Celosía hiperestática y la barra redundante

Cuelga una carga de tres barras o de dos. Elige los materiales y las áreas, calienta una barra o deja que ceda un anclaje, y aumenta la carga hasta que las barras plastifiquen. La tabla debajo del dibujo hace los cálculos en el mismo orden en que los harías a mano.

Ejemplo resuelto — Celosía hiperestática y la barra redundante

Grado de hiperestaticidad	1
Rigidez de barra central	50,000 kN/mm
Rigidez de barra exterior	35,355 kN/mm
Rigidez del nudo K_xx	35,355 kN/mm
Rigidez del nudo K_xy	0,000 kN/mm
Rigidez del nudo K_yy	85,355 kN/mm
Vector de carga R_x	0,000 kN
Vector de carga R_y	+150,000 kN

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Celosía hiperestática y la barra redundante

Una estructura es isostática cuando las ecuaciones de equilibrio bastan para fijar cada fuerza en ella, e hiperestática cuando tiene más fuerzas desconocidas que ecuaciones. El excedente es el grado de hiperestaticidad y cada elemento sobrante se llama redundante. Las ecuaciones que faltan provienen de la compatibilidad: los elementos están unidos, por lo que sus alargamientos tienen que encajar en un único desplazamiento del nudo. El alargamiento de un elemento elástico es su fuerza dividida por su rigidez k = EA ÷ L, más lo que le aportaría un cambio de temperatura por sí solo. Así es como los materiales entran en un cálculo que la estática no podría terminar por su cuenta.

Qué significa cada símbolo

k: la rigidez axial de una barra, EA ÷ L, en kN por mm. La fuerza necesaria para estirarla un milímetro
Δ: el alargamiento de una barra a lo largo de su propio eje, en mm. La compatibilidad es una afirmación sobre estos alargamientos
N_y: la fuerza de fluencia de una barra, su área multiplicada por su límite elástico. No soporta más que esto por mucho que se estire
P_y: la carga a la que cede la primera barra. Depende de las rigideces y de cualquier tensión residual
P_c: la carga de colapso, en la que ceden también las barras que seguían siendo elásticas. La da únicamente la estática

Falla cuando: Suponemos que las barras continúan estirándose después de ceder. El acero dulce lo hará multiplicando con creces su deformación de fluencia, y eso es lo que permite aprovechar la reserva del primer bloque. Una barra de hierro fundido, o cualquier barra frágil que se rompa cerca de la primera fluencia, no redistribuye nada, y para ella la carga de colapso es la carga de primera fluencia, igual que en la celosía de dos barras.

Quita la barra central y la primera plastificación será el colapso 🖖

Pulsa Acero, tres barras y sube la carga. La barra central cede primero a los 213,39 kN y nada se cae. Sigue soportando 125 kN mientras se estira. Las dos barras exteriores asumen cada kilonewton que añadas a partir de ahí y la celosía solo colapsa a los 301,78 kN. Ahora pulsa Sin barra central. Ambas barras alcanzan la fluencia juntas a los 176,78 kN y no hay una tercera barra a la que pasarle la carga. Con barras iguales a 45°, la carga de colapso de la celosía de tres barras es exactamente √2 veces su carga de primera fluencia. La fila de reserva lo muestra como 1,414. En la celosía de tres barras, la fluencia es una advertencia; en la de dos, es el final.

Una tarde cálida induce 19,88 kN en una celosía descargada 🖖

Pulsa Calentada, sin carga. No hay ningún peso y la barra central está 40 K más caliente que las otras dos. Si estuviera libre, crecería 0,960 mm. Las barras exteriores no dejarán que el nudo baje tanto. Por eso, la barra central sufre una compresión de 19,88 kN y cada barra exterior recibe una tracción de 14,06 kN, mucho antes de que cuelgues nada de la estructura. Luego pulsa Dos barras, una calentada: aplícale esos mismos 40 K a una barra de la celosía de dos. Verás que cada barra soporta 106,07 kN en frío o en caliente, de forma idéntica hasta el último dígito. Dos ecuaciones fijaron esas dos fuerzas y la temperatura no asoma por ninguna de ellas; el nudo, simplemente, se mueve. Ese es el precio de la reserva del primer bloque. Las fuerzas en una estructura hiperestática dependen de sus rigideces, su temperatura y los asientos de sus apoyos. En una estructura isostática dependen únicamente de la carga y la geometría. Dos resistencias en paralelo chocan de frente contra el mismo muro: la conservación dicta que sus corrientes se suman y solo las resistencias deciden cómo se reparte esa corriente. El puente de Wheatstone de la página de Kirchhoff es el circuito donde ya no quedan atajos en serie o en paralelo para esconder este hecho.

El calor desplaza la primera plastificación y deja el colapso donde estaba 🖖

Quédate con las tres barras y mueve el control de temperatura. Si enfrías la barra central 100 K, ya estará traccionada antes de que llegue ninguna carga. Cederá primero a los 128,54 kN. Caliéntala 100 K y la carga tendrá que deshacer una compresión antes de poder estirar la barra, por lo que la primera fluencia se retrasa hasta los 298,24 kN. La carga de colapso es de 301,78 kN en ambos casos, y lo será con cualquier temperatura y asiento que permitan los controles siempre y cuando no cambies nada más. Bajo una carga vertical, las tres barras alcanzan sus fuerzas de fluencia al colapsar sin importar cómo llegaron allí. La estática por sí sola fija la carga que las equilibra. Una tensión residual decide cuándo cede la primera barra, pero no tiene voz ni voto en el momento en que la estructura se viene abajo. Por esto mismo puedes diseñar un pórtico de acero dúctil para el colapso sin necesidad de conocer las tensiones que dejaron el montaje o los asientos. Exige barras capaces de estirarse mucho tras ceder. Una barra frágil que se rompe en la primera fluencia se lleva la reserva por delante.

Problema resuelto al detalle

Tres tirantes soportando una carga colgante 7 pasos
Una carga de 150 kN cuelga de tres tirantes de acero de 500 mm²: uno vertical de 2 m de largo y dos a 45° a cada lado, todos fijados a la misma viga. Calcula la fuerza en cada tirante, la carga con la que cede el primero y la carga a la que cede todo el conjunto. Toma E = 200 GPa y un límite elástico de 250 MPa. Pulsa Acero, tres barras para comprobar cada cifra.

Abre este problema en la herramienta
1. Primero la estática. Por simetría, las dos fuerzas exteriores son iguales, por lo que el equilibrio horizontal se cumple solo. Solo nos queda la ecuación vertical, que contiene dos incógnitas:
  
  $N_{c} + 2 N_{o} cos 4 5^{\circ} = 150 kN$
2. La tercera ecuación es la compatibilidad. Supón que el nudo baja una distancia v. El tirante central se estira v y cada tirante exterior se estira la parte de v que recae sobre él:
  
  $Δ_{c} = v, Δ_{o} = v cos 4 5^{\circ}$
3. La rigidez de cada tirante es EA ÷ L. Los tirantes exteriores son √2 veces más largos, así que son más flexibles:
  
  $k_{c} = \frac{E A}{L} = \frac{200 \times 1 0 ^{9} \cdot 500 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 50.000 kN/mm, k_{o} = \frac{E A cos 4 5 ^{\circ}}{L} = 35.355 kN/mm$
4. La rigidez vertical del nudo suma el tirante central a la contribución vertical de los dos exteriores, y el descenso viene dado por:
  
  $K_{y y} = k_{c} + 2 k_{o} cos^{2} 4 5^{\circ} = 50.000 + 35.355 = 85.355 kN/mm, v = \frac{150}{85 . 355} = 1.7574 mm$
5. Multiplica cada rigidez por el alargamiento de su tirante. Las dos fuerzas cumplen la ecuación de equilibrio vertical. Esa es la comprobación:
  
  $N_{c} = 50.000 \cdot 1.7574 = 87.87 kN, N_{o} = 35.355 \cdot 1.7574 \cdot 0.7071 = 43.93 kN$
6. Todas las fuerzas son proporcionales a la carga mientras los tirantes se mantengan elásticos. El tirante central alcanza primero su fuerza de fluencia de 500 mm² × 250 MPa = 125 kN, así que escala la carga hasta que lo logre:
  
  $P_{y} = 150 \cdot \frac{125}{87 . 87} = 213.39 kN$
7. A partir de ahí, el tirante central soporta 125 kN y los exteriores asumen el resto hasta alcanzar también sus 125 kN. Con todas las fuerzas conocidas, el equilibrio vertical nos da la carga de colapso:
  
  $P_{c} = N_{y} + 2 N_{y} cos 4 5^{\circ} = 125 + 2 \cdot 125 \cdot 0.7071 = 301.78 kN$
Respuesta

Los tirantes soportan 87,87 kN en el centro y 43,93 kN en cada exterior. El central cede primero a los 213,39 kN y el conjunto no colapsa hasta los 301,78 kN. Fíjate en qué pasos necesitaron las rigideces. El reparto de los 150 kN y la carga de primera fluencia sí las necesitaron en los pasos 2 a 5. La carga de colapso, no: el paso 7 es la ecuación del paso 1 con cada tirante en su fuerza de fluencia, y la E no asoma por ninguna parte.

$N_{c} = 87.87, N_{o} = 43.93, P_{y} = 213.39, P_{c} = 301.78 kN$

Ruta de aprendizaje

Por dónde pasa la carga

Referencias (3)

The three-bar truss is the textbook's own first example of a problem statics cannot finish, and this page's closed form for it is the one check:compute asserts against the stiffness solution: S. Timoshenko, Strength of Materials, Part I: Elementary Theory and Problems, 3rd ed. D. Van Nostrand, New York, 1955. The chapter on statically indeterminate problems in tension and compression.
Insight 3 is the plastic theorems at work: a self-stress from heat or settlement moves the first yield and not the collapse load. A modern account of compatibility, the plastic theorems and why an elastic solution is fragile where a collapse load is not: J. Heyman, Basic Structural Theory. Cambridge University Press, 2008. DOI 10.1017/cbo9780511754487
Where the four materials' stiffness, yield and expansion figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, or a design code such as EN 1993-1-1 for structural steel and EN 1999-1-1 for aluminium.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.