Ventaja mecánica de la rueda y el eje

un pomo, un volante y un destornillador son la misma máquina con números diferentes

Ejemplo resuelto — Ventaja mecánica de la rueda y el eje

Ventaja ideal (R / r)	6,00
Ventaja real	5,40
Fuerza de esfuerzo (E)	92,6 N
Cuerda en rueda por vuelta	3,77 m
Radio de la rueda (R)	60 cm
Radio del eje (r)	10 cm
Fuerza de carga (L)	500 N
Eficiencia (η)	90%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La relación entre los radios es la relación entre las distancias 🖖

La ventaja mecánica es R/r, y una vuelta completa enrolla 2πR en el borde frente a 2πr en el eje. Al cancelarse 2π, la relación de distancias es idéntica a la de los radios: el torno del pozo convierte 3,770 m de recorrido de la manivela en 0,628 m de cuerda. Exactamente seis a uno, el mismo seis de su ventaja ideal. Cualquier mecanismo de rueda y eje en esta herramienta obedece a este principio, porque es la misma afirmación escrita dos veces.

Es una palanca que nunca se queda sin recorrido 🖖

Coloca el punto de apoyo en el centro del eje y los dos radios serán los dos brazos de una palanca de primer grado: R/r es a/b con otro nombre. Lo que aporta la forma circular es que el recorrido nunca termina. Una palanca llega a su límite cuando la barra toca el suelo; un torno, en cambio, sigue girando. Por eso las máquinas que deben elevar cargas sin reiniciarse jamás (un pozo, un ancla, un ascensor) se montan sobre un eje y no sobre una barra.

A dónde van los julios que faltan 🖖

La configuración del pomo de la puerta funciona al 95%: 33,1 J de giro entregan 31,4 J en el pestillo, y 1,7 J calientan el eje. Es una buena máquina. El torno del pozo, al 85%, pierde 66,5 J de cada 443,5 J. Lo notarás al mover una manivela más pesada de lo que prometía la aritmética: 117,6 N en lugar de los 100 N ideales. La eficiencia es el cociente entre la ventaja que ofrece la geometría y la que realmente sienten tus manos.

Problemas resueltos al detalle

Por qué la manivela del torno recorre 3,77 metros para elevar 63 centímetros de cuerda 6 pasos
Carga el Torno de pozo: un radio de manivela de 60 cm en un eje de 10 cm, un cubo de 600 N y una eficiencia del 85%. El panel indica una ventaja ideal de 6,00 y un esfuerzo de 117,6 N. Calcula ambos valores y luego determina qué distancia recorre tu mano.

Abre este problema en la herramienta
1. La ventaja es la relación entre los dos radios y proviene directamente de los momentos: es el mismo eje, así que idealmente tienen el mismo par, y una fuerza seis veces menor a seis veces el radio logra equilibrarlo.
  
  $MA_{ideal} = \frac{R}{r} = \frac{60}{10} = 6.00$
2. Ahora las distancias, donde la proporción demuestra su verdadero valor. Una vuelta completa enrolla la circunferencia respectiva en cada radio.
  
  $one turn: s_{R} = 2 π R = 3.770 m, s_{r} = 2 π r = 0.628 m$
3. Divide una por la otra y el 2π se cancela. La proporción de distancias equivale a la proporción de radios, de forma exacta. Es el mismo 6 que nos dio la relación de fuerzas, solo que derivado de la geometría y no de los momentos.
  
  $\frac{s _{R}}{s _{r}} = \frac{2 π R}{2 π r} = \frac{R}{r} = 6.0000$
4. La eficiencia reduce esta ventaja. Al 85%, el seis pasa a ser 5,10.
  
  $MA_{actual} = \frac{R}{r} η = 6.00 \times 0.85 = 5.10$
5. Por tanto, la manivela resulta más pesada de lo que prometía la máquina ideal (un 17,6% más, no el 15% de eficiencia perdida), porque dividir la ventaja entre 0,85 multiplica el esfuerzo por 1/0,85.
  
  $E = \frac{600}{5.10} = 117.6 N (ideal would be 100.0 N)$
6. Calcula el trabajo y los julios que faltan aparecerán por sí solos: 66,5 J de los 443,5 que aportas, calentando el cojinete.
  
  $W_{in} = 117.65 \times 3.7699 = 443.5 J, W_{out} = 600 \times 0.6283 = 377.0 J$
Respuesta

Seis a uno, lo que supone 117,6 N en la manivela frente a los 100,0 N que necesitaría un torno ideal, y 3,770 m de recorrido de la mano por cada 0,628 m de cuerda.

Una palanca se detiene cuando la barra toca el suelo, y una palanca lo bastante larga para subir un cubo desde un pozo tendría que ser tan larga como la propia profundidad del pozo. Un eje simplemente sigue girando, por lo que esa misma ventaja de seis a uno se mantiene todos los metros que quieras. Esa es la razón por la cual las máquinas que deben tirar de forma continua sin reiniciarse se montan sobre un eje: el torno del ancla, el ascensor, el grifo que abriste esta mañana.
Lo que hace el destornillador cuando lo sueltas 6 pasos
Carga Destornillador (5:1): un radio de mango de 15 cm sobre un eje de 3 cm, 50 N de carga, un 90% de eficiencia y 11,1 N en el borde. Averigua qué hace la carga en el instante en que retiras la mano y decide después lo malo que tiene que ser un torno para sostener un cubo por sí solo.

Abre este problema en la herramienta
1. El panel: cinco a uno por los radios, 4,50 una vez aplicado el 90%, así que once newtons en el borde equilibran cincuenta en el eje.
  
  $MA = \frac{R}{r} η = 5.00 \times 0.90 = 4.50, E = \frac{50}{4.50} = 11.11 N$
2. Cuenta los julios de una vuelta completa. El borde recorre 0,94 m, el eje 0,19 m, y uno de los diez julios y medio se va al cojinete.
  
  $one turn: W_{in} = 11.11 \times 0.9425 = 10.472 J, W_{out} = 50 \times 0.1885 = 9.425 J, W_{loss} = 1.047 J$
3. Ahora deja que sea la carga la que mueva el conjunto. Las mismas superficies deslizan la misma distancia bajo las mismas fuerzas, así que el cojinete se lleva el mismo julio, solo que esta vez sale del trabajo de la carga en lugar de sumarse al tuyo. Esa igualdad es la única suposición del cálculo, y es lo que hace que el caso inverso sea calculable siquiera.
  
  $driven from the axle, same surfaces and same travel ⟹ W_{loss}^{'} = W_{loss} = 1.047 J$
4. Así que la eficiencia inversa es lo que quede del trabajo de la propia carga, y se reduce a una expresión que no contiene más que la eficiencia directa.
  
  $η_{rev} = \frac{9.425 - 1.047}{9.425} = \frac{8.378}{9.425} = 0.8889 = 2 - \frac{1}{0.90}$
5. En fuerza: la carga empuja de vuelta en el borde con 8,89 N. Tienes que sujetarla casi con la misma fuerza con la que la giraste.
  
  $F_{hold} = \frac{L r}{R} η_{rev} = 50 \times 0.200 \times 0.8889 = 8.89 N (against 11.11 N to raise it)$
6. La expresión se agota en un medio. Por debajo de ahí la carga no puede mover la máquina en absoluto, y la herramienta enseña lo que cuesta eso, porque levantar la misma carga al 50% exige el doble del esfuerzo ideal.
  
  $η_{rev} \leq 0 ⟺ η \leq 0.50; η = 0.50 ⟹ E = 20.0 N = 2 \times \frac{50}{5.00}$
Respuesta

Se desenrolla. 8,89 N en el borde, frente a los 11,11 N que hicieron falta para subirla.

Una máquina sostiene su propia carga solo cuando su eficiencia es peor que el 50%, y ninguno de los cuatro preajustes de esta herramienta se acerca: el pomo de puerta al 95% devuelve un 94,7%, el volante y el destornillador al 90% devuelven un 88,9%, el torno de pozo al 85% devuelve un 82,4%. Arrastra el deslizador de eficiencia hasta su mínimo del 10% y la cifra inversa es −8, lo que significa que la carga no puede moverla por mucho que pese. Por eso un torno de pozo se construye con un trinquete y un destornillador se construye con tu mano alrededor. Un polipasto es la única máquina en la que pagas dos veces por la eficiencia: una al comprarla y otra en el trinquete que tienes que atornillarle por culpa de ella.

$η_{rev} = 2 - \frac{1}{η} : 0.95 \to 0.947, 0.90 \to 0.889, 0.85 \to 0.824, 0.50 \to 0, 0.10 \to - 8$

Ruta de aprendizaje

Máquinas simples: cambiar fuerza por distancia

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.