Torsión de ejes: ejes macizos y huecos

Elige un eje, macizo o hueco, y lo que tiene que soportar: una potencia a una velocidad, o un par. La página calcula el esfuerzo cortante, la torsión y el factor de seguridad, o dimensiona el eje más pequeño de la sección elegida que servirá. La tabla debajo del dibujo hace los cálculos.

Ejemplo resuelto — Torsión de ejes: ejes macizos y huecos

Velocidad angular	314,2 rad/s
Par	477,5 N·m
Diámetro interior	72,39 mm
Momento polar de inercia	614.000 mm⁴
Esfuerzo cortante máximo	29,63 MPa
Cortante en el interior	28,15 MPa
Ángulo de torsión	0,835°
Torsión por metro	0,557°/m

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Torsión de ejes: ejes macizos y huecos

Un eje que transmite un par T se encuentra bajo torsión. El esfuerzo cortante crece en proporción al radio, τ = T r ÷ J, siendo máximo en la superficie. J es el momento polar de inercia, J = π(D⁴ − dᵢ⁴) ÷ 32, que establece qué parte de la sección queda lejos del eje. El eje se tuerce un ángulo φ = T L ÷ (G J), donde G es el módulo de elasticidad transversal. Un eje que gira a una velocidad angular ω transmite una potencia P = T ω.

Qué significa cada símbolo

T: el par, en N·m. A partir de una potencia y una velocidad, T = P ÷ ω
J: el momento polar de inercia, en m⁴. La cuarta potencia del diámetro es la razón por la que un poco más de diámetro aporta mucho
τ: el esfuerzo cortante, cero en el eje y máximo en la superficie
φ: el ángulo de torsión, en radianes. Proporcional a la longitud
G: el módulo de elasticidad transversal, la rigidez del material a cortadura. Unos 80 GPa para el acero y 26 GPa para el aluminio

El centro de un eje no soporta casi nada 🖖

El esfuerzo cortante en un eje sometido a torsión crece en proporción a la distancia desde el centro: cero en el eje, máximo en la superficie. La mitad interior del radio soporta solo una dieciseisava parte del par mientras que contiene una cuarta parte del metal. Así que quita el centro. Pulsa Dimensiona un eje hueco: para los mismos 150 kW a 3000 rpm, un eje macizo necesita 32,30 mm y uno hueco con su interior al 80% del diámetro necesita 38,50 mm, y el hueco pesa el 51,2% en comparación. El gráfico muestra todo el compromiso: con el mismo diámetro exterior un interior del 80% mantiene el 59,0% de la capacidad de par por el 36,0% de la masa. El árbol de transmisión de un coche es un tubo ancho y fino por una razón relacionada que esta página no calcula: también debe ser rígido a flexión, o por su longitud y velocidad vibraría, y un tubo ancho ofrece la mayor rigidez para su peso.

Haz girar un eje diez veces más rápido y podrá transmitir diez veces la potencia 🖖

La potencia es el par multiplicado por la velocidad angular. Para un eje de un tamaño dado el par está limitado por la tensión que el acero puede soportar, por lo que la potencia que puede transmitir aumenta en proporción directa a lo rápido que gira. Pulsa Árbol de coche, 3000 rpm, luego Misma potencia, 300 rpm: los mismos 150 kW a una décima parte de la velocidad necesitan diez veces el par, la tensión sube a 296,29 MPa y el factor de seguridad cae de 4,87 a 0,49. Para devolver la tensión a donde estaba, y el factor de diseño con ella, el eje debe ser más grueso según la raíz cúbica de diez: 2,15 veces el diámetro. El Eje de hélice de barco es el caso extremo: 20 MW a 90 rpm se transmiten sobre una barra maciza de 650 mm de diámetro, donde la resistencia por sí sola aceptaría 531 mm; los reales se dimensionan también a flexión, fatiga y vibración. También es la razón por la que el eje de salida de una reductora, que gira lentamente, suele ser el más grueso de todos.

La torsión es cortadura, y la cortadura es tracción a 45° 🖖

Cada punto de la superficie de un eje torcido se encuentra en cortadura pura, y la tabla de resultados muestra lo que eso significa a 45° respecto al eje: una tensión principal de +τ y una de −τ, del mismo tamaño. Sigue el enlace debajo de la tabla para ver este estado en el círculo de Mohr. El mismo hecho decide por dónde se rompe un eje. El acero dulce, como cualquier metal dúctil, cede por cortadura, a través de la sección. Un material frágil como el hierro fundido cede por tracción, a lo largo de la hélice de 45°. Donde la rigidez importa más que la resistencia, el metal más ligero puede ganar: pulsa Aluminio, misma rigidez y una barra de 52,98 mm de diámetro se tuerce tanto como la de acero de 40 mm por un 60,3% de su masa.

Problema resuelto al detalle

Dimensionado de un eje de transmisión, macizo y hueco 5 pasos
Un eje de acero debe transmitir 150 kW a 3000 rpm con un factor de diseño de 2. El acero cede a 250 MPa a tracción. Encuentra el menor diámetro macizo, el menor diámetro exterior hueco con su interior al 80% del diámetro, y cuánto pesa el hueco frente al macizo. Pulsa Dimensiona un eje hueco para comprobarlo.

Abre este problema en la herramienta
1. El par se deduce de la potencia y la velocidad angular:
  
  $T = \frac{P}{ω} = \frac{150 000}{2 π \cdot 3000/60} = 477.5 N m$
2. El esfuerzo cortante admisible es el límite elástico a cortadura, el límite elástico a tracción ÷ √3, dividido por el factor de diseño:
  
  $τ_{allow} = \frac{σ _{y}}{3 n _{d}} = \frac{250}{3 \cdot 2} = 72.17 MPa$
3. Un eje macizo alcanza esa tensión en su superficie cuando:
  
  $d = 3 \frac{16 T}{π τ _{allow}} = 3 \frac{16 \cdot 477 . 5}{π \cdot 72 . 17 \times 1 0 ^{6}} = 32.30 mm$
4. Un eje hueco con un interior de 0,8 D tiene 1 − 0,8⁴ de la J del macizo con el mismo D, por lo que su diámetro exterior es el diámetro macizo dividido por la raíz cúbica de 1 − 0,8⁴:
  
  $D = \frac{d}{3 1 - 0 . 8 ^{4}} = \frac{32 . 30}{3 0 . 5904} = 38.50 mm, d_{i} = 0.8 D = 30.80 mm$
5. La masa va con el área de la sección, por lo que la proporción de las dos masas es:
  
  $\frac{m _{hollow}}{m _{solid}} = (1 - 0 . 8^{2}) (\frac{38 . 50}{32 . 30})^{2} = 0.36 \cdot 1.4208 = 51 . 2%$
Respuesta

El eje macizo necesita 32,30 mm y el hueco 38,50 mm por fuera y 30,80 mm por dentro, y el hueco pesa el 51,2% en comparación para exactamente la misma resistencia. Es un 19% más ancho, lo cual es el precio, y la razón por la que los ejes huecos aparecen donde el peso importa más que el espacio.

$d = 32.30 mm, D = 38.50 mm, 51 . 2%$

Ruta de aprendizaje

Por dónde pasa la carga

Referencias (1)

Where the four materials' modulus and yield figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specifications: EN 10025 / ASTM A36 for mild steel, AISI 4140, 6061-T6 aluminium and Ti-6Al-4V.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.