Poleas y ventaja mecánica

Carga el Polipasto: cuatro tramos de cuerda, una carga de 800 N, un 85% de eficiencia. El panel indica 235,3 N de tirón y 4 m de cuerda por cada metro de elevación. Calcula ambos valores y luego explica exactamente en qué se gastó ese 15%.

1. Empieza por la máquina ideal. Cuatro tramos de cuerda se reparten la carga. Cada uno soporta una cuarta parte, y la mano que sostiene uno de ellos siente un cuarto del peso. Esa es la ventaja mecánica. Es un simple recuento, no una fórmula.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{ideal}}=n=4,E_{\text{ideal}}=\frac{800}{4}=200\mathrm{N}$$

2. La cuerda tiene que salir de alguna parte. Subir el bloque 1 m acorta los cuatro tramos en 1 m a cada uno. Por lo tanto, 4 m deben pasar por tus manos. La ventaja y la longitud de la cuerda son el mismo número por ese exacto motivo.

   $$\ell =n\times h=4\mathrm{m}\text{of rope per }1\mathrm{m}\text{of lift}$$

3. Ahora incorpora la máquina real. La eficiencia multiplica la ventaja, no la cuerda. Las roldanas giran contra sus cojinetes y la cuerda se resiste a doblarse a su alrededor. Ambas cosas cuestan fuerza.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{actual}}=n\eta =4\times 0.85=3.40$$

4. Por eso el tirón aumenta. Fíjate en la segunda forma. Dividir los 200 N ideales entre 0,85 da la misma respuesta. Eso es exactamente lo que significa "85% de eficiencia".

   $$E=\frac{L}{n\eta }=\frac{800}{3.40}=235.3\mathrm{N}=\frac{200}{0.85}$$

5. Cuenta los julios en ambos lados. Tú te mueves 4 m contra 235,3 N. La carga avanza 1 m contra 800 N.

   $$W_{\text{in}}=235.3\times 4=941.2\mathrm{J},W_{\text{out}}=800\times 1=800\mathrm{J}$$

6. La diferencia es la pérdida. Equivale exactamente a la fracción que indicó la eficiencia.

   $$W_{\text{lost}}=141.2\mathrm{J}=(1-\eta )W_{\text{in}}$$

Carga Grúa pesada (6×): seis tramos de cuerda, 1.500 N de carga, un 80% de eficiencia y 312,5 N de tirón. La página dice tres veces distintas que añadir tramos deja de ayudar en algún momento. Encuentra dónde deja de hacerlo y decide después si merece la pena enhebrar un séptimo tramo en esta grúa.

1. Primero el panel. Seis tramos al 80% dan una ventaja de 4,80, así que el tirón es 1.500 dividido entre eso, y por tus manos pasan seis metros de cuerda por cada metro que sube el gancho.

   $$\mathrm{MA}=n\eta =6\times 0.80=4.80,E=\frac{1500}{4.80}=312.5\mathrm{N},\ell =6.0\mathrm{m}$$

2. La herramienta te deja fijar el número y la eficiencia por separado; un aparejo real no. Cada roldana se lleva su parte, un cojinete y un doblez de la cuerda, así que las pérdidas se acumulan tramo a tramo. Los propios preajustes de la herramienta coinciden en cuánto se lleva cada tramo: el 80% con seis tramos y el 85% con cuatro salen los dos alrededor del 96%.

   $$\eta ={\eta }_s^n⟹{\eta }_s=0.80^{1/6}=0.9635;\text{block and tackle: }0.85^{1/4}=0.9602$$

3. Sustituye eso y el tirón deja de ser una división limpia. Deriva y el número de tramos en que ambos efectos se equilibran cae solo, sin carga ni aparejo dentro.

   $$E(n)=\frac{L}{n{\eta }_s^n},\frac{d}{dn}\ln E=-\frac{1}{n}-\ln {\eta }_s=0⟹n^{\ast }=\frac{1}{\ln (1/{\eta }_s)}$$

4. Con roldanas del 96,3% el equilibrio está en veintisiete tramos. Nada del rango de la herramienta se le acerca: con diez tramos el tirón sigue cayendo con fuerza.

   $${\eta }_s=0.9635:n^{\ast }=26.9;E(6)=312.5,E(7)=278.0,E(10)=217.6\mathrm{N}$$

5. Empeora las roldanas y la respuesta se desplaza muchísimo. Al 85% cada una, seis tramos son el mínimo, y el séptimo ya pesa más que el sexto.

   $${\eta }_s=0.85:n^{\ast }=6.15;E(5)=676.1,E(6)=662.9,E(7)=668.4\mathrm{N}$$

6. La tarjeta de eficiencia no es lo que hay que mirar mientras haces esto. Diez tramos con las roldanas de esta misma grúa dan un 68,9% de eficiencia, muy por debajo del 80% que se ve ahora, y el tirón es un tercio más ligero.

   $$\eta (10)=0.9635^{10}=0.689<0.80,E(10)=\frac{1500}{10\times 0.689}=217.6\mathrm{N}$$