Leyes de Kirchhoff y el puente de Wheatstone

Configura una fuente, cuatro brazos y un detector. La página resuelve el puente de la única forma posible (dos ecuaciones de nodo) y muestra qué lee el detector, dónde está el punto de equilibrio y por qué ni la fuente ni el detector aparecen en él.

Ejemplo resuelto — Leyes de Kirchhoff y el puente de Wheatstone

Potencial en C, por su ecuación de nodo	6,6667 V
Potencial en D, por su ecuación de nodo	6,6667 V
Voltaje en el detector	0,0000 mV
Corriente por el detector	0 A
Distancia al equilibrio, como R₁R₄ − R₂R₃	0,00
Valor que debería tener R₄	300,0000 Ω
Corriente de la fuente	0,055556 A
Corriente sin cuadrar en ambos nodos	5,90 × 10⁻¹⁷ A

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Leyes de Kirchhoff y el puente de Wheatstone

Dos leyes de conservación, y todo en esta página se deduce de ellas. La ley de corrientes de Kirchhoff afirma que las corrientes que llegan a un nodo suman lo mismo que las que salen, porque la carga no se acumula en ninguna parte. La ley de voltajes de Kirchhoff afirma que los cambios de voltaje en cualquier malla cerrada suman cero, porque una carga devuelta a donde empezó no ha ganado nada. Aplicadas a un circuito con n potenciales de nodo desconocidos, dan n ecuaciones, y eso basta sin importar la forma. Un puente de Wheatstone es el circuito más pequeño donde las necesitas: cuatro brazos entre una fuente y un detector que cruza por el medio, equilibrado cuando R₁/R₂ = R₃/R₄.

Qué significa cada símbolo

E: la fuente, en voltios. Fija cada corriente en el circuito y no aparece en ningún lado en la condición de equilibrio
V_C: el potencial en el punto medio izquierdo, en voltios. Una de las dos incógnitas, y la ecuación de nodo allí es una de las dos ecuaciones
V_D: el potencial en el punto medio derecho. La otra incógnita
I_g: la corriente del detector, en amperios. Positiva cuando va de C a D; cero, y solo cero, en el equilibrio
R_g: la resistencia del propio detector, en ohmios. Cambia cuánta corriente fluye cuando el puente está desequilibrado, pero no dónde está el equilibrio

Supone: Cables ideales, resistencias lineales, corriente continua constante y una fuente sin resistencia interna propia. La página anterior dedicó toda su extensión a decir que esto último nunca es cierto. Esa suposición resulta inofensiva aquí por la razón que motiva esta página: una resistencia interna se coloca en serie con la fuente, cambia cada corriente en el circuito y no mueve el punto de equilibrio en absoluto. El detector se trata como una resistencia simple. Un galvanómetro de bobina móvil lo es; uno electrónico moderno, no.
Falla cuando: En corriente alterna, donde un brazo tiene reactancia además de resistencia y el equilibrio necesita dos condiciones en lugar de una (magnitud y fase). Para eso sirve un puente de impedancias. En cualquier cosa no lineal: un diodo o un filamento de lámpara en un brazo no tiene una sola resistencia que poner en la proporción. Y en la cuestión de la precisión, de una forma que vale la pena mencionar: la medida de un puente solo es tan buena como los tres brazos que crees conocer, porque R₃ = R₁R₄/R₂ hereda los errores de los tres. El detector no aporta nada a la precisión en absoluto. Solo tiene que distinguir el cero del no cero. Eso es un instrumento mucho más fácil de construir que uno que mide.

Cinco resistencias, y no hay dos en serie 🖖

Aquí se aplica todo lo que enseñaron las tres últimas páginas. Mira el circuito: el nodo C tiene tres cables conectados (R₁, R₂ y el detector). Un par en serie necesita una unión que no toque nada más, así que R₁ y R₂ no están en serie. El nodo D es igual. Tampoco hay dos de las cinco que compartan ambos extremos, por lo que no hay nada en paralelo. Las reglas de combinación no tienen de dónde tirar. Ahora pulsa Sin detector: sin el galvanómetro, el nodo C tiene dos cables y la herramienta registra R₁+R₂ y R₃+R₄ de inmediato. El puente es irreductible debido al detector. Por ese mismo motivo se coloca uno ahí. Lo que termina el trabajo en su lugar son dos leyes de conservación (carga en un nodo, energía en una malla) y dos ecuaciones con dos incógnitas.

El cero sigue siendo cero haga lo que haga la batería 🖖

Pulsa Equilibrado y lee la columna del detector en la tabla de abajo. Es cero a 1 V y a 100 V; es cero con un detector de 5 Ω y con uno de 500 Ω. La corriente de la fuente en la siguiente columna va de 0,005556 A a 0,555556 A a través de esas mismas seis filas. Es un factor de cien, y el cero no se mueve. Eso es lo que convierte a un puente en un instrumento en lugar de un cálculo. Las dos cantidades más difíciles de precisar (cuánto entrega realmente la fuente y cuánto carga el medidor al circuito) desaparecen en una lectura de cero. Un óhmetro tiene que conocer ambas y solo es tan bueno como las conozca.

Solo importa la proporción, así que elige brazos que te convengan 🖖

El equilibrio es R₁/R₂ = R₃/R₄, y no entra en juego nada más sobre las cuatro resistencias. Pulsa Equilibrado, luego Brazos por diez: R₁ y R₂ pasan de 100 y 200 Ω a 1.000 y 2.000. El detector sigue leyendo 0 A y la corriente de la fuente cae de 0,055556 A a 0,025556 A. La misma medida, menos de la mitad de corriente. Para eso sirve un brazo de proporción. Elige el par que se adapte a la corriente que te sobre o al calentamiento que puedas tolerar, y la incógnita saldrá igual de ambas maneras.

Problema resuelto al detalle

Medir una resistencia cuyo valor no puedes leer 6 pasos
R₃ es desconocida. R₁ = 100 Ω y R₂ = 200 Ω son patrones con una precisión del 0,01 %, y R₄ es una caja de décadas que giras hasta que el detector lee cero. Se anula en R₄ = 300,0000 Ω. Halla R₃ y di con cuánta precisión la conoces.

Abre este problema en la herramienta
1. En el cero no cruza ninguna corriente por el detector, así que C y D están al mismo potencial. Ese es el único dato que necesita todo el método.
  
  $I_{g} = 0 ⟹ V_{C} = V_{D}$
2. Sin corriente a través de R_g, R₁ y R₂ forman un simple divisor de dos resistencias, al igual que R₃ y R₄. Cada punto medio equivale a la fuente multiplicada por su brazo inferior sobre el par.
  
  $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
3. Iguala los dos puntos medios y la fuente se cancela de ambos lados al instante.
  
  $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
4. Multiplica en cruz y se colapsará en un producto de pares: R₁R₄ = R₂R₃.
  
  $R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} = R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} ⟹ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$
5. Por tanto, R₃ = R₁R₄/R₂ = 100 × 300,0000 ÷ 200 = 150,0000 Ω. Vuelve a leer lo que hay en esa línea. Son tres resistencias y nada más. Ni voltaje de la fuente, ni resistencia del detector, ni corriente.
  
  $R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = \frac{100 \cdot 300 . 0000}{200} = 150.0000 Ω$
6. Ahora la precisión, que es la parte que los libros de texto omiten. Los errores fraccionarios se suman a través de un producto y un cociente, por lo que R₃ carga con los errores de los tres brazos conocidos y ninguno del detector.
  
  $\frac{Δ R _{3}}{R _{3}} \leq \frac{Δ R _{1}}{R _{1}} + \frac{Δ R _{4}}{R _{4}} + \frac{Δ R _{2}}{R _{2}} = 3 \times 0 . 01% = 0 . 03%$
Respuesta

R₃ = 150,0000 Ω, con una precisión cercana al 0,03 %. Los tres patrones tienen un error del 0,01 % cada uno y sus errores fraccionarios se suman en el peor de los casos. El detector no aporta nada porque nunca se le pidió una cifra, solo la diferencia entre el cero y el no cero. Ese es el intercambio sobre el que se asienta todo el instrumento. Por eso un puente superó a cualquier método directo durante siglo y medio: resulta mucho más fácil construir algo que detecte cuándo no hay corriente que algo que te diga con precisión cuánta hay.

$R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = 150.0000 Ω \pm 0 . 03%$

Ruta de aprendizaje

Lo que la ley de Ohm deja fuera

Referencias (3)

The laws themselves, published while Kirchhoff was still a student. The paper is about current spreading through a plane conductor; the two rules this page uses are stated on the way: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The bridge, from the Bakerian Lecture that made it famous — and in which Wheatstone credits Christie rather than claiming it: C. Wheatstone, "XIII. The Bakerian lecture. — An account of several new instruments and processes for determining the constants of a voltaic circuit." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133, 1843, pp. 303-327. DOI 10.1098/rstl.1843.0014
Christie's paper of ten years earlier, where the diamond of four resistances and a null detector appears first. The bridge carries the wrong name and has done since 1843: S. H. Christie, "VIII. The Bakerian Lecture. — Experimental determination of the laws of magneto-electric induction in different masses of the same metal, and of its intensity in different metals." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123, 1833, pp. 95-142. DOI 10.1098/rstl.1833.0011

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.