Explorador de Parámetros de Cónicas

Ajusta el centro, los parámetros de forma y la orientación para ver la geometría de la ecuación actualizarse en vivo.

Ejemplo resuelto — Explorador de Parámetros de Cónicas

forma estándar de la elipse	1
Centro	(0,0)
semieje mayor	4
semieje menor	3
distancia focal c	2.645751

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Solo la parábola recibe una directriz dibujada, y el vértice queda justo a medio camino 🖖

Cambia entre las preselecciones y una fila aparece únicamente en la parábola: la directriz. No es una carencia de las otras dos, es la definición. Toma parabolaRight: el vértice está en (−2, 0), el foco en (1, 0) y la directriz en x = −5, lo que deja el vértice exactamente a 3 de cada uno. Esa distancia es p, y por eso mover p separa foco y directriz de forma simétrica. Una parábola es la curva cuyos puntos equidistan de un foco y de una recta, así que la razón queda fijada en 1; la elipse y la hipérbola informan en cambio de focos desplazados en c.

De dónde viene el nombre 🖖

La palabra "cónica" es literal: si cortas un cono doble con un plano, el borde del corte es una de estas curvas. Con el plano horizontal obtienes un círculo; inclínalo un poco y sale una elipse; inclínalo hasta quedar paralelo al costado del cono y aparece una parábola; inclínalo más para cortar ambas mitades y obtienes las dos ramas de una hipérbola. Cada forma de esta herramienta es solo un ángulo de corte distinto.

El foco escondido dentro del cono 🖖

Una cónica dibujada como ecuación tiene un foco, y una cónica cortada de un cono tiene un plano de corte: parecen cosas distintas. En 1822 Germinal Dandelin demostró que son el mismo punto: encaja una esfera dentro del cono de modo que toque a la vez el cono y el plano de corte, y el punto de contacto de la esfera es exactamente el foco. En una elipse caben dos esferas así, que fijan sus dos focos.

Problema resuelto al detalle

Una elipse con semiejes 4 y 3 y focos en c = 2,6458 5 pasos
Una elipse con semiejes de 4 y 3 tiene sus focos en c = 2,6458. Deduce ese resultado y, a continuación, la propiedad que la define como elipse.
1. Las tres longitudes no son independientes. Al situarse en el extremo del eje menor, las dos distancias focales son iguales y cada una forma un triángulo rectángulo con catetos b y c e hipotenusa a; por lo que a² = b² + c², y la relación pitagórica está presente en toda elipse.
  
  $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a = 4, b = 3$
2. Al despejar c se obtiene √7. La herramienta muestra 2,645751, que es el valor de dicho radical.
  
  $a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟹ c = 16 - 9 = 7 = 2.645751$
3. La excentricidad es la razón entre c y a, y constituye el parámetro de forma: el único número que indica cuánto se aparta la curva de la circunferencia, independientemente de su tamaño.
  
  $e = \frac{c}{a} = \frac{2.645751}{4} = 0.6614$
4. De aquí se deduce la propiedad definitoria: la suma de las distancias a los dos focos es constante para todo punto e igual a 2a. Puede comprobarse en el extremo del eje mayor, donde las distancias son a − c y a + c.
  
  $r_{1} + r_{2} = 2 a = 8 for every point on the curve$
5. La excentricidad también clasifica a toda la familia. El valor cero corresponde a una circunferencia, al aproximarse a 1 se obtiene una parábola y por encima de 1, una hipérbola: la misma ecuación en todos los casos.
  
  $e \to 0 \Rightarrow circle; e \to 1 \Rightarrow parabola; e > 1 \Rightarrow hyperbola$
Respuesta

La herramienta muestra a = 4, b = 3 y c = 2,645751. La propiedad de la suma constante es la idea fundamental con la que quedarse, ya que constituye tanto la definición como el método de construcción: dos chinchetas y un bucle de cordel de longitud 2a + 2c trazan exactamente esta curva, lo cual no es un truco artesanal sino la definición llevada al plano físico. Por este motivo las órbitas son elipses con el Sol en un foco y no en el centro: la física reside en el foco, mientras que el centro es solo el punto medio del dibujo.

$c = a^{2} - b^{2} = 7, e = 0.661; r_{1} + r_{2} = 2 a defines the ellipse$

Referencias (1)

Insight block 3 — the sphere that turns a cutting plane into a focus: G. P. Dandelin, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 2, 1822.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-21

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

elipse ancha - Los semiejes 5 y 3 sitúan los focos en c = 4: dentro de la elipse aparece el triángulo 3-4-5, y la excentricidad es exactamente 0,8.
elipse alta - Es la misma elipse de 5 por 3 que la elipse ancha, pero colocada en vertical y trasladada a (-1, 1). Conserva c = 4 y la excentricidad 0,8; la orientación no altera la forma.
parábola hacia arriba - El vértice está en (0, -2), el foco en el origen y la directriz en y = -4. El vértice se encuentra a 2 unidades de ambos, que es precisamente lo que define una parábola.
parábola hacia la derecha - Como p = 3, el foco en (1, 0) y la directriz x = -5 quedan a 3 unidades del vértice, uno a cada lado. La cuerda que pasa por el foco mide 4p = 12.
hipérbola en x - Con a = 4 y b = 2 se obtiene c = 4,472136, y las asíntotas tienen pendiente 0,5. La excentricidad es 1,118034, apenas superior al 1 de la parábola.
hipérbola en y - Con a = 3 y b = 4 se obtiene c = 5, el mismo triángulo 3-4-5 que en la elipse ancha. Aquí, sin embargo, c² = a² + b², no a² = b² + c². La excentricidad es 1,666667.