Pandeo de Euler y la columna esbelta

Elige un material, una sección transversal, una longitud y cómo están sujetos los extremos. La página calcula la carga a la que pandea la columna, la carga a la que simplemente se aplastaría y cuál de las dos ocurre primero.

Ejemplo resuelto — Pandeo de Euler y la columna esbelta

Área de la sección	706,86 mm²
Momento de inercia	3,976 × 10⁻⁸ m⁴
Radio de giro, √(I ÷ A)	7,500 mm
Esbeltez, KL ÷ r	400,0
Carga de pandeo	8,72 kN
Carga de aplastamiento	176,71 kN
Cuál de las dos ocurre antes	8,72 kN
Así que falla por	pandeo

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Pandeo de Euler y la columna esbelta

Una columna corta cargada a lo largo de su eje falla por aplastamiento: la tensión alcanza la resistencia del material y cede a una carga igual al área por la resistencia. Una columna larga no llega tan lejos. Falla por pandeo (arqueándose lateralmente y luego doblándose) a la carga crítica de Euler, P = π²EI ÷ (KL)², donde E es la rigidez, I el momento de inercia, L la longitud y K un factor según cómo se sujeten los extremos. El fallo que ocurre es, sencillamente, el que tenga la carga más baja. Ambos se comparan habitualmente mediante la esbeltez λ = KL ÷ r, donde r = √(I ÷ A) es el radio de giro, una longitud que indica a qué distancia del centro se sitúa el material.

Qué significa cada símbolo

E: rigidez, en pascales. Lo que cuesta estirar el material, y la única propiedad del material en la fórmula de Euler
I: momento de inercia, en m⁴. Una propiedad exclusiva de la FORMA, y la razón por la que un tubo supera a una barra del mismo peso
r: radio de giro, √(I ÷ A), en metros. A qué distancia del centro se sitúa de manera efectiva el material de la sección
λ: esbeltez, KL ÷ r. Un único número que decide cuál de los dos fallos vas a obtener
K: el factor de condición de los extremos. 1 para extremos articulados, 0,5 con ambos empotrados, 2 con un extremo libre

Supone: Una columna perfectamente recta, carga perfectamente centrada, sección uniforme y un material que se mantiene elástico hasta el preciso instante en que cede. Todas estas suposiciones son generosas. La carga de Euler es el punto en el que una columna perfecta deja de ser estable, no la carga a la que se rompe una de verdad: para empezar, una columna real está ligeramente doblada y ligeramente descentrada, así que comienza a curvarse de inmediato y cede por debajo de esta línea. Trata el número como un techo que no se puede superar y no como una carga que se pueda utilizar. Por eso, las normativas de diseño reales reemplazan la esquina pronunciada entre ambas curvas por una transición suave ajustada a los ensayos.
Falla cuando: Cerca del cruce, donde ninguna idealización es correcta: la columna es lo bastante robusta como para que el material empiece a plastificarse en el lado comprimido antes de alcanzar la carga de pandeo elástico, y el verdadero fallo queda por debajo de ambas curvas. También se incumple en el perfil en I, y de forma muy visible. Una viga laminada es unas trece veces más rígida en un eje que en el otro, por lo que una columna sin arriostrar fabricada con ella pandea lateralmente respecto al eje débil, y el valor del eje fuerte que esta página también imprime no es el correcto para diseñar. Y se incumple en la madera de una forma que la tabla no puede mostrar: el valor citado es una resistencia a compresión característica de una población clasificada, no un límite elástico, porque la madera carece por completo de límite elástico y falla por el colapso de las paredes celulares.

El acero más resistente no pandea a una carga mayor 🖖

Pulsa Puntal esbelto y luego En acero más resistente. Es la misma barra, idéntica longitud, mismos extremos y un material con 2,76 veces la resistencia. La carga de pandeo es 8,72 kN antes y 8,72 kN después. No es un valor parecido, sino idéntico en cada dígito que almacena el ordenador. La carga de Euler es π²EI ÷ (KL)², y la resistencia del material no aparece por ninguna parte; solo importa E, la rigidez, y esta E es la misma para ambos aceros porque todos son aproximadamente igual de rígidos. Lo que sí compraste con el acero más resistente es una carga de aplastamiento que pasó de 176,71 kN a 487,73 kN, una carga que esta columna jamás alcanzará. La fila que muestra cuánta resistencia aprovechas va en la dirección contraria, cayendo del 4,93 % al 1,79 %: el mejor material arroja el peor número.

Hay una longitud donde los dos fallos se intercambian 🖖

Al aplastamiento no le importa la longitud y al pandeo casi no le importa otra cosa, así que las dos curvas del primer panel tienen que cruzarse. El punto donde lo hacen es la esbeltez de cruce, y es λ = π√(E ÷ resistencia). No incluye longitud, área ni forma, solo las dos propiedades del material. El acero estructural se cruza en 88,86 y el de alta resistencia en 53,49, que viene a ser el mismo hecho visto desde el otro lado: cuanto más resistente es el material, antes se convierte en una mala inversión. Por debajo del cruce estás comprando resistencia, y por encima de él compras rigidez y geometría, dejando de importar la propia resistencia del material.

El espesor rinde a la cuarta potencia, la resistencia a la primera 🖖

Si la resistencia no sirve de nada ahí arriba, ¿qué sirve? El segundo panel barre el tamaño de la sección y mide la pendiente en lugar de asumirla: en la rama de pandeo, la carga crítica de una barra maciza circular crece a la cuarta potencia de su diámetro, medida en 4,000000, y en la rama de aplastamiento lo hace al cuadrado, medida en 2,000000. Duplicar el diámetro multiplica la carga de pandeo por dieciséis. Un tubo hueco rinde aún mejor para su peso, porque desplazar el mismo metal hacia afuera aumenta I pero apenas toca A. Por eso un poste de andamio es un tubo, el cuadro de una bicicleta es un tubo y la barra maciza del primer preajuste es una mala forma de gastar acero.

Problema resuelto al detalle

Elegir entre dos aceros para un puntal de 3 m 6 pasos
Un puntal de 3 m, articulado en ambos extremos, va a ser una barra maciza circular de 30 mm. Te ofrecen acero estructural a 250 MPa y acero de alta resistencia a 690 MPa por más dinero. Calcula qué carga soportaría cada uno y decide cuál comprar. Pulsa Puntal esbelto para ver la primera mitad en la herramienta.

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza por la geometría, porque es idéntica en ambos casos y es todo lo que necesita Euler. Una barra circular de 30 mm tiene un área de 706,86 mm² y un momento de inercia de 3,976 × 10⁻⁸ m⁴.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = 706.86 m m^{2}, I = \frac{π d ^{4}}{64} = 3.976 \times 1 0^{- 8} m^{4}$
2. El radio de giro viene a continuación, y para una barra maciza circular es simplemente una cuarta parte del diámetro: 7,500 mm.
  
  $r = \frac{I}{A} = \frac{d}{4} = 7.500 mm$
3. Articulado en ambos extremos significa K = 1, por lo que la esbeltez es simplemente la longitud dividida por ese valor: 3 ÷ 0,0075 = 400. Se trata de una columna muy esbelta, y el cruce para el acero estructural es 88,86.
  
  $λ = \frac{K L}{r} = \frac{1 \cdot 3 . 0}{0 . 0075} = 400.0 λ_{c} = π \frac{E}{σ _{y}} = 88.86$
4. Ahora Euler, con E = 200 GPa para ambos aceros porque esa es la rigidez del acero:
  
  $P_{E} = \frac{π ^{2} E I}{( K L ) ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 200 \times 1 0 ^{9} \cdot 3 . 976 \times 1 0 ^{- 8}}{3 . 0 ^{2}} = 8.72 kN$
5. Y las cargas de aplastamiento, el único punto en el que los dos aceros difieren:
  
  $σ_{y} A σ_{y} P_{E} 250 MPa 176.71 kN 8.72 kN 690 MPa 487.73 kN 8.72 kN$
6. Compara ambas parejas. El puntal pandea a 8,72 kN en cualquier caso, y jamás verá una carga cercana a ninguna de las cifras de aplastamiento, por lo que el acero más resistente no aporta absolutamente nada a lo que puede soportar este elemento.
  
  $\frac{8 . 72}{176 . 71} = 4 . 93%, \frac{8 . 72}{487 . 73} = 1 . 79%$
Respuesta

Compra el acero barato. Ambos pandean a 8,72 kN, y el único efecto del acero de 690 MPa es rebajar la fracción de resistencia que aprovechas del 4,93 % al 1,79 %; estarías pagando por una resistencia a cambio de nada. Lo que sí ayudaría es cualquier cosa que entre en la fórmula de Euler: un puntal más corto, una restricción en el centro del vano, extremos empotrados en lugar de articulados, o el mismo acero dispuesto más lejos del centro. Reemplaza la barra maciza de 30 mm por un tubo de 78 × 3 mm (son 706,86 mm² de acero en ambos casos, luego es el mismo peso a soportar y el mismo precio de compra) y el momento de inercia subirá 12,52 veces, llevando la carga de pandeo de 8,72 kN a 109,18 kN. Doce veces más columna sin coste adicional, solo desplazando el metal hacia afuera en lugar de mejorar su calidad. Esa es toda la compensación, y por eso la respuesta a un problema de pandeo nunca es una aleación mejor.

$P_{E}_{250} = P_{E}_{690} = 8.72 kN \Rightarrow \frac{I _{78 \times 3}}{I _{30}} = 12.52$

Ruta de aprendizaje

Por dónde pasa la carga

Referencias (2)

Euler's own, and it is an appendix rather than the book. The critical load appears in the additamentum De curvis elasticis, which is where the elastica and this page's formula both start: L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Additamentum I: De curvis elasticis. Lausanne and Geneva, 1744.
Where the five materials' stiffness and strength figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, e.g. the CRC Handbook of Chemistry and Physics or a structural-steel design code such as EN 1993-1-1 for steel and EN 338 for graded timber.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.