Explorador de Relatividad Especial

Arrastra el control de velocidad para ver cómo el tiempo, la longitud y la masa se transforman a velocidades relativistas.

Ejemplo resuelto — Explorador de Relatividad Especial

Razón de contracción de longitud	60%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de Relatividad Especial

La relatividad especial es lo que se deduce al sostener dos afirmaciones a la vez: las leyes de la física son las mismas en todo sistema de referencia que se mueva a velocidad constante, y la velocidad de la luz es una de esas leyes. Ninguna de las dos menciona relojes ni reglas. Todo lo que hay en esta página —el tiempo estirado, la longitud acortada, los ejes inclinados— es consecuencia de negarse a renunciar a cualquiera de las dos.

Qué significa cada símbolo

β: la velocidad, escrita como una fracción de la de la luz. β = 0.8 es el valor que vale la pena memorizar: √(1 − 0.8²) = 0.6 da un resultado exacto, un triángulo 3-4-5, por lo que γ es exactamente 5/3 y la fila de la proporción muestra un limpio 60%.
γ: el factor de Lorentz. Es un número puro —sin unidades propias—, motivo por el cual el valor único 1.6667 puede actuar sobre segundos, metros y kilogramos en el mismo panel sin necesidad de convertirlos entre sí.
t₀: el tiempo propio: el intervalo registrado por un solo reloj que está presente en ambos eventos —el propio reloj del viajero. El subíndice no significa inicial. Significa medido donde el objeto está en reposo, y leerlo como "el tiempo al inicio" es la forma más común de aplicar esta fórmula al revés.
L₀: la longitud propia: medida en el sistema de referencia donde el objeto permanece quieto. Medir la longitud de un objeto en movimiento implica marcar sus dos extremos en el mismo instante —y la simultaneidad es justamente aquello en lo que dos sistemas no están de acuerdo, de ahí proviene la contracción.

De dónde viene la fórmula

Construye un reloj de luz: dos espejos separados una distancia d y un pulso rebotando entre ellos. En reposo, una ida y vuelta es un tic, t₀ = 2d/c.
Ahora deja que ese mismo reloj pase por tu lado a velocidad v. Los espejos se mueven de lado mientras el pulso está en vuelo, así que la trayectoria que ves no es la separación d sino una diagonal más larga —y el pulso la recorre de todos modos a c, porque el segundo postulado no hace excepciones con linternas en movimiento.
La diagonal, la separación y el desplazamiento lateral forman un triángulo rectángulo, por lo que (c·Δt/2)² = d² + (v·Δt/2)². Sustituye d = c·t₀/2 del paso 1.
Agrupa los términos con Δt²: Δt²(c² − v²) = c²t₀², de modo que Δt = t₀/√(1 − β²) = γ·t₀. No se presupuso nada sobre la composición del reloj —razón por la cual el mismo factor se aplica al desintegrarse un muón que a un pulso entre espejos, y para β = 0.8 es el valor de 1.6667 s mostrado arriba.

Cómo leer lo que ves

En el diagrama espaciotemporal, la línea de trazos naranja a 45° es la trayectoria de la luz. Tus ejes son el par azul; los del viajero x' y ct' son el par verde, y se inclinan hacia esa línea de 45° con el mismo ángulo desde lados opuestos —una tijera que se cierra sobre el cono de luz sin llegar a cruzarlo jamás. Observa lo que ocurre con la longitud: la longitud en reposo L₀ se dibuja a lo largo del propio eje x' del viajero, y la longitud contraída L es su sombra sobre tu eje x. Nada se comprime; un segmento se proyecta sobre una regla con una inclinación distinta. La tenue hipérbola roja que pasa por el evento es la curva de calibración —cada punto en ella está al mismo tiempo propio desde el origen, que es como comparas las marcas de graduación entre dos sistemas de referencia cuyos ejes tienen escalas distintas.

Supone: Solo sistemas inerciales: una velocidad relativa constante, sin aceleración ni gravedad. Aquí solo hay un valor de β y ninguna forma de dar la vuelta, de modo que la paradoja de los gemelos no se puede plantear en esta página —el trayecto de regreso es la parte que rompe la simetría entre los dos observadores, y no hay trayecto de regreso.
Falla cuando: La fila de la masa relativista es una reliquia de una forma más antigua de redactar esto, y conviene saber que los físicos en activo la descartaron. La masa se considera invariable hoy en día; el factor γ pertenece al momento lineal, p = γm₀v, no al objeto. La razón es concreta: empuja el objeto en movimiento a lo largo de su dirección de avance y su resistencia varía como γ³m₀; empújalo de lado y varía como γm₀. Un mismo objeto, dos "masas" distintas según hacia dónde empujes —de modo que el valor de 1.6667 kg mostrado arriba es un recurso contable, no un objeto más pesado.

Las velocidades no se suman, las rapideces sí 🖖

Pon β = 0,5 y la pestaña de Minkowski inclina los ejes del sistema en movimiento en arctan β = 26,57°. Pero aplica ese mismo impulso dos veces y no llegas a β = 1: las velocidades se combinan como (0,5 + 0,5)/(1 + 0,25) = 0,8 exactamente, algo que puedes comprobar poniendo β = 0,8 y leyendo γ = 1,6667. Lo que sí se suma es la rapidez ψ = artanh β, la magnitud con la que está construida la inclinación de ese diagrama: artanh 0,5 = 0,5493, duplicado da 1,0986, y tanh 1,0986 = 0,8. La rapidez es el ángulo hiperbólico de un impulso, así que los impulsos se componen por simple adición igual que las rotaciones, y ninguna pila finita de ellos alcanza nunca c.

Por qué el factor de Lorentz γ lo gobierna todo 🖖

Toda la herramienta gira en torno a un número: el factor de Lorentz γ = 1/√(1−β²), con β = v/c. A velocidad de paseo γ ≈ 1, así que la relatividad se esconde; cuando v se acerca a la velocidad de la luz c, γ crece sin límite. A v = 0.87c, γ = 2 — los relojes en movimiento laten a la mitad de ritmo y las longitudes se reducen a la mitad. Como alcanzar c exigiría γ = ∞, ningún objeto con masa lo logra: el precio sería energía infinita.

Un objeto veloz parece girado, no encogido 🖖

La contracción de la longitud es lo que mides, no lo que ves. Como la luz del lado lejano de un cuerpo parte antes que la del lado cercano, una fotografía de un objeto que pasa a gran velocidad lo capta aparentemente girado en vez de aplastado — una esfera conserva su contorno redondo. Esta rotación de Terrell–Penrose pasó inadvertida durante 54 años, hasta que James Terrell y Roger Penrose la descubrieron por separado en 1959.

La contracción de la longitud se inventó para salvar el éter 🖖

En 1889 George FitzGerald envió una carta de un solo párrafo a Science proponiendo que un cuerpo en movimiento a través del éter se acorta físicamente en la dirección de su marcha —exactamente en la proporción que esta página muestra como L/L₀. Lorentz llegó al mismo factor de forma independiente. Ambos intentaban rescatar al éter del resultado nulo del experimento de Michelson–Morley: si el aparato se contrae en la medida justa, no puede detectar su propio movimiento a través del medio. El artículo de Einstein de 1905 obtuvo el mismo número exacto a partir de dos postulados y sin recurrir al éter en absoluto. Para β = 0.8 da 0.6 en ambos casos —la aritmética nunca cambió, solo cambió aquello sobre lo que trata la aritmética: no materia comprimida por un viento en contra, sino dos observadores cortando el espacio-tiempo en ángulos diferentes. El factor sigue llevando el nombre de Lorentz.

El efecto más importante es el que no puedes ver aquí 🖖

El ajuste preestablecido del muón muestra esta página en su versión más convincente: β = 0.9992 da γ = 25.005, dilatando la vida media de 2.2 µs de un muón a 5.501 × 10⁻⁵ s y reduciendo 650 m de atmósfera a 25.995 m, motivo por el cual partículas que deberían desintegrarse muy arriba terminan llegando al suelo. Esa dilatación se ha medido directamente en muones que giran en un anillo de almacenamiento en el CERN. El caso con implicaciones económicas es invisible aquí: al cargar el ajuste del GPS, el panel indica γ = 1 y Δt = 86400 s, porque el valor de β de un satélite, cercano a 10⁻⁵, sitúa todo el efecto por debajo de cinco cifras significativas. Aún así es real: la velocidad orbital hace que el reloj de un satélite pierda unos 7 µs al día, la gravedad le hace ganar unos 45 µs, y dejar el balance neto sin corregir desviaría la determinación de la posición en unos 11 km diarios. Solo el primero de esos tres números corresponde a la relatividad especial.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Con β = 0.8 la razón de contracción de longitudes marca exactamente 60%. Prueba β = 0.6, luego β = 0.28, luego β = 0.96 — y después β = 0.5 para ver por qué se comporta distinto.

Mostrar la respuesta

0.6 da 80%, 0.28 da 96% y 0.96 da 28%: las parejas intercambian sus puestos. La razón es 1/γ = √(1 − β²), de modo que β² + (1/γ)² = 1 — la velocidad y la contracción son los dos catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 1, y esa relación no distingue cuál es cuál. Las respuestas redondas aparecen por tanto justo donde hay una terna pitagórica: (3, 4, 5) da la pareja 0.6/0.8 y (7, 24, 25) da 0.28/0.96. β = 0.5 no pertenece a ninguna terna, así que marca 86.603%, que es √3/2.
El preajuste satélite GPS va a β = 0.0000133, una velocidad orbital real. γ marca 1, el tiempo dilatado marca 1 s, la longitud contraída marca 1 m, la razón marca 100% — todo efecto relativista se ha redondeado hasta desaparecer. La energía cinética, aun así, marca 7.949×10⁶ J. ¿Qué lectura miente?

Mostrar la respuesta

Ninguna. La fila de la energía cinética es la única multiplicada por c², así que es la única donde sobrevive el exceso: γ − 1 vale 8.845×10⁻¹¹, nueve partes en cien mil millones, y la fila sustituye precisamente ese valor en lugar del γ redondeado. Por c² = 8.99×10¹⁶ sale a 7.9 megajulios por kilogramo. Compruébalo con Newton: la velocidad orbital del preajuste es 3987.2 m/s, y ½mv² = ½ × 1 × 3987.2² = 7.949×10⁶ J, el mismo número. A velocidades orbitales la relatividad es inmedible en las longitudes e ineludible en las energías, y toda la diferencia está en lo grande que es c².

Problema resuelto al detalle

Una regla de un metro que mide 60 cm a 0,8 c 5 pasos
A 0,8c una regla de un metro mide 60 cm. Deduce ese resultado y, a continuación, calcula hasta qué punto la energía cinética newtoniana subestima la del mismo objeto.
1. Todo proviene de un solo factor. A 0,8c la raíz cuadrada vale exactamente 0,6 —una de las pocas velocidades en las que la aritmética es limpia, razón por la cual la usan los libros de texto.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.64} = \frac{1}{0.6} = 1.6667$
2. La longitud se contrae según el inverso de ese factor, de modo que el 60% no es una aproximación: es exactamente 3/5.
  
  $\frac{L}{L _{0}} = \frac{1}{γ} = 0.60 = 60%$
3. Vale la pena tabular este factor, pues su comportamiento abarca toda la materia. Apenas varía hasta la mitad de la velocidad de la luz y luego cambia bruscamente: 2,29 a 0,9c, 7,09 a 0,99c, 22,4 a 0,999c.
  
  $β = 0.9 : γ = 2.294; β = 0.99 : γ = 7.089; β = 0.999 : γ = 22.37$
4. En la energía cinética es donde se manifiesta la consecuencia práctica. La expresión relativista no es ½mv² con una corrección añadida; es el exceso de la energía total respecto a la energía en reposo.
  
  $K = (γ - 1) m c^{2} = 0.6667 m c^{2}$
5. A 0,8c eso equivale a 0,667mc², frente a los 0,32mc² newtonianos.
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = 0.32 m c^{2} ⟹ Newton is short by a factor of 2.08$
Respuesta

La herramienta muestra una razón de contracción de la longitud del 60%. El número que el panel no muestra es el relativo a la energía: Newton se queda corto por un factor de 2,08 a esta velocidad, y la diferencia diverge a medida que lo hace dicho factor. Por esa razón los aceleradores de partículas se describen mediante la energía y no la velocidad: una máquina puede duplicar la energía de un protón y apenas hacer pasar su velocidad de 0,99c a 0,997c, lo que parece insignificante y supone toda la mejora. Mueve el deslizador hasta 0,999c y observa cómo la razón de longitud cae al 4,471% mientras la velocidad varía en la tercera cifra decimal.

$γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} : L / L_{0} = 60% at 0.8 c, K = 0.667 m c^{2}$

Referencias (7)

Rapidity as the additive hyperbolic angle of a boost: J. A. Rhodes and M. D. Semon, "Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession." American Journal of Physics 72(7), 943–960, 2004.
On stating time dilation and contraction without the usual sleights: N. D. Mermin, "Lapses in relativistic pedagogy." American Journal of Physics 62(1), 11, 1994.
The contraction proposed to reconcile the aether with the Michelson–Morley null result: G. F. FitzGerald, "The Ether and the Earth's Atmosphere." Science ns-13(328), 390, 1889.
The same factor derived from two postulates, with no aether: A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik 322(10), 891–921, 1905.
Why the relativistic-mass row is a historical convention rather than current usage: L. B. Okun, "The Concept of Mass." Physics Today 42(6), 31–36, 1989.
Time dilation measured directly on muons in a storage ring: J. Bailey et al., "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in a circular orbit." Nature 268, 301–305, 1977.
The satellite-clock corrections, both signs of them: N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System." Living Reviews in Relativity 6, 1, 2003.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-14

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Muon (0.9c) - Muon a 0.9c: γ=2.29, el tiempo se dilata
Satélite GPS - Satélite GPS: dilatación pequeña pero medible
Mitad de c - Mitad de la velocidad de la luz: γ=1.155
0.99c - 0.99c: γ=7.09, efectos dramáticos