Arcos, cables y la línea de empuje

Pulsa Cable tipo Golden Gate. Cuelga a 164,7 mm de una parábola y a 407,7 mm de una catenaria, con una flecha de 143 m. Pulsa Cable sin tablero y el mismo cable descansa sobre la catenaria. Una cadena que solo se soporta a sí misma reparte la carga a lo largo de su propia longitud, resultando más pesada por metro de luz allí donde presenta mayor pendiente; esto genera una catenaria. Un tablero suspendido distribuye su peso uniformemente a lo largo de la luz, formando una parábola. Galileo trazaba parábolas usando cadenas colgantes, que solo las aproximan. La página de funciones hiperbólicas cuenta esa historia. El puente colgante es el caso en el que la parábola resulta ser la mejor solución. Las dos curvas distan entre sí apenas 572,4 mm con esta flecha, un 0,40% de la misma. Por este motivo el panel superior muestra una sola línea y el inferior tiene que dibujar las diferencias en milímetros. Dale al cable una flecha igual a la mitad de su luz y se separarán un 5%.

Pulsa Semicírculo, t/R 0,12. Una línea de empujes encaja dentro de la piedra, y cada arranque transmite los 94,25 kN por metro de ancho de su semiarco directamente hacia abajo sobre 0,6 m de piedra. Esto supone una media de 0,16 MPa, una fracción minúscula de lo que cualquier piedra de construcción puede soportar a compresión. Pulsa Semicírculo, t/R 0,09 y ninguna línea de empujes logrará encajar. El arco forma rótulas en la clave, en los riñones y en los arranques, y colapsa sin que se aplaste ni una sola piedra. Un arco se mantiene en pie o se cae dependiendo exclusivamente de su geometría. Con sus 40 dovelas por defecto, esta página sitúa el límite del semicírculo en t/R = 0,1075. Esta es la cifra que Milutin Milanković dedujo en sus artículos sobre la línea de empujes, publicados entre 1904 y 1910, años antes de la teoría orbital de las glaciaciones que lleva su nombre. La resistencia a compresión no interviene aquí: una piedra diez veces más resistente se cae con el mismo espesor.

Pulsa Arco catenario delgado: 0,1 m de piedra para salvar una luz de 10 m, y se mantiene en pie. Pulsa luego Arco parabólico delgado, con la misma luz, la misma flecha y el mismo espesor, y nada encaja. La catenaria funciona porque una cadena que cuelga bajo su propio peso está sometida a tracción pura en toda su longitud. Al invertirla, cada fuerza se transforma en compresión a lo largo de esa misma línea. La línea de empujes de una catenaria invertida discurre por el centro geométrico de su propia piedra, por lo que no necesita ningún espesor para contenerla. Robert Hooke se dio cuenta de esto en 1675 y lo ocultó en un anagrama: tal como cuelga el hilo flexible, así, pero invertido, se sostendrá el arco rígido. Gaudí diseñó la iglesia de la Colonia Güell, de la cual solo llegó a construirse la cripta, utilizando cordeles y saquitos de perdigones de plomo colgados de un tablero, y luego puso las fotografías boca abajo. La tabla comparativa muestra las cuatro formas. Con una flecha igual a la mitad de la luz, el arco apuntado coincide con el semicírculo, la parábola necesita 0,1444 m y el semicírculo 0,5373 m.