Momento angular

Súbete a una plataforma que gira sin fricción, sujeta una mancuerna en cada mano, empieza a girar y recógelas hacia ti. Ajusta el giro, las mancuernas, el momento de inercia de tu propio cuerpo y qué tanto extiendes y encoges las manos. La página integra el movimiento en vivo, muestra lo que se mantiene constante y lo que no, y suma el trabajo que realizan tus brazos.

Ejemplo resuelto — Momento angular

Momento de inercia, extendidas	3,600 kg·m²
Momento de inercia, recogidas	1,200 kg·m²
Momento angular constante	22,62 kg·m²/s
Giro con las manos recogidas	3,000 rev/s
Giro si alcanzaran el eje	3,462 rev/s
Energía cinética, extendidas	71,06 J
Energía cinética, recogidas	213,18 J
Giro y energía aumentan en	3,000

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Momento angular

El momento angular de un cuerpo que gira sobre un eje fijo es L = Iω, su momento de inercia respecto a ese eje multiplicado por su velocidad angular. El momento de inercia suma cada porción de masa multiplicada por el cuadrado de su distancia al eje, así que una mancuerna cuyo centro está en r aporta m r² + I_own, el teorema de los ejes paralelos; para dos discos a una distancia d a cada lado de la mano, I_own = m d². Sin un torque externo sobre el eje, L no puede cambiar, de forma que I_out ω_out = I_in ω_in, mientras que la energía cinética ½ I ω² = L²/2I varía según el trabajo que realizan los brazos.

Qué significa cada símbolo

I: momento de inercia respecto al eje de la plataforma, kg·m²
ω: velocidad angular en rad/s; la página muestra f = ω/2π en rev/s
L: momento angular respecto al eje, Iω, en kg·m²/s
I_b: el momento de inercia propio del cuerpo y la plataforma, que no cambia al recoger los brazos
d: la mitad de la longitud de la barra de la mancuerna, 0,1 m: sus discos se sitúan a una distancia d a cada lado de la mano

Supone: Una plataforma sin fricción en su rodamiento y nada más tocando el cuerpo, por lo que no hay torque sobre el eje. Los brazos no tienen masa; unos brazos reales, de unos pocos kilogramos cada uno, sumarían al momento de inercia con las manos extendidas y a la ganancia de energía. Cada mancuerna consiste en dos discos puntuales sobre una barra ligera, sostenida de forma horizontal y transversal al brazo, y el momento de inercia del cuerpo mismo se mantiene fijo hagan lo que hagan los brazos. El trabajo contabilizado es el de la tracción mω²r que mantiene las mancuernas en sus círculos; la pequeña energía de su movimiento hacia adentro y hacia afuera es nula en ambos extremos y se omite.

Recoge las mancuernas y la energía cinética se triplica 🖖

Pulsa Acercar, 2 kg y observa las dos flechas del eje. L conserva su longitud mientras el giro se triplica, pasando de 1 a 3,000 rev/s: nada externo ejerce torque sobre el eje, de modo que L = Iω tiene que sobrevivir a la caída del momento de inercia de 3,600 a 1,200 kg·m². La energía cinética, ½Iω² = L²/2I, no tiene tal protección y aumenta en el mismo factor, de 71,06 J a 213,18 J. La energía extra tiene una fuente. Para mantener las dos mancuernas girando a un radio r, las manos deben tirar de ellas hacia adentro con 2mω²r, y acercarlas en la dirección de ese tirón es trabajo: el área sombreada bajo la curva en el segundo panel. La tabla de resultados lo suma a lo largo de mil franjas y obtiene 142,12 J, la ganancia hasta el último dígito impreso. Vuelve a empujar las manos hacia afuera y ese mismo tirón pasa a realizar trabajo sobre los brazos, con lo que el giro vuelve a caer a 1 rev/s.

Manos cuatro veces más cerca, y solo el triple de giro 🖖

Si las mancuernas fuesen lo único que gira, como puntos en las manos, L = 2mr²ω haría que llevarlas de 0,8 m a 0,2 m te hiciera girar dieciséis veces más rápido. La página dice 3,000. La mayor parte de lo que gira no se mueve cuando recoges los brazos. Tu cuerpo y la plataforma conservan su 1 kg·m², y cada mancuerna mantiene la parte de su momento que pertenece a su propio tamaño, md² por el teorema de los ejes paralelos, sin importar cuánto la acerques. Por lo tanto, hay un límite máximo: con ambas mancuernas en el eje, la fila debajo del giro indica 3,462 rev/s, y ninguna tracción logrará superarlo. Las mancuernas más pesadas representan una proporción mayor de lo que gira. Más pesadas, 10 kg multiplica el giro por 7,000, pero empezando desde apenas un cuarto de vuelta por segundo las manos ya tienen que soportar 483,6 N al final.

Incluso sin ningún momento angular, aún puedes girar 🖖

Pulsa Desde reposo, brazada. L es cero de principio a fin, y cada brazada todavía deja al cuerpo 25,00° más girado. Barre los brazos 45° con las manos extendidas y el cuerpo girará 32,50° en sentido opuesto, puesto que las mancuernas suponen 2,600 de los 3,600 kg·m² que giran. Recógelas y barre de regreso, y el cuerpo solo volverá 7,50°, porque ahora representan 0,200 de 1,200. Los brazos terminan donde empezaron respecto al cuerpo; el cuerpo no. Un momento angular de cero prohíbe un giro continuo: entre barridos el cuerpo permanece quieto, y Brazada, manos fuera lo devuelve a 0,00°. Un gato que cae de espaldas desde el reposo tampoco tiene momento angular, y aterriza de pie. Thomas Kane y M. P. Scher publicaron una explicación dinámica de esto en 1969, y en 1970 un estudio sobre cómo una persona puede girar sobre sí misma moviendo sus extremidades.

Problema resuelto al detalle

¿En qué punto del trayecto es mayor la fuerza? 4 pasos
Las mancuernas de 2 kg se recogen desde 0,8 m hasta 0,2 m con L = 22,62 kg·m²/s. La fuerza que soportan ambas manos es de 126,3 N al inicio y 284,2 N al final. ¿Es máxima al final? Si no es así, ¿dónde ocurre y de cuánto es? Pulsa Recoger, 2 kg para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. Las manos mantienen las mancuernas en su círculo con 2mω²r, y ω = L/I(r), de manera que la fuerza depende únicamente de r:
  
  $F (r) = 2 m (\frac{L}{I ( r )})^{2} r = \frac{2 \times 2 \times 22 . 6 2 ^{2} r}{( 1 . 04 + 4 r ^{2} ) ^{2}} F (0.8) = 126.3 N, F (0.2) = 284.2 N$
2. La fila de 0,30 m de la tabla, con 313,2 N, está por encima de ambos extremos, así que la fuerza máxima se encuentra en un punto intermedio. Iguala a cero la derivada de r/I², con I′ = 4mr:
  
  $\frac{d}{d r} \frac{r}{I ^{2}} = \frac{I - 2 r I ^{'}}{I ^{3}} = \frac{I - 8 m r ^{2}}{I ^{3}} = 0 \Rightarrow I = 8 m r^{2}$
3. Desarrolla I y despeja r:
  
  $I_{b} + 2 m d^{2} + 2 m r^{2} = 8 m r^{2} \Rightarrow r^{* 2} = \frac{I _{b} + 2 m d ^{2}}{6 m} = \frac{1 . 04}{12} = 0.08667 \Rightarrow r^{*} = 0.2944 m$
4. Sustituye r* de vuelta en I y en la fuerza:
  
  $I (r^{*}) = 8 \times 2 \times 0.08667 = 1.3867 kg m^{2} F (r^{*}) = \frac{4 \times 22 . 6 2 ^{2} \times 0 . 2944}{1 . 386 7 ^{2}} = 313.3 N$
Respuesta

La fuerza es máxima con las manos a 0,2944 m del eje: 313,3 N en las dos manos, 156,7 N en cada una, que equivale aproximadamente al peso de una masa de 16 kg. Más cerca del centro el giro sigue aumentando, pero r disminuye más rápido de lo que crece ω², y los últimos 9 cm requieren menos fuerza.

$r^{*} = 0.2944 m : F_{m a x} = 313.3 N = 2 \times 156.7 N (\approx 16 kg a hand)$

Ruta de aprendizaje

Rotación y momento angular

Referencias (3)

Conservation of angular momentum when the moment of inertia changes, and the skater's kinetic energy rising by I/I′ because of the work she does pulling her arms in, the page's first two claims: W. Moebs, S. J. Ling and J. Sanny, University Physics Volume 1, OpenStax, Houston, 2016. Section 11.3, "Conservation of Angular Momentum".
The falling cat, which turns over with no angular momentum, given a dynamical explanation: T. R. Kane and M. P. Scher, "A dynamical explanation of the falling cat phenomenon", International Journal of Solids and Structures 5(7), 663–670, 1969.
A person turning themselves round by moving their limbs, the page's third claim in a human body: T. R. Kane and M. P. Scher, "Human self-rotation by means of limb movements", Journal of Biomechanics 3(1), 39–49, 1970.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.