Simulador de trenes de engranajes

Carga Tren simple con engranajes intermedios: engranajes de 12, 36, 24 y 36 dientes, con una entrada de 1.200 rpm y 10 N·m. El panel indica una relación de 3,00:1. Dos de esos cuatro números de dientes no influyen en ella. Demuestra cuáles son; después, cambia la disposición por etapas y comprueba qué pueden dar realmente esos mismos cuatro engranajes.

1. Una sola regla se aplica a cada engrane: allí donde dos engranajes se tocan, los dientes pasan por el punto de contacto al mismo ritmo, de modo que el engranaje más pequeño gira más rápido en proporción exacta al número de dientes.

   $$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{N_2}{N_1}\text{at every mesh}$$

2. Un tren simple consta de tres engranes seguidos, por lo que se multiplican los tres.

   $$\frac{{\omega }_{\text{in}}}{{\omega }_{\text{out}}}=\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_3}{N_2}\cdot \frac{N_4}{N_3}$$

3. Al introducir los números, cada etapa parece relevante: un 3,00, luego un 0,667 y finalmente un 1,50.

   $$=\frac{36}{12}\cdot \frac{24}{36}\cdot \frac{36}{24}=3\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=3.000$$

4. Ahora simplifique. Cada número de dientes intermedio aparece una vez en el numerador y otra en el denominador, de forma que todo el producto se reduce al último dividido entre el primero, y los engranajes situados entre ellos no dejan rastro.

   $$\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_3}{N_2}\cdot \frac{N_4}{N_3}=\frac{N_4}{N_1}=\frac{36}{12}=3$$

5. El resto se deduce únicamente de la relación. La velocidad se divide y el par se multiplica.

   $${\omega }_{\text{out}}=\frac{1200}{3}=400\mathrm{rpm},{\tau }_{\text{out}}=10\times 3=30\mathrm{N}\mathrm{m}$$

6. Y el producto no se altera. Los engranajes transfieren potencia entre velocidad y fuerza; nunca la crean, y la herramienta mantiene este principio en cualquier configuración.

   $$\omega \tau (\mathrm{rpm}\cdot \mathrm{N}\mathrm{m}):1200\times 10=400\times 30=12,000$$

7. Para que los engranajes centrales cuenten, monta dos de ellos en un mismo eje, de modo que giren juntos. Así, las relaciones de cada etapa se multiplican en vez de cancelarse, y los mismos cuatro números de dientes dan 4,50 en lugar de 3,00.

   $$\text{compounded instead: }\frac{36}{12}\cdot \frac{36}{24}=3.00\times 1.50=4.50$$

Carga Multiplicador (12:1): 12, 36, 12 y 48 dientes, entrada de 1.200 rpm a 10 N·m, salida de 100 rpm y 120 N·m. Entre esos dos ejes hay un tercero que el panel no menciona nunca. Averigua qué está soportando y decide después cuál de las dos etapas debería hacer la reducción mayor.

1. Las dos etapas se multiplican porque los engranajes 2 y 3 van chavetados al mismo eje y no pueden girar el uno sin el otro. Tres por cuatro es doce, y de ese número salen ya las tarjetas de velocidad y de par.

   $$i=\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_4}{N_3}=\frac{36}{12}\cdot \frac{48}{12}=3.00\times 4.00=12.00⟹100.0\mathrm{rpm},120.0\mathrm{N}\mathrm{m}$$

2. Ese eje es donde acaba la primera etapa y empieza la segunda. Gira a la velocidad de entrada dividida entre la primera relación y soporta el par de entrada multiplicado por ella.

   $$n_{\mathrm{mid}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1}=\frac{1200}{3.00}=400\mathrm{rpm},T_{\mathrm{mid}}=T_{\mathrm{in}}{r}_1=10\times 3.00=30\mathrm{N}\mathrm{m}$$

3. Con lo que el producto vuelve a quedar intacto. El panel ya lo muestra conservándose entre la entrada y la salida; también se conserva en el medio, porque un tren de engranajes no tiene dónde guardar nada.

   $$nT(\mathrm{rpm}\cdot \mathrm{N}\mathrm{m}):1200\times 10=400\times 30=100\times 120=12,000$$

4. Ahora intercambia las etapas: primero el cuatro, después el tres. La relación total sigue siendo 12,00:1 y la salida sigue en 100 rpm con 120 N·m, así que en la página no ha cambiado nada visible. El eje intermedio sí: gira más despacio y soporta un tercio más de par.

   $$\text{stages swapped }(12/48/12/36):i=4.00\times 3.00=12.00,n_{\mathrm{mid}}=300\mathrm{rpm},T_{\mathrm{mid}}=40\mathrm{N}\mathrm{m}$$

5. El enunciado general es corto. La primera relación fija por completo el eje intermedio, y las dos relaciones tienen que multiplicarse hasta la relación total que quisieras, así que el par intermedio cae en algún punto entre el de entrada y el de salida, nunca fuera de ellos.

   $$T_{\mathrm{mid}}=T_{\mathrm{in}}{r}_1,n_{\mathrm{mid}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1},r_1{r}_2=i\text{fixed}⟹T_{\mathrm{in}}\le T_{\mathrm{mid}}\le T_{\mathrm{out}}$$

6. Merece la pena elegir, porque un eje se dimensiona por par y no por velocidad. A una tensión cortante admisible dada, el diámetro va como la raíz cúbica del par.

   $$d\propto T^{1/3}(\text{torsion, one allowable shear stress}):{\left(\frac{40}{30}\right)}^{1/3}=1.10$$