Simulador de órbitas de Kepler

Demostración de las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Ajuste el semieje mayor, la excentricidad y la masa central para animar la órbita y ver el vector velocidad y los sectores de área igual.

Ejemplo resuelto — Simulador de órbitas de Kepler

Velocidad en el perihelio	45.5 km/s
Velocidad en el afelio	19.5 km/s

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La ley de áreas es el momento angular disfrazado 🖖

Kepler descubrió sus tres leyes estudiando durante años los datos de altísima precisión que Tycho Brahe había recopilado a simple vista, décadas antes de que nadie supiera por qué los planetas debían comportarse así. La ley de las áreas iguales que puedes activar aquí no es en realidad geometría: es una consecuencia directa de la conservación del momento angular, ya que la gravedad siempre tira en línea recta entre el planeta y la estrella y nunca puede desviar la órbita lateralmente. Por eso un planeta alcanza su máxima velocidad en el perihelio y se arrastra en el afelio: conservar L = r×v obliga a que la velocidad aumente cuando r disminuye. La gravedad de Newton, desconocida para Kepler, fue lo que finalmente explicó por qué el patrón que él ya había descubierto geométricamente tenía que ser cierto.

Qué significa realmente la excentricidad 🖖

La excentricidad es el único número que controla este deslizador: mide cuánto se estira una órbita. Con e = 0 obtienes un círculo perfecto; al acercarla a 1, la elipse se alarga hasta parecer la trayectoria de un cometa, con la estrella descentrada en uno de los focos, nunca en el medio. Lo sorprendente: la órbita de la Tierra tiene e = 0.017, casi un círculo. Las estaciones se deben a la inclinación del eje terrestre, no a la distancia cambiante al Sol.

Por qué la elipse se cierra a la perfección 🖖

El planeta repite eternamente la misma elipse: nunca deriva hacia una roseta que gira lentamente. Eso no es automático. El teorema de Bertrand demuestra que solo dos leyes de fuerza permiten que las órbitas ligadas se cierren tras una única vuelta: la gravedad del inverso del cuadrado (1/r²) y la fuerza armónica de resorte (∝ r). Cualquier otra ley de potencias deja órbitas que nunca se repiten del todo. La elipse limpia y cerrada es una huella de la forma exacta 1/r² de la gravedad.

Problemas resueltos al detalle

Una órbita con e = 0,4 alrededor de una estrella de masa solar 5 pasos
Una órbita tiene a = 1 AU y e = 0.4 alrededor de una estrella de masa solar. Encuentra la velocidad en ambos extremos y luego encuentra la cantidad que se mantiene igual durante todo el recorrido.
1. Una elipse con semieje mayor a y excentricidad e alcanza el punto más cercano en a(1−e) y el más lejano en a(1+e). Esos dos radios son toda la geometría que necesita el problema.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 0.6 AU, r_{a} = a (1 + e) = 1.4 AU$
2. La ecuación de vis-viva da la velocidad a cualquier radio utilizando únicamente el radio y el semieje mayor. No interviene para nada la masa del cuerpo en órbita, ni tampoco el lugar donde comenzó.
  
  $v = μ (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
3. Evalúa en ambos extremos. El visualizador de arriba imprime exactamente estos dos números para esta órbita, y lo hace ejecutando esta misma ecuación en lugar de simulando nada.
  
  $v_{p} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 + e}{1 - e} = 45.5 km/s, v_{a} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 19.5 km/s$
4. Ahora toma la proporción y observa cómo se cancela la masa de la estrella. La proporción de velocidades depende de la excentricidad y de nada más — no de a, no de la estrella. Un cometa con e = 0.99 llega 199 veces más rápido de lo que sale del extremo lejano.
  
  $\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1.4}{0.6} = 2.333$
5. Esa proporción es una ley de conservación disfrazada. Multiplica cada velocidad por su radio y los dos productos son iguales: el momento angular por unidad de masa es constante, por lo que lo que la órbita gana en distancia debe cederlo en velocidad.
  
  $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a} ⟹ 0.6 \times 45.5 = 1.4 \times 19.5 = 27.3$
Respuesta

45.5 km/s en el perihelio, 19.5 km/s en el afelio, una proporción de exactamente 2.333 = (1+e)/(1−e). Ambos productos de radio por velocidad dan 27.3, lo que es la segunda ley de Kepler escrita como un número: la regla de «áreas iguales en tiempos iguales» es simplemente rv = constante. Por eso los cometas pasan casi todo su tiempo en la parte exterior de una órbita y cruzan el sistema interior en semanas: un hecho sobre el área, no sobre que la gravedad cambie de intensidad.

$\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} (the constant is L = m r v)$
Fracción del año que un planeta pasa avanzando lentamente por la mitad más alejada 6 pasos
El panel da a la órbita un periodo de 1,000 años y sitúa el perihelio en 0,6000 UA frente a 1,400 en el afelio. Anima al planeta arrastrándose por la mitad lejana y nunca dice cuánto tiempo pasa allí. Calcúlalo — como fracción del año, solo a partir de la excentricidad.
1. Empieza por lo impreso. Los dos ápsides están en a(1−e) y a(1+e), así que esta órbita llega más del doble de lejos de lo que se acerca.
  
  $T = a^{3/2} = 1.000, r_{p} = a (1 - e) = 1.00 (1 - 0.400) = 0.6000, r_{a} = a (1 + e) = 1.400$
2. La segunda ley de Kepler es aquí toda la herramienta, y es una afirmación sobre áreas, no sobre distancias: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. El tiempo que se pasa es área barrida, y nada más.
  
  $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = const ⟹ Δ t \propto A$
3. Corta la elipse por el eje menor. Las dos mitades tienen la misma área — pero el Sol no está en el centro, sino en un foco, desplazado c = ae. Vista desde ahí, la mitad lejana es la semielipse más el triángulo entre el foco y ese corte.
  
  $A_{f} = \frac{1}{2} π ab + \frac{1}{2} (2 b) (c), c = a e$
4. Divide por el área total y casi todo se cancela. Desaparecen tanto a como b, y queda un resultado asombrosamente limpio: la fracción es un medio más la excentricidad partida por π.
  
  $\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{b c}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π}$
5. Introduce la excentricidad de esta órbita. Casi el 63 % del año transcurre en la mitad exterior — el planeta no solo va más lento ahí fuera: pasa allí dos tercios de su vida.
  
  $e = 0.400 : \frac{1}{2} + \frac{0.400}{π} = 0.5000 + 0.1273 = 0.6273$
6. Ahora la de la Tierra, que es apenas 0,0167.
  
  $e = 0.0167 : \frac{1}{2} + 0.00532 = 0.50532, 2 (0.00532) (365.25) = 3.88 d$
Respuesta

La mitad más alejada ocupa ½ + e/π del período: un 62,73% en la órbita que ves en pantalla y un 50,53% en la de la Tierra. Ese último valor, aunque pequeño, cuenta: supone pasar 3,88 días más del año en la mitad situada más allá del eje menor que en la más próxima. Esa misma excentricidad, al dividir la órbita por otra línea, explica que las estaciones no duren lo mismo. La Tierra pasa por el perihelio a principios de enero, de modo que el invierno boreal corresponde a la mitad rápida de la órbita y dura unos cinco días menos que el verano. En la deducción no hemos utilizado el período, la masa ni el tamaño de la órbita. Solo su forma.

$\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} : e = 0.400 \Rightarrow 62.73%, e = 0.0167 \Rightarrow 50.53%$

Ruta de aprendizaje

Órbitas a partir de dos números

Lleva a Vis-viva

Referencias (2)

Kepler working from Tycho Brahe’s observations, and the laws themselves: J. Kepler, Astronomia Nova, 1609 — translated by W. H. Donahue as New Astronomy, Cambridge University Press, 1992. ISBN 978-0-521-30131-2.
Equal areas as conservation of angular momentum: H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., §3.2. Addison-Wesley, 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Tierra - Tierra: órbita casi circular, e=0.017
Marte - Marte: excentricidad notable, e=0.093
Mercurio - Mercurio: la mayor excentricidad planetaria, e=0.206
Cometa Halley - Cometa Halley: muy excéntrico, e=0.967