Clases de palancas y ventaja mecánica

Carga el preajuste Brazo de bíceps: un brazo de potencia de 5 cm, un brazo de resistencia de 35 cm y 50 N en la mano. El panel indica que la potencia es de 350 N y la ventaja mecánica es de 0,14. Deduce de dónde salen estos valores y explica qué obtiene el brazo a cambio de estar construido de forma tan desfavorable.

1. Todo en una palanca se deriva de una sola condición de equilibrio. Toma momentos respecto al punto de apoyo: la fuerza por la distancia en un lado equivale a la fuerza por la distancia en el otro. Ese es todo el modelo; el resto es aritmética.

   $$E\cdot a=L\cdot b\text{(moments about the fulcrum)}$$

2. Introduce los datos. La carga se encuentra a 35 cm del codo y el bíceps tira a tan solo 5 cm de él, por lo que el músculo parte de una desventaja de siete a uno antes de que ocurra cualquier otra cosa.

   $$E=\frac{Lb}{a}=\frac{50\times 35}{5}=350\mathrm{N}$$

3. La ventaja mecánica es lo que se levanta dividido entre lo que se ejerce. El resultado es inferior a 1, lo que significa que la máquina cuesta fuerza en lugar de ahorrarla. Observa que también equivale a a/b: la relación entre los brazos, obtenida desde el otro extremo.

   $$\mathrm{MA}=\frac{L}{E}=\frac{50}{350}=0.1429=\frac{a}{b}=\frac{5}{35}$$

4. Veamos ahora la contrapartida. Al desplazar el brazo un ángulo pequeño, ambos extremos se mueven en proporción a su distancia al punto de apoyo, de modo que la mano recorre b/a veces la distancia del músculo. Siete centímetros de mano por cada centímetro de contracción.

   $$\frac{d_{\text{load}}}{d_{\text{effort}}}=\frac{b}{a}=7$$

5. No se perdió ni se ganó nada. Al desplazar la carga 1 cm, el músculo realiza un trabajo de 0,500 J y el peso recibe 0,500 J. Lo que cambió fue el reparto entre fuerza y distancia.

   $$W_{\text{in}}=350\times \frac{5}{35}\times 0.01=0.500\mathrm{J}=W_{\text{out}}=50\times 0.01$$

6. Y esta desventaja no es un accidente de estos números. Una palanca de tercer género se define porque la potencia se aplica entre el punto de apoyo y la resistencia, lo que obliga a que a sea menor que b, lo cual fuerza a que la ventaja sea inferior a 1. No hay ninguna palanca de tercer género en ningún sitio que levante más de lo que se ejerce.

   $$\text{third class}\Rightarrow a<b\Rightarrow \mathrm{MA}=\frac{a}{b}<1$$

Carga el preajuste Barreta: un brazo de potencia de 150 cm, un brazo de resistencia de 50 cm, una tapa de 300 N. Calcula la potencia y decide después qué resistencia tiene que tener el taco sobre el que apoyas la barra.

1. Los momentos respecto al punto de apoyo resuelven la potencia en una línea: 300 N actuando a 50 cm se equilibran con 100 N a 150 cm. Las tarjetas coinciden, con 100,0 N y una ventaja de 3,00, comprada con 3,00 cm de recorrido de la mano por cada centímetro que sube la tapa.

   $$E=\frac{Lb}{a}=\frac{300\times 50}{150}=100\mathrm{N}$$

2. Los momentos son solo la mitad de la estática. La barra no se va a ninguna parte, así que las fuerzas sobre ella también tienen que sumar cero, y son tres: tu mano, la tapa y aquello sobre lo que la barra se apoya. Nada en esta página calcula la tercera.

   $$\mathrm{MA}=\frac{a}{b}=\frac{150}{50}=3.00,d_E=3.00\mathrm{cm}$$

3. En una palanca de primer género el punto de apoyo queda entre los otros dos, y ambos empujan hacia abajo: tú empujas hacia abajo el extremo largo y la tapa tira hacia abajo del corto. Así que el taco de debajo empuja hacia arriba con la suma, 400 N. Tu mano nota un tercio de la tapa; el taco nota más que toda ella.

   $$R=E+L=100+300=400\mathrm{N}$$

4. La reacción vale L(1 + 1/VM), que siempre supera la carga, y cuanto mejor es la palanca más se acerca a la carga desde arriba. Una barreta con una ventaja de cien veces sigue enviando 1,01 veces la carga por su punto de apoyo.

   $$R=L\left(1+\frac{1}{\mathrm{MA}}\right)>L\forall \mathrm{MA}>0$$

5. El segundo género invierte la disposición, y la herramienta tiene una: la carretilla, 600 N con la misma ventaja de 3. La carga queda ahora entre el punto de apoyo y la potencia, y tú levantas las varas, así que la potencia apunta hacia arriba y el eje soporta L − E, que son 400 N. Dos tercios de lo que va en la carretilla.

   $$R=L-E=L\left(1-\frac{1}{\mathrm{MA}}\right)=600\left(1-\frac{1}{3}\right)=400\mathrm{N}$$

6. El tercer género usa la misma fórmula con una ventaja por debajo de 1. El preajuste del bíceps tiene VM = 5/35, así que 1 − 1/VM es −6 y la reacción es −300 N. El signo es la respuesta: del extremo del antebrazo que está en el codo se tira hacia abajo con 300 N para sostener 50 N en la mano.

   $$\mathrm{MA}=\frac{5}{35}\Rightarrow R=50\left(1-7\right)=-300\mathrm{N}$$