Círculo de Mohr y tensión en un plano inclinado

Establece las tres tensiones en un punto y gira el elemento. El círculo muestra todos los planos a la vez: dónde alcanza su máximo la tensión normal, dónde lo hace el cortante y el círculo a través del espesor que la representación en el plano omite. La tabla debajo del dibujo calcula cada valor.

Ejemplo resuelto — Círculo de Mohr y tensión en un plano inclinado

Centro del círculo	20,00 MPa
Semidiferencia	30,00 MPa
Radio	50,00 MPa
Tensión principal σ1	70,00 MPa
Tensión principal σ2	−30,00 MPa
Producto tensiones principales	−2100,00 MPa²
Ángulo principal θp	26,57°
Plano de σ2	−63,43°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Círculo de Mohr y tensión en un plano inclinado

La tensión que actúa sobre un plano a través de un punto depende del plano que cortes. En dos dimensiones la describen tres números, σx, σy y τxy, y al girar el plano un ángulo θ se obtienen nuevos valores mediante las ecuaciones de transformación. El círculo de Mohr los dibuja todos a la vez. Cada plano es un punto (σ, τ) en un círculo centrado en (σx + σy) ÷ 2 con radio R = √(((σx − σy) ÷ 2)² + τxy²), y girar el plano un ángulo θ mueve su punto 2θ alrededor del círculo. Donde el círculo cruza el eje σ se encuentran las tensiones principales σ1 y σ2, en planos que no soportan cortante; sus puntos más alto y más bajo representan el cortante máximo en el plano, R, en planos a 45° respecto a ellos.

Qué significa cada símbolo

σ1: la mayor tensión principal en el plano, C + R. La máxima tensión normal en cualquier plano perpendicular a la página
σ2: la menor tensión principal en el plano, C − R. Su plano forma ángulo recto con el de σ1
R: el radio del círculo y el mayor cortante en cualquier plano perpendicular a la página
θp: el ángulo desde el eje x hasta el plano de σ1. La mitad del ángulo entre ambos en el círculo
τ_abs: el cortante máximo absoluto, la mitad de la amplitud entre σ1, σ2 y σ3 = 0. Mayor que R siempre que σ1 y σ2 compartan signo

Falla cuando: La teoría de pared delgada omite la tensión radial, que es −p en la cara interior. Para el valor predeterminado del recipiente, σ3 es −2 MPa en ese lugar en vez de cero, y con la tensión circunferencial de pared delgada el mayor cortante en la superficie interna es de 51 MPa, no 50. Que σ3 = 0 se cumple con exactitud solo en la superficie exterior, y las propias tensiones de pared delgada son aproximaciones, con un margen de error de un 1% para una pared de este grosor.

Tira de una barra y su peor cortante estará en un plano inclinado 🖖

Pulsa Tracción uniaxial. La barra está sometida a una tracción de 100 MPa y en su sección transversal, en θ = 0, el cortante es nulo. Al girar el elemento aparece el cortante, que crece hasta θ = 45°, donde alcanza 50 MPa de magnitud, la mitad de la tracción, y vuelve a disminuir después. La tabla lo muestra como −50,00: bajo el criterio de signos, el cortante en un plano girado en ese sentido apunta en la dirección negativa. En el círculo, ese es el punto más alto o más bajo, un cuarto de vuelta desde donde empezaste, porque cada ángulo en el elemento se duplica en el círculo. Metales como el acero fluyen por dislocaciones que se deslizan a lo largo de planos de deslizamiento, lo cual es impulsado por el cortante, de modo que ceden en la inclinación: una probeta de acero traccionada hasta romperse termina en una copa y un cono cuyo borde discurre a unos 45° respecto al eje. El criterio de Tresca convierte esto en una regla. Un metal dúctil fluye cuando su mayor cortante alcanza la mitad de su límite elástico a tracción.

Tuerce una tiza y se romperá en una espiral a 45° 🖖

Pulsa Cortante puro (torsión). Un eje torcido soporta 100 MPa de cortante en su sección transversal, y girar el elemento 45° hace que el cortante desaparezca: un par de caras recibe una tracción de 100 MPa y el otro un empuje de 100 MPa. La torsión es tracción y compresión perpendiculares entre sí, dispuestas a 45° del eje, y cuál de las dos vence al material decide cómo se rompe. Pulsa Fundición en torsión. La fundición es débil a tracción, así que falla donde está la tracción, en el plano a +45°, y una barra de fundición torcida se agrieta a lo largo de una hélice a 45° respecto a su eje. Una tiza de pizarra hace lo mismo entre tus dedos. Un eje de acero, en cambio, falla por cortante, y este es mayor en la propia sección transversal, con θs = 0°, por lo que el acero se retuerce formando un corte perpendicular a la barra.

El peor cortante de un recipiente a presión no está en el círculo que dibujaste 🖖

Pulsa Pared de recipiente: 100 MPa en dirección circunferencial y 50 MPa a lo largo del eje. El círculo que pasa por esos dos valores tiene un radio de 25 MPa, y 25 MPa es el mayor cortante en cualquier plano perpendicular a la pared. La pared tiene una tercera dirección, a través de su espesor, y en la superficie exterior nada ejerce presión sobre ella, por lo que σ3 = 0. El círculo que baja de 100 a 0 es el doble de grande, y el cortante en él es de 50 MPa, en planos inclinados a través del espesor. Si compruebas el recipiente con el círculo en el plano, el coeficiente de seguridad de Tresca resulta ser 250 ÷ (2 × 25) = 5,00; el 2,50 de la página es el verdadero. La trampa se abre siempre que las dos tensiones principales comparten signo, y es más evidente en Biaxial igual, donde el círculo en el plano es un punto y ningún plano a través de la lámina soporta cortante, a pesar de que 30 MPa del mismo la atraviesan por su espesor.

Problema resuelto al detalle

Comprobación de fluencia en un recipiente a presión 5 pasos
Un cilindro de acero de 500 mm de radio con una pared de 10 mm contiene gas a 2 MPa. El acero fluye a 250 MPa. Calcula las tensiones en la pared, el mayor cortante y el coeficiente de seguridad frente a la fluencia según el criterio de Tresca. Pulsa Pared de recipiente para comprobar cada valor.

Abre este problema en la herramienta
1. La teoría de pared delgada da directamente las dos tensiones de la pared. La tensión circunferencial es el doble que la axial:
  
  $σ_{h} = \frac{p r}{t} = \frac{2 \cdot 500}{10} = 100 MPa, σ_{a} = \frac{p r}{2 t} = 50 MPa$
2. Ninguna de las dos direcciones soporta cortante, así que estas son ya las tensiones principales, y de ahí se deduce el círculo en el plano:
  
  $σ_{1} = 100, σ_{2} = 50, C = \frac{100 + 50}{2} = 75, R = \frac{100 - 50}{2} = 25 MPa$
3. El mayor cortante en cualquier plano perpendicular a la pared es el radio:
  
  $τ_{m a x, in} = R = 25 MPa$
4. En la superficie exterior nada ejerce presión sobre la pared, de modo que la tercera tensión principal es cero, y el mayor de los tres círculos va desde σ1 hasta ella:
  
  $σ_{3} = 0, τ_{abs} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{100 - 0}{2} = 50 MPa$
5. Tresca compara el doble del cortante máximo con el límite elástico:
  
  $σ_{T} = 2 τ_{abs} = 100 MPa, n = \frac{250}{100} = 2.50$
Respuesta

La pared soporta 100 MPa en dirección circunferencial y 50 MPa a lo largo del eje. El mayor cortante es de 50 MPa, a través del espesor, no los 25 MPa que muestra el círculo en el plano, y el coeficiente de seguridad de Tresca es de 2,50. Calculado solo a partir del círculo en el plano habría sido de 5,00, el doble del que tiene el recipiente.

$n = 2.50, \frac{250}{2 \cdot 25} = 5.00$

Ruta de aprendizaje

Por dónde pasa la carga

Referencias (2)

Where the circle comes from. Mohr published the graphical construction for the state of stress at a point in 1882: O. Mohr, "Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes." Zivilingenieur 28, 1882.
Where the two material values would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specification: ASTM A36 or EN 10025 S275 for structural steel, ASTM A48 for grey cast iron.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.