s. Si la retienes con un empuje de −1, cae 1,195°, el doble de distancia. Pulsa Soltar girando a Ω y no habrá caída ni nutación alguna. Para un eje horizontal, precesar de manera estacionaria a exactamente mgl/L es solución de las ecuaciones completas a cualquier giro. Ajusta el empuje a 1 y lee la tabla: a 1 rev/s, donde soltarla del reposo fallaba por un 21,481%, la rueda precesa ahora a 3,4684 rad/s, la misma cifra de la fórmula. El error a bajas revoluciones es el precio por soltarla desde el reposo. Los apuntes de Tong lo explican diciendo que se necesita «exactamente el empujón correcto» para que una peonza precese sin cabecear.

Problema resuelto al detalle

¿Qué soporta el pivote y a qué velocidad debe girar la rueda? 5 pasos
La rueda gira a 10 rev/s con su eje horizontal, precesando de manera estacionaria. ¿Con qué fuerza empuja el pivote al eje hacia arriba y hacia los lados? ¿Y qué giro mantendría la caída por debajo de 0,1° al soltarla desde el reposo? Pulsa Soltar a 10 rev/s para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. El momento angular de giro y la velocidad de precesión estacionaria están en la página:
  
  $L = I_{3} ω_{3} = 0.180 \times 2 π \times 10 = 11.31 kg m^{2} /s Ω = \frac{m g l}{L} = \frac{3 . 923}{11 . 31} = 0.3468 rad/s$
2. Al precesar estacionariamente con el eje horizontal, el centro se mantiene a una misma altura. No tiene aceleración vertical, por lo que el pivote empuja hacia arriba exactamente con el peso de la rueda. El giro no asume ninguna parte de ese peso:
  
  $N_{z} = m g = 2 \times 9.80665 = 19.61 N$
3. El centro describe un círculo de radio l a Ω, así que el pivote también debe empujarlo hacia el soporte:
  
  $N_{h} = m l Ω^{2} = 2 \times 0.2 \times 0.346 8^{2} = 0.0481 N$
4. Para la segunda pregunta, despeja el giro en la estimación de caída de trompo rápido, con δ = 0,1° = 0,001745 rad:
  
  $δ = \frac{2 I _{1} m g l}{L ^{2}} \Rightarrow L \geq \frac{2 I _{1} m g l}{δ} = \frac{2 \times 0 . 170 \times 3 . 923}{0 . 001745} = 27.64 kg m^{2} /s$
5. y divide entre I₃ y entre 2π:
  
  $ω_{3} = \frac{27 . 64}{0 . 180} = 153.6 rad/s = \frac{153 . 6}{2 π} rev/s = 24.44 rev/s$
Respuesta

El pivote soporta 19,61 N hacia arriba, es decir, todo el peso de la rueda. También ejerce 0,0481 N lateralmente hacia el soporte, menos de la cuarta parte de un uno por ciento del peso. El giro no hace que la rueda sea más ligera. Para mantener la caída por debajo de 0,1° se necesitan 24,44 rev/s. Resolver la ecuación de la energía exactamente a esa velocidad da una caída de 0,0999997°, por lo que la estimación es precisa hasta unas 2,5 partes por millón.

$N_{z} = 19.61 N, N_{h} = 0.0481 N, f \geq 24.44 rev/s (exact drop 0.099999 7^{\circ})$

Ruta de aprendizaje

Rotación y momento angular

Referencias (2)

The heavy symmetric top from its Lagrangian: the two conserved momenta and the energy, the three kinds of nutation, why a top that is spun and simply let go falls first and traces cusps, and why precessing without bobbing needs exactly the right push: D. Tong, "Classical Dynamics", lecture notes for a final-year undergraduate course, University of Cambridge, chapter 3 "The Motion of Rigid Bodies", section 3.6 "The Heavy Symmetric Top".
Steady precession from Euler's equations in Euler angles, the gyroscopic limit in which the precession rate is the weight's moment over the spin angular momentum, and the names unidirectional, looping and cuspidal for the three kinds of unsteady motion: J. Peraire and S. Widnall, "Lecture L30 - 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes", 16.07 Dynamics, MIT OpenCourseWare, Fall 2009.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.