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Carrera de rodadura y momento de inercia

Coloca hasta cuatro cuerpos en la rampa y suéltalos a la vez. Elige la forma, masa y tamaño de cada uno, inclina la rampa y ajusta su adherencia. La tabla bajo las gráficas calcula la aceleración de cada cuerpo, el tiempo que tarda y en qué gastó su energía.

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Lección

La teoría — Carrera de rodadura y momento de inercia

El momento de inercia I indica cuánto cuesta hacer girar un cuerpo, de la misma manera que la masa indica cuánto cuesta empujarlo. En un cuerpo de masa m y radio r, se escribe como I = k m r². El factor de forma k depende únicamente de cómo se distribuya la masa: 2/5 para una esfera maciza, 1/2 para un cilindro macizo, 2/3 para una esfera hueca delgada y 1 para un aro. Un cuerpo que rueda sin deslizar desenrolla exactamente tanta circunferencia como la distancia que recorre, v = ωr, y al bajar por una rampa de ángulo θ acelera a a = g sin θ ÷ (1 + k).

Qué significa cada símbolo

k
el factor de forma, I ÷ mr². Es la única propiedad del cuerpo que decide su tiempo mientras rueda. Una vez que desliza, k deja de importar
I
el momento de inercia, en kg·m². El equivalente rotacional de la masa
a
la aceleración a lo largo de la rampa. Es igual a g sin θ para una caída sin fricción y menor para cualquier objeto que ruede
μ_s
fricción estática, lo que el punto de contacto puede resistir sin resbalar. Para rodar, hace falta que μs ≥ tan θ · k ÷ (1 + k)
μ_k
fricción cinética, la que ofrece el contacto una vez que empieza a resbalar. Suele ser menor que μs

La masa y el tamaño se cancelan; la forma decide la carrera 🖖

Pulsa Cilindro pesado y ligero. Un cilindro pesa 5 kg y el otro 0,2 kg. Uno tiene cinco veces el radio del otro y, sin embargo, cruzan la meta juntos en 1,537 s. Un cuerpo más pesado sufre una atracción mayor, pero también cuesta más acelerarlo en la misma proporción. Un objeto más grande con la misma forma tiene un momento de inercia r² veces mayor, pero gira 1/r veces más rápido. Por tanto, su energía de rotación, ½Iω² = ½kmv², resulta proporcional a su masa de igual modo. Lo único que queda es un número que define la forma, k = I ÷ mr², de manera que la aceleración es g sin θ ÷ (1 + k). Pulsa Cuatro cuerpos clásicos: la esfera maciza (k = 0,4) vence al cilindro macizo (0,5), que supera a la esfera hueca (0,667), la cual gana al aro (1). Cualquier esfera maciza que ruede sin deslizar tardará 1,485 s en esta rampa.

Un aro invierte la mitad de su energía en girar 🖖

Las barras de energía muestran adónde fue la altura perdida de cada cuerpo. Todo lo que rueda debe repartirla entre avanzar por la rampa y girar. La proporción que se destina a la rotación es k ÷ (1 + k): un 28,6% en la esfera maciza y exactamente el 50% en el aro, puesto que toda su masa se concentra en el borde. La energía invertida en rotar no se gasta en ganar velocidad, y ese es el único motivo por el que el aro pierde. Pulsa Latas de sopa. La lata de líquido gana con 1,316 s. En el caso límite que modela la página, el líquido no gira junto al envase: solo el envase rota, por lo que un 9,1% de la energía se va en ello. Haz que el contenido de esta lata sea sólido y tardará 1,563 s. La lata vacía, que en el modelo carece de tapas y funciona como un aro, llega última.

Sobre hielo, el más lento desliza antes; resbalar puede dar la victoria 🖖

Rodar exige adherencia y el aro es el que más necesita. Solo puede rodar si la rampa es menos pronunciada que su ángulo crítico, unos 11,31° con una fricción de 0,1, frente a los 19,29° de la esfera maciza. Pulsa Rampa helada. A 15°, el aro y la esfera hueca deslizan, dedican menos energía a girar y se aceleran. Aun así, terminan por detrás de los dos cuerpos que ruedan. Si hay un único coeficiente de fricción, esto siempre es cierto: el cuerpo que desliza iguala como máximo la velocidad del que rueda, pero nunca lo adelanta. La mayoría de las superficies reales se agarran mejor en reposo que en movimiento. Pulsa Aro deslizante adelanta. La fricción estática es de 0,3 y la cinética de 0,1. El aro que resbala termina en 0,849 s frente a los 0,942 de la esfera que rueda.

Problema resuelto al detalle

  1. Una esfera y un aro en la misma rampa 4 pasos

    Una esfera maciza y un aro se sueltan juntos desde el reposo en lo alto de una rampa de 2 m de longitud, inclinada a 15°. Ambos ruedan sin deslizar. Calcula cuánto tardan en llegar al final y a qué distancia se queda el aro cuando la esfera termina. Usa g = 9,81 m/s². Pulsa Cuatro cuerpos clásicos para comprobarlo.

    Abre este problema en la herramienta

    1. La componente de la gravedad a lo largo de la rampa es idéntica para ambos:

    2. La aceleración de cada cuerpo divide este valor entre uno más su factor de forma:

    3. Desde el reposo, s = ½at², por lo que el tiempo para 2 m es:

    4. Cuando la esfera llega a la meta, el aro solo ha recorrido ½ a_aro t_esfera²:

    Respuesta

    La esfera tarda 1,485 s y el aro 1,775 s. Cuando la esfera cruza la meta, al aro le faltan 0,600 m, casi un tercio de la rampa. Ni la masa ni el radio aparecen en el cálculo. La respuesta sirve para cualquier esfera maciza uniforme, ya sea una canica o una bola de bolos.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.