Análisis de celosías y el método de los nudos

Elige un patrón de celosía, una luz, un canto y la posición de la carga. La página resuelve cada barra mediante el método de los nudos. Marca las que no soportan carga alguna. Finalmente, muestra cómo se comportaría ese mismo puente si sus diagonales estuvieran dispuestas al revés.

Ejemplo resuelto — Análisis de celosías y el método de los nudos

Reacción en el apoyo móvil	60,00 kN
Reacción en el apoyo articulado	60,00 kN
Primera incógnita en el nudo L0: L0–U0	-69,97 kN
Segunda incógnita allí: L0–L1	+36,00 kN
Tracción máxima, en L2–L3, L3–L4	+180,00 kN
Compresión máxima, en U2–U3	-216,00 kN
Barras sin carga	0
Barras + reacciones − 2 × nudos	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Análisis de celosías y el método de los nudos

Una celosía es un armazón de barras rectas unidas por sus extremos, cargado únicamente en dichas uniones. Idealiza los nudos como articulaciones sin fricción. Así, cada barra solo podrá transmitir una fuerza a lo largo de su eje. Será tracción si tiran de ella y compresión si la empujan, sin ninguna flexión de por medio. Precisamente esto permite resolverlo todo mediante aritmética pura. En cada nudo, las fuerzas deben anularse en ambas direcciones. Esto proporciona 2j ecuaciones para m fuerzas en las barras y r reacciones. Cuando m + r = 2j, la celosía es isostática. El equilibrio por sí solo fija cada fuerza. No intervienen materiales. Tampoco ninguna rigidez ni sección transversal. El método de los nudos consiste en resolver esas ecuaciones nudo por nudo. Se empieza allá donde confluyan solamente dos incógnitas.

Qué significa cada símbolo

m: el número de barras. Cada una transmite una única fuerza incógnita a lo largo de su eje
j: el número de nudos. Cada uno aporta dos ecuaciones, una por dirección, así que el objetivo a igualar es 2j
r: el número de componentes de reacción. Aquí hay tres: dos en la articulación y una en el apoyo móvil
F: la fuerza en una barra, en kilonewtons. Un valor positivo indica tracción en toda la página, por lo que el signo es la mitad de la respuesta
θ: el ángulo que forma una diagonal con el cordón inferior. Es la única trigonometría del método

Supone: Asume nudos articulados, barras rectas y cargas aplicadas exclusivamente en las uniones. Son idealizaciones que un puente real no cumple. Las cartelas están atornilladas o soldadas y transmiten cierta flexión. Las barras tienen un peso propio que no descansa sobre un nudo. Además, un tablero reparte su carga a lo largo del cordón en lugar de concentrarla en un punto. Estos tres efectos son mínimos en una celosía bien proporcionada. Precisamente por eso, la idealización ha sobrevivido siglo y medio construyendo estructuras firmes que se mantienen en pie. El análisis también supone que la celosía no se deforma. Cada fuerza detallada aquí es la que exige el equilibrio estricto. Nada en esta página indica si el puente flecharía una magnitud aceptable.
Falla cuando: Falla en el instante en que m + r deja de ser igual a 2j. Añade una sola barra más y el equilibrio dejará de ser suficiente. Las fuerzas dependerán entonces de la rigidez de cada barra. Eso implica conocer el material y la sección transversal, con lo que todo este método deja de funcionar. Es el mismo muro contra el que chocan las Leyes de Kirchhoff cuando un circuito en puente no puede reducirse. Y la solución es idéntica: más ecuaciones obtenidas al margen del equilibrio. También falla en el sentido opuesto. Quita una barra y el armazón se convertirá en un mecanismo plegable en lugar de una estructura. La fila de isostatismo se volverá negativa. Asimismo, la idealización del nudo articulado se viene abajo si las barras son demasiado cortas y gruesas. En esos casos, el nudo es lo bastante rígido como para forzar una flexión real en ellas.

Tres de estas barras no soportan carga, y puedes identificarlas tú primero 🖖

Pulsa Misma luz, Pratt. Tres barras marcan exactamente cero: L1–U1, L3–U3 y L5–U5. No te ha hecho falta el solver para ninguna de ellas. Fíjate en el nudo U3: dos cordones superiores en línea recta y el montante vertical. Nada más tira de ese nudo. Nada puede equilibrar una fuerza en la vertical, así que la fuerza es nula. Esto se cumple sea cual sea la carga y esté donde esté. El razonamiento es idéntico para las otras dos en sus respectivos nudos inferiores. La herramienta descubre esto de dos formas totalmente distintas: a partir de las fuerzas resueltas y mirando solo el dibujo, sin aritmética alguna. Ambas respuestas coincidieron en 23 814 celosías y cargas diferentes. Y no están ahí de sobra. Una barra que hoy no lleva carga está manteniendo recta a otra que sí la lleva. Ese será el tema principal de la próxima lección.

Refleja las diagonales y las barras largas cambiarán de signo 🖖

Pulsa Misma luz, Pratt y luego Diagonales reflejadas. Nudos idénticos, mismo número de barras y misma carga. En la Pratt, las cuatro diagonales interiores (de 7,81 m cada una) sufren tracción a +93,72 kN. Los montantes cortos de 5 m absorben la compresión o no llevan carga. Si las reflejas, esas mismas cuatro barras sufren compresión a −93,72 kN, mientras que cada montante queda traccionado. Las dos diagonales de los extremos sufren compresión en ambos casos, ya que transmiten la reacción hacia arriba directamente a la celosía. No hay forma de evitarlo. La magnitud de la fuerza nunca ha cambiado, solo el signo. Esto importa. Una barra larga sometida a compresión pandea bajo una carga que no tiene nada que ver con la resistencia de su acero. En cambio, a una barra traccionada le da igual su longitud. Por esa razón, una celosía ferroviaria de acero casi siempre es Pratt. Y por eso mismo, una de madera, donde las uniones funcionan mejor a compresión, suele ser Howe.

Este mismo cambio traslada 72 kN entre los dos cordones 🖖

También altera los cordones. Y merece la pena seguir el razonamiento. En la Pratt, el cordón inferior soporta +144,00 kN y el superior −216,00 kN. En la Howe se invierten a +216,00 y −144,00. Corta la celosía entre el tercer y el cuarto nudo y verás tres barras cruzando el corte: un cordón, otro cordón y una diagonal. Toma momentos respecto al punto donde se cruzan las otras dos. Así obtendrás directamente la fuerza del cordón restante. En la Pratt, la diagonal va de U2 bajando hasta L3. Por tanto, se cruza con el cordón superior en U2, a doce metros del apoyo. Si la reflejas, subirá desde L2 hasta U3 y cruzará el cordón superior en U3, a dieciocho metros de distancia. Misma reacción. Mismo canto. Un brazo de palanca de 12 m frente a uno de 18 m: 60 × 12 ÷ 5 = 144 frente a 60 × 18 ÷ 5 = 216.

Problema resuelto al detalle

Resolver el primer nudo a mano y saltarse cinco de ellos 6 pasos
Una celosía Pratt de 36 m, con 5 m de canto, seis tramos y 120 kN aplicados en el centro. Halla la fuerza en las dos barras que confluyen en el apoyo izquierdo. Después, encuentra la fuerza del cordón inferior en el centro de la luz sin resolver los cuatro nudos intermedios. Pulsa Misma luz, Pratt para seguir los pasos.

Abre este problema en la herramienta
1. La carga está en el centro, así que las dos reacciones se la reparten a partes iguales. El patrón del alma no influye en este paso.
  
  $R_{A} = R_{B} = \frac{120}{2} = 60 kN$
2. Empieza por el nudo L0. Es el único de toda la celosía con apenas dos barras incógnitas. En todos los demás hay tres, por lo que el método no tiene por dónde empezar. La diagonal sube 5 m a lo largo de 6 m, de modo que sin θ = 0,6402 y cos θ = 0,7682.
  
  $sin θ = \frac{5}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.6402, cos θ = \frac{6}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.7682$
3. El equilibrio vertical en L0 solo incluye la reacción y la diagonal. El cordón inferior es horizontal y no interviene.
  
  $Σ F_{y} = 0 : 60 + F_{1} sin θ = 0$
4. El signo es la respuesta. Un valor negativo indica que la barra empuja al nudo, por lo que L0–U1 trabaja a compresión con 93,72 kN.
  
  $F_{1} = - \frac{60}{0 . 6402} = - 93.72 kN$
5. Plantea ahora el equilibrio horizontal en el mismo nudo, ya conociendo la fuerza de la diagonal. El cordón inferior resulta positivo, lo que indica tracción.
  
  $Σ F_{x} = 0 : F_{2} + F_{1} cos θ = 0 \Rightarrow F_{2} = 93.72 \cdot 0.7682 = + 72.00 kN$
6. Podrías repetir esto once veces más. En lugar de hacerlo, corta la celosía entre el tercer y el cuarto nudo y toma momentos respecto a U2, justo donde confluyen las dos barras que no te interesan. Así despejarás el cordón inferior de un plumazo sin haber tenido que resolver los cuatro nudos intermedios.
  
  $Σ M_{U_{2}} = 0 : 60 \cdot 12 = F_{L_{2} L_{3}} \cdot 5 \Rightarrow F_{L_{2} L_{3}} = + 144.00 kN$
Respuesta

L0–U1 a −93,72 kN y L0–L1 a +72,00 kN. El cordón inferior central se sitúa en +144,00 kN con una sola ecuación de momentos. Ambos métodos no compiten entre sí. Los nudos son sistemáticos y te lo dan todo. Las secciones te dan una barra y lo resuelven en un solo paso. Un ingeniero dimensionando un puente busca una barra concreta, la más crítica, y recurre a un corte. El último paso también revela de dónde sale el 144. Son 60 kN de reacción por un brazo de doce metros, dividido todo por los cinco metros de canto. Reduce el canto a la mitad y el valor se duplicará. Este es el ajuste más rebajado de la página. Es la razón por la que un puente largo necesita un gran canto.

$F_{1} = - 93.72, F_{2} = + 72.00, F_{L_{2} L_{3}} = \frac{60 \cdot 12}{5} = + 144.00 kN$

Ruta de aprendizaje

Por dónde pasa la carga

Referencias (2)

Where the counting rule on this page comes from. Maxwell gives the condition a frame must satisfy for equilibrium alone to fix every force — the m + r = 2j the results table prints as a row: J. Clerk Maxwell, "On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 27(182), 1864, pp. 294-299. DOI 10.1080/14786446408643668
A standard statics text for the method of joints and the zero-force member rules the page claims a reader can apply by eye. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 14th ed. Pearson, 2016. ISBN 978-0-13-391892-6.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.