Explorador de Secciones Cónicas

curva cónica implícita a partir de Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo resuelto — Explorador de Secciones Cónicas

Ecuación	0
Regla de clasificación	Δ<0⇒Elipse,Δ=0⇒Parábola,Δ>0⇒Hipérbola
Clasificación	Elipse

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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el discriminante es una frontera de fase geométrica 🖖

El discriminante Δ = B² - 4AC es la frontera de fase de las cónicas: Δ < 0 da curvas de la familia de las elipses, Δ = 0 da curvas de la familia de las parábolas, y Δ > 0 da curvas de la familia de las hipérbolas. Los términos lineales D y E desplazan la curva en el plano, mientras que F fija el valor del conjunto de nivel.

Un cono, todas las curvas 🖖

Apunta una linterna directamente a una pared y su haz dibuja un círculo; inclínala y el círculo se estira en una elipse, se abre en una parábola y finalmente se parte en una hipérbola. Las cuatro son cortes del mismo cono de luz. Esta herramienta hace lo contrario: a partir de los seis coeficientes A–F deduce qué corte has dibujado. Un círculo es simplemente la elipse especial donde A = C y B = 0.

las órbitas eligen su cónica según su energía 🖖

Newton demostró que todo cuerpo bajo la gravedad de cuadrado inverso sigue una cónica con el Sol en uno de sus focos, y el signo de la energía total decide cuál: energía negativa lo liga en una elipse, exactamente cero da un escape parabólico y energía positiva abre una hipérbola. Así supieron los astrónomos que ʻOumuamua (2017) y el cometa 2I/Borisov (2019) venían de fuera del sistema solar: sus órbitas eran claramente hiperbólicas (e > 1), así que nada podía retenerlos.

Teoría de Secciones Cónicas — Curvas del Cono y el Plano

Clasificación de Secciones Cónicas: Del Corte del Cono a la Ecuación

Toda sección cónica se forma al cortar un cono doble con un plano. La inclinación del plano define la familia geométrica, mientras que la ecuación algebraica se clasifica según el discriminante Δ = B² - 4AC y la excentricidad e.

Circunferencia — Radio Constante y Excentricidad Cero x² + y² = r²

Elipse — Dos Focos y Órbita Cerrada x²/a² + y²/b² = 1

Parábola — Igual Distancia al Foco y a la Directriz y = a(x − h)² + k

Hipérbola — Dos Ramas Abiertas y Asíntotas x²/a² − y²/b² = 1

Cónicas Degeneradas — Corte por el Ápex Ax² + Cy² = 0

Cónicas Rotadas — Alineación con Término Mixto tan(2θ) = B / (A − C)

Circunferencia — Radio Constante y Excentricidad Cero

Condiciones dadas: Discriminante Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (o e = 0)

Ecuación: x² + y² = r²

Ejemplo resuelto: x² + y² = 9 ⟹ Circunferencia centrada en (0,0) con radio r = 3

Abrir esta cónica: circunferencia

Circunferencia — Radio Constante y Excentricidad Cero. Circunferencia: Plano de corte perpendicular al eje de simetría del cono. Discriminante Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (o e = 0) — Circunferencia: Plano de corte perpendicular al eje de simetría del cono.

Elipse — Dos Focos y Órbita Cerrada

Condiciones dadas: Discriminante Δ < 0, A ≠ C o B ≠ 0 (0 < e < 1)

Ecuación: x²/a² + y²/b² = 1

Ejemplo resuelto: 4x² + 9y² = 36 ⟹ Semieje mayor a = 3, semieje menor b = 2

Abrir esta cónica: elipse inclinada

Elipse — Dos Focos y Órbita Cerrada. Elipse: Plano de corte con inclinación suave a través de una hoja del cono. Discriminante Δ < 0, A ≠ C o B ≠ 0 (0 < e < 1) — Elipse: Plano de corte con inclinación suave a través de una hoja del cono.

Parábola — Igual Distancia al Foco y a la Directriz

Condiciones dadas: Discriminante Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1)

Ecuación: y = a(x − h)² + k

Ejemplo resuelto: y - x² = 0 ⟹ Vértice en (0,0), foco en (0, 0.25)

Abrir esta cónica: parábola

Parábola — Igual Distancia al Foco y a la Directriz. Parábola: Plano de corte paralelo a una generatriz del cono. Discriminante Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1) — Parábola: Plano de corte paralelo a una generatriz del cono.

Hipérbola — Dos Ramas Abiertas y Asíntotas

Condiciones dadas: Discriminante Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1)

Ecuación: x²/a² − y²/b² = 1

Ejemplo resuelto: x² - y² = 4 ⟹ Dos ramas con asíntotas y = ±x

Abrir esta cónica: hipérbola

Hipérbola — Dos Ramas Abiertas y Asíntotas. Hipérbola: Plano de corte empinado a través de ambas hojas del cono. Discriminante Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1) — Hipérbola: Plano de corte empinado a través de ambas hojas del cono.

Cónicas Degeneradas — Corte por el Ápex

Condiciones dadas: El plano pasa exactamente por el vértice central del cono

Ecuación: Ax² + Cy² = 0

Ejemplo resuelto: x² + y² = 0 (Un punto) o x² - y² = 0 (Dos rectas y = ±x)

Abrir esta cónica: rectas secantes

Cónicas Degeneradas — Corte por el Ápex. Cónica degenerada: Cortar por el ápice hace colapsar la curva. El plano pasa exactamente por el vértice central del cono — Cónica degenerada: Cortar por el ápice hace colapsar la curva.

Cónicas Rotadas — Alineación con Término Mixto

Condiciones dadas: Término mixto B ≠ 0 en Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Ecuación: tan(2θ) = B / (A − C)

Ejemplo resuelto: 4x² + xy + 2y² = 16 ⟹ Elipse rotada con ejes inclinados

Abrir esta cónica: casi una parábola

Cónicas Rotadas — Alineación con Término Mixto. Cónica rotada: El término Bxy inclina los ejes mayor y menor en el plano. Término mixto B ≠ 0 en Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 — Cónica rotada: El término Bxy inclina los ejes mayor y menor en el plano.

Referencias (1)

Insight block 3 — the hyperbolic orbit that proved an object came from outside: K. J. Meech et al., "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid." Nature 552, 378–381, 2017 — 1I/ʻOumuamua, whose positive orbital energy is what identified it.

Problema resuelto al detalle

El ángulo de inclinación de la elipse oblicua, sus dos ejes y su excentricidad 5 pasos
4x² + xy + 2y² = 16 es una elipse, y el término xy significa que está inclinada. Halla el ángulo en que está inclinada, sus dos ejes y su excentricidad —ninguno de los cuales imprime este panel.
1. El discriminante determina primero la familia. Es negativo, por lo que la curva es una elipse, y ninguna cantidad de rotación o traslación puede cambiar eso.
  
  $Δ = B^{2} - 4 A C = 1 - 4 (4) (2) = 1 - 32 = - 31 < 0$
2. Escribe la parte cuadrática como una matriz simétrica, con el coeficiente de xy dividido entre las dos entradas fuera de la diagonal. Su determinante es 7,75 y el discriminante es exactamente −4 veces este: la misma prueba en una notación diferente.
  
  $M = (A B /2 B /2 C) = (4 0.5 0.5 2), det M = 8 - 0.25 = 7.75 = - \frac{Δ}{4}$
3. Rotar los ejes un ángulo θ cambia B, y la rotación que lo elimina por completo satisface tan 2θ = B/(A − C). Al resolver se obtiene una inclinación de unos 13,3°.
  
  $tan 2 θ = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 13.282 5^{\circ}$
4. En el sistema rotado la ecuación no tiene término cruzado, y los dos nuevos coeficientes son los valores propios de esa matriz. La elipse queda entonces en su forma habitual.
  
  $λ = \frac{6 \pm 5}{2} = 4.118, 1.882 ⟹ 4.118 x^{'2} + 1.882 y^{'2} = 16$
5. A continuación se obtienen los semiejes, y con ellos la excentricidad: 0,737. Se trata de una elipse decididamente alargada: el eje menor es el 68% del mayor, y ningún planeta del sistema solar tiene una órbita con una forma siquiera cercana a esa.
  
  $a = \frac{16}{1.882} = 2.916, b = \frac{16}{4.118} = 1.971, e = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 0.737$
Respuesta

La herramienta muestra Δ = −31 y la clasifica como una Elipse. El paso 2 explica por qué se puede confiar en esa clasificación. Rotar los ejes cambia A, B y C individualmente, pero no puede cambiar el determinante de la matriz que forman, y el discriminante no es más que ese determinante multiplicado por −4. Por lo tanto, el límite entre elipse, parábola e hipérbola es una propiedad de la curva y no de las coordenadas en las que se haya dibujado, que es exactamente lo que debe ser una clasificación para que valga la pena.

$Δ = - 4 det M, and det M survives rotation$

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

circunferencia - x^2 + y^2 = 9 es una circunferencia, un caso especial de elipse.
elipse inclinada - Un término xy distinto de cero produce una elipse rotada.
parábola - y = x^2 se clasifica como parábola (delta=0).
hipérbola - x^2 - y^2 = 4 es una hipérbola de dos ramas.
rectas secantes - Aquí Δ = 4, exactamente igual que en la hipérbola predefinida, y la clasificación indica degenerada. La única diferencia entre las dos es F: 0 frente a −4. Y resulta que F ni siquiera aparece en B² − 4AC. La expresión x² − y² = 0 se factoriza como (x − y)(x + y) = 0. Te quedan las dos asíntotas por su cuenta. Justo en eso se convierte una hipérbola una vez que dejas que se cierre sobre ellas. El discriminante nombra a la familia. No te puede decir si la curva sobrevivió.
casi una parábola - Δ = 2² − 4(1)(1) = 0 exactamente. Por lo tanto, la clasificación indica parábola, no casi una. Al agruparla, la ecuación es (x + y)² = 4y. El término xy ha desviado a la parábola de los ejes sin cambiar su naturaleza. Reduce B una décima. Δ se volverá negativo y la curva se cerrará formando una elipse. Auméntalo en cambio y se abrirá en una hipérbola. Toda la familia depende de ese único número.