Ecuación de vis-viva

La ecuación de vis-viva relaciona la velocidad con la posición y la forma de la órbita. Elige un cuerpo central e introduce los parámetros orbitales.

Ejemplo resuelto — Ecuación de vis-viva

Período orbital	1.62 h

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Mismo semieje mayor, misma energía, mismo periodo 🖖

La ecuación de vis-viva es la conservación de la energía expresada en forma orbital. En cada punto, la energía mecánica específica total es ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — una constante fijada solo por el semieje mayor a. Dos órbitas con el mismo a pero distinta excentricidad tienen la misma energía y el mismo período; la excentricidad da forma a la trayectoria sin alterar el presupuesto energético. La velocidad es máxima en el perihelio (energía potencial mínima) y mínima en el afelio. La trayectoria de escape es el caso límite a → ∞, con v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — exactamente √2 veces la velocidad circular al mismo radio.

Solo dos números fijan la velocidad 🖖

La ecuación vis-viva dice que la velocidad de un objeto en órbita depende solo de dos cosas: su distancia actual r al cuerpo central y el tamaño global de la órbita, el semieje mayor a. Introduce ambas en v = √(GM(2/r − 1/a)) y obtienes la velocidad. La masa del propio objeto nunca aparece: un clip y una estación espacial en la misma órbita viajan exactamente a la misma velocidad.

El nombre significa 'fuerza viva' 🖖

Vis viva es latín para 'fuerza viva', el término que Leibniz acuñó en la década de 1680 para la cantidad mv², el antecesor de la energía cinética. Desató una disputa de décadas con los seguidores de Newton, que defendían que la cantidad de movimiento mv era la verdadera 'medida del movimiento'. Ambos bandos tenían parte de razón, y el v² que sobrevive en esta ecuación es un eco directo de la fuerza viva de Leibniz.

Problema resuelto al detalle

Periodo y dos velocidades extremas de una órbita Molniya alrededor de la Tierra 5 pasos
Una órbita Molniya: semieje mayor de 26 560 km, excentricidad de 0,74, alrededor de la Tierra. Calcula su periodo y sus dos velocidades extremas, y a continuación el dato para el que realmente se diseñó la órbita: qué parte de cada paso transcurre a gran distancia. Este es el estado Molniya (HEO), con μ = GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s².
1. El semieje mayor es la media de los dos radios extremos, por lo que la excentricidad los separa de forma simétrica. Esta órbita roza los 535 km sobre el suelo en un extremo y alcanza los 39 843 km en el otro, más lejos que la órbita geoestacionaria.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 26560 \times 0.26 = 6905.6 km, r_{a} = a (1 + e) = 26560 \times 1.74 = 46 214.4 km$
2. El periodo ignora todo eso. La tercera ley de Kepler solo tiene en cuenta el semieje mayor, por lo que esta elipse tarda exactamente lo mismo que tardaría una órbita circular a 26 560 km; y la respuesta es la clave del diseño, ya que 11,97 h es medio día sidéreo. Por lo tanto, el satélite vuelve a recorrer la misma traza terrestre dos veces al día y se puede transferir a una estación terrestre con un horario fijo.
  
  $T = 2 π \frac{a ^{3}}{μ} = 2 π \frac{( 2.656 \times 1 0 ^{7} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 43079 s = 11.97 h$
3. La ecuación vis-viva necesita únicamente el radio actual y el tamaño de la órbita, y el periapsis proporciona ambos. El resultado es el 93% de la velocidad que le permitiría escapar de la Tierra desde esa altura: una órbita muy excéntrica roza la velocidad de escape en la parte inferior.
  
  $v_{p} = μ (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) = 3.986 \times 1 0^{14} (\frac{2}{6.906 \times 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2.656 \times 1 0 ^{7}}) = 10.021 km/s$
4. La misma ecuación en el otro extremo, cambiando solo el radio, da una velocidad casi siete veces menor. Ese factor no es información nueva: el momento angular rv se conserva, por lo que las dos velocidades deben estar en proporción inversa a los dos radios, y la relación de radios ya estaba fijada por e en el paso 1.
  
  $v_{a} = μ (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) = 1.497 km/s, \frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{r _{a}}{r _{p}} = \frac{1 + e}{1 - e} = 6.69$
5. Ir despacio en la parte superior significa pasar mucho tiempo arriba, y la segunda ley de Kepler lo hace exacto: áreas iguales en tiempos iguales, por lo que una fracción del periodo es una fracción del área. El eje menor corta la elipse en dos mitades iguales y cruza la órbita precisamente donde r = a, de modo que el área barrida desde la Tierra en el lado lejano es esa mitad más el triángulo entre el foco y el eje. Tanto a como b se simplifican en la razón, lo que deja a la excentricidad sola.
  
  $\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{\frac{1}{2} π ab + ab e}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} = 0.5 + 0.2356 = 0.7355 ⟹ 0.7355 \times 11.97 = 8.80 h$
Respuesta

La herramienta muestra un periodo de 11,97 h, 10,021 km/s en el periapsis y 1,497 km/s en el apoapsis. El paso 5 aclara el propósito de esos números: 8,80 horas de cada órbita de 11,97 horas transcurren más allá de r = a, y apenas 3,17 horas por dentro. Por tanto, tres satélites en planos escalonados cubren un día entero con más de dos horas de solapamiento, que es como la red soviética Molniya proporcionaba televisión continua a la Rusia de altas latitudes —un satélite geoestacionario queda en el horizonte a esas latitudes y resulta inútil—. Y ½ + e/π no contiene μ ni a: una órbita de excentricidad 0,74 alrededor de cualquier cuerpo pasa el 73,6% de su vida en el lado lejano.

$\frac{t _{r > a}}{T} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} (a, μ cancel)$

Ruta de aprendizaje

Órbitas a partir de dos números

Lleva a Período orbital la velocidad en cualquier punto de esa elipse a partir de solo dos distancias: tu posición y el semieje mayor.

Referencias (1)

The vis-viva equation and the energy-from-a alone result: R. R. Bate, D. D. Mueller and J. E. White, Fundamentals of Astrodynamics, §1.4–1.6. Dover, 1971. ISBN 978-0-486-60061-1.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

Todas las lecciones de Astronomía y Espacio →

Problemas de ejemplo

LEO circular - LEO circular: v≈7.67 km/s
GEO (geoestacionario) - Una órbita geoestacionaria: 3,075 km/s a 42.164 km y un periodo de 23,94 h (no de 24). Este es el día sidéreo, el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa respecto a las estrellas. Igualar ese tiempo es lo único que necesitas para quedarte fijo sobre un mismo punto del suelo.
Molniya (HEO) - Con r = a verás una velocidad de 3,874 km/s, pero esta órbita revela su interés en los extremos: 10,021 km/s en el periápside frente a 1,497 km/s en el apoápside, un factor de 6,7. El satélite invierte casi todo su periodo de 11,97 horas arrastrándose por el tramo lento. Para eso sirve exactamente una órbita Mólniya.
Órbita Tierra–Sol - La propia órbita de la Tierra: 29,788 km/s con un periodo de 365,22 d. Una excentricidad de 0,017 te puede parecer insignificante, pero basta para alterar la velocidad en un kilómetro por segundo. Así, tienes 30,299 km/s en el perihelio a principios de enero frente a los 29,286 km/s del afelio a principios de julio.