Resistencia y resistividad de conductores

Elige un material, una longitud, un grosor y una temperatura. La página calcula la resistencia de ese cable, la caída de tensión y el calor disipado con la corriente que indiques, así como el peso de la misma instalación usando otros seis metales.

Ejemplo resuelto — Resistencia y resistividad de conductores

Sección transversal	1,5001 mm²
Resistividad a esta temperatura	1,68 × 10⁻⁸ Ω·m
Resistencia total	2,2399 Ω
Resistencia por metro	1,12 × 10⁻² Ω/m
Caída de tensión	19,478 V
Potencia disipada en calor	169,4 W
Resistencia ÷ su valor a 20 °C	1,0000
Peso del conductor	2,688 kg

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Resistencia y resistividad de conductores

La resistencia de un cable es R = ρL/A. Es la resistividad ρ de su material multiplicada por su longitud y dividida por su sección transversal. La resistividad se mide en ohmios-metro y es una propiedad exclusiva de la sustancia. El cobre tiene 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m tanto en un hilo ultrafino como en una barra colectora. La forma del cable se concentra totalmente en L y A. El área se relaciona con el diámetro mediante un cuadrado, A = πd²/4, por lo que el grosor cuenta doble. La resistividad en sí varía con la temperatura, y esta página emplea la forma de primer orden ρ(T) = ρ₂₀(1 + α(T − 20)).

Qué significa cada símbolo

ρ: resistividad en ohmios-metro. Es una propiedad del material y de nada más. La forma del cable no influye
L: longitud del conductor en metros. En un cable esto implica la ida Y la vuelta, que es el detalle crucial del problema resuelto
A: sección transversal en m². Es πd²/4 para un cable redondo, así que duplicar el diámetro divide la resistencia por cuatro
α: coeficiente de temperatura por kelvin. Ronda 0,004 para un metal puro y es diez veces menor para una aleación resistiva
R: resistencia de ese trozo de cable en particular, en ohmios: la única magnitud aquí presente que depende de todas las demás

Supone: Se asume corriente continua, un conductor de un solo material con la misma sección circular en toda su longitud y una resistividad que sigue una línea recta pasando por su valor a 20 °C. Las cifras corresponden a metales puros recocidos. El cable comercial contiene aleaciones, se endurece por deformación y presenta una resistividad unos puntos porcentuales mayor. Además, el nicromo es una familia de composiciones y no una sola, así que considera sus 1,10 × 10⁻⁶ Ω·m como el valor central de un rango. La columna de masa corresponde únicamente al conductor, sin aislamientos, sin alma de acero y sin la flecha de la catenaria.
Falla cuando: El modelo falla lejos de los 20 °C, que es el límite real de esa línea recta. Si lo extrapolas al filamento de una bombilla a 2.800 °C, dará 13,5 veces la resistencia a temperatura ambiente. La cifra real del wolframio es aún mayor. Precisamente por eso Resistencias en serie y paralelo explica que un filamento conduce mejor en frío que en caliente y no proporciona un número exacto para ello. La fórmula se rompe en cuatro situaciones más. La corriente alterna empuja la carga hacia la superficie, por lo que un conductor grueso deja de usar su centro y el área efectiva es menor a πd²/4. Los semiconductores y el carbono tienen el coeficiente invertido y conducen mejor al calentarse. Un superconductor reduce ρ a cero, momento en el que R = ρL/A deja de tener sentido. Finalmente, en los extremos de cualquier cable real existe una resistencia de contacto que pertenece a la unión y no al metal. Esto es lo que realmente quema una conexión floja.

Solo un metal de aquí pesa menos que el cobre 🖖

El aluminio es peor conductor (1,577 veces la resistividad del cobre), por lo que igualar un cable de cobre exige un 57,7% más de sección transversal y un hilo un 25,6% más grueso. Luego, pésalo. El aluminio es 3,32 veces menos denso, y 1,577 ÷ 3,32 da 0,475: la misma resistencia, la misma longitud, a un 47,5% del peso. Lee la última columna de la tabla inferior y busca un número menor que 1. Hay uno. La plata conduce mejor que el cobre y aun así resulta más pesada; lo mismo ocurre con el oro, el wolframio, el hierro y el nicromo. Esa única proporción explica por qué cada línea aérea bajo la que has conducido es de aluminio, y por qué el cobre se queda en interiores, donde nada tiene que sostenerlo.

Diez veces el voltaje, la centésima parte de calor 🖖

Pulsa Línea aérea: 100 km de aluminio de 400 mm², 6,6248 Ω. Envía 100 MW a través de ella. La corriente es la potencia dividida por el voltaje y las pérdidas son I²R, así que estas disminuyen con el cuadrado de la tensión. A 400 kV la línea transporta 250 A y disipa 0,414 MW, un 0,414 % de lo enviado. A 40 kV lleva 2.500 A y pierde 41,4 MW. A 10 kV las matemáticas exigen 662,5 MW a una línea que entrega 100. Es su forma de decirte que la línea sencillamente no puede hacer el trabajo. El cable no ha cambiado en absoluto durante el proceso. Solo ha cambiado el número en la subestación.

El nicromo apenas nota el calor, pero el cobre sí 🖖

Pulsa Alargador de 100 m y luego El mismo, caliente. Solo varía la temperatura, y la resistencia pasa de 2,2399 Ω a 2,9639 Ω. Los 169,4 W que perdía se convierten en 224,1 W. Entre 0 °C y 100 °C, el cobre aumenta su resistencia un 44,0 %. El nicromo, en esos mismos cien grados, sube apenas un 4,0 %. Es una curva once veces más plana y la verdadera razón de ser de esta aleación, ya que un elemento calefactor debe ponerse al rojo vivo mientras sigue consumiendo la corriente exacta para la que fue diseñado. El segundo panel pone los siete metales lado a lado, cada uno frente a su valor a 20 °C, para que lo único que quede por comparar sea la pendiente.

Problema resuelto al detalle

Un calefactor de 2 kW al final de 100 metros de cable 6 pasos
Un calefactor de 2 kW se conecta a una red de 230 V mediante un alargador de 100 m con cable flexible de cobre de 1,5 mm². Calcula cuántos de esos 2 kW llegan realmente al calefactor antes de seguir leyendo. Pulsa Alargador de 100 m para ver la primera mitad del problema en la herramienta.

Abre este problema en la herramienta
1. La etiqueta indica 1,5 mm², la sección de un solo conductor. Su diámetro es de 1,382 mm, y el área que muestra la herramienta alcanza los 1,5001 mm².
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot 1 . 38 2 ^{2}}{4} = 1.5001 m m^{2} = 1.5001 \times 1 0^{- 6} m^{2}$
2. Casi todo el mundo pasa por alto un detalle: un alargador de 100 m transporta la corriente 100 m de ida y 100 m de vuelta, por lo que el conductor mide 200 m en total.
  
  $L = 2 \times 100 = 200 m$
3. Al aplicar ρL/A con el cobre a 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m, la resistencia resultante es de 2,2399 Ω.
  
  $R = \frac{ρ L}{A} = \frac{1 . 68 \times 1 0 ^{- 8} \cdot 200}{1 . 5001 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.2399 Ω$
4. Usa la corriente que sugiere la potencia del calefactor, 8,696 A. Esto provocaría una caída de 19,478 V a lo largo del cable y dejaría 169,4 W en él. Estas son las dos cifras que muestra la herramienta.
  
  $I = \frac{2000}{230} = 8.696 A \Rightarrow V = 19.478 V, P = I^{2} R = 169.4 W$
5. Sin embargo, esa corriente es incorrecta. La razón la vimos en la lección anterior: el cable y el calefactor están en serie, así que la red eléctrica alimenta a ambos. Un calefactor de 2 kW a 230 V tiene 26,45 Ω. El conjunto suma 28,6899 Ω, y la corriente real es de 8,0168 A.
  
  $R_{load} = \frac{23 0 ^{2}}{2000} R_{load} + R_{lead} I = \frac{230}{28 . 6899} 26.45 Ω 28.6899 Ω 8.0168 A$
6. Vuelve a calcular ambas cifras con la corriente real. El calefactor recibe 212,04 V y entrega 1.699,9 W. El cable se queda con 144,0 W.
  
  $V_{load} = I R_{load} P_{load} = I^{2} R_{load} P_{lead} = I^{2} R_{lead} 212.04 V 1, 699.9 W 144.0 W$
Respuesta

El calefactor entrega 1.699,9 W de sus 2.000, por lo que 300,1 W de calor simplemente no llegan a existir. Solo 144,0 W de esa diferencia están calentando el cable. Los otros 156,1 W ni siquiera salen de la red eléctrica, ya que el calefactor es una resistencia y, a 212 V, consume menos corriente que a 230 V. Esta es la parte donde el cálculo inocente se equivoca a nuestro favor, exagerando la corriente y sobreestimando la pérdida en el cable un 18 %. El peligro real que subestima está en otra parte: en los 144 W encerrados dentro de un carrete enrollado sin tener por dónde escapar.

$\frac{1 , 699 . 9}{2 , 000} = 0.84992, 000 - 1, 699.9 = 300.1 W$

Ruta de aprendizaje

Lo que la ley de Ohm deja fuera

Referencias (3)

Where the resistivity of an element and its temperature dependence are tabulated. This is the source for the SHAPE of what this page computes; the figures it prints are the standard handbook set, and the note below says so: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723
The combination rules and the three forms of resistive power the last two steps of the worked problem use. Cited on Ohm's Law and on Resistors in Series and Parallel as well, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Insight block 1 as a live engineering decision rather than a physics exercise. Modern overhead lines trade the same two properties this page divides against each other, and the paper costs out the result on ultra-high-voltage spans: Y. Zhang, H. Sun, X. Zhang, Z. Chen, L. Zhou and X. Huang, "Economic analysis of aluminium conductor composite core and conventional aluminium conductor steel reinforced conductors in overhead ultra-high voltage transmission lines." IET Generation, Transmission & Distribution 17(5), 2023, pp. 1098-1110. DOI 10.1049/gtd2.12719

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.