El teorema de la raqueta de tenis

Pulsa Eje intermedio, ε 10⁻³. El cuerpo tiene momentos de inercia en la proporción 1 : 2 : 3 y gira una vez por segundo sobre el eje 2, con una milésima de ese giro sobre cada uno de los otros dos. A los 2,37 s está de lado y un instante después boca abajo; 4,38 s más tarde vuelve a hacerlo, y sigue haciéndolo mientras dure la simulación. La flecha roja es su momento angular L, y no se mueve. Pasados 60 s, la energía y |L| son 1,000000 de sus valores iniciales, y L ha vagado por el espacio en 5,9×10⁻¹⁰ de su longitud, lo cual es el propio error del integrador. No actúa ningún torque, y darse la vuelta no cuesta energía. El segundo panel muestra por qué el eje 2 y no otro. Con E y |L| ambos fijos, la dirección de L vista desde el cuerpo solo puede recorrer una curva de la familia ahí dibujada. Alrededor de ±1 y ±3 son pequeños bucles cerrados, así que un pequeño bamboleo se mantiene pequeño. En ±2 se cruzan, un punto de silla, y la curva que pasa por un punto cercano a +2 llega hasta −2. Pulsa Momento mayor, ε 10⁻³: el mismo bamboleo sobre el eje 3 es una línea plana en el tercer panel, y no se produce ninguna vuelta.

Pulsa Eje intermedio, ε 10⁻⁶, el mismo lanzamiento realizado de una forma mil veces más limpia. Las vueltas ahora llegan cada 8,19 s en lugar de 4,38 s. La tabla debajo de los resultados continúa el patrón: por debajo de 10⁻², cada factor de diez menos de bamboleo añade los mismos 1,27 s, hasta llegar a 10⁻¹². El tercer panel muestra de dónde viene eso. Un bamboleo sobre el eje intermedio crece como e^λt, una línea recta en una escala logarítmica. Después de cada vuelta se reduce hasta cerca de ε, boca abajo, y tiene que volver a crecer antes de la siguiente. La caída hasta ε toma aproximadamente ln(1/ε)/λ y la subida de vuelta lo mismo, por lo que cada factor de diez en ε cuesta 2 ln 10/λ, que son 1,27 s a λ = 3,628 s⁻¹. Cambia los momentos y la tabla los seguirá: por debajo de un bamboleo de 10⁻², el escalón se mantiene a menos de un medio por ciento de 2 ln 10/λ. Por esto un teléfono se da la vuelta cuando lo lanzas al aire. Pulsa Un teléfono lanzado: Michael Wheatland y sus colegas calcularon los momentos de un iPhone 8 Plus a partir de su masa y tamaño como 1,04, 4,23 y 5,25 ×10⁻⁴ kg·m², y a 17,002 rad/s su λ es de 13,125 s⁻¹. Cada factor de diez de cuidado le añade 0,35 s, y un bamboleo de 0,2 lo voltea a los 0,32 s. El giroscopio de su teléfono registró la misma inversión durante un lanzamiento real.

Pulsa Pérdida energía, eje 1. El eje 1, el momento más pequeño, era estable hace un instante. Ahora el giro sobre él se abre lentamente, se invierte a los 40,60 s y se asienta sobre el eje 3 con 0,333712 de la energía con la que empezó y todo su momento angular. La fricción interna puede sacar energía de un cuerpo que gira, pero no puede cambiar la L total del cuerpo, y a una L fija, la energía L²/2I es mínima donde I es máximo. Un giro sobre el eje 1 conlleva la mayor energía que L permite, así que una pérdida hace que L pasee por la esfera en el segundo panel, sobre el punto de silla, hasta ±3. El satélite Explorer 1 se topó con esto en 1958. Era un cuerpo largo y delgado diseñado para girar sobre su eje largo, el eje de menor inercia, llevaba cuatro antenas flexibles y no conservaba ese giro; el artículo de 2001 de Michael Efroimsky sobre los asteroides bamboleantes comienza con esto. La pérdida en esta página es un modelo con exactamente esas dos propiedades, salida de energía y L intacta, a un ritmo elegido por la página; no es un modelo de las antenas. Sin pérdida de energía, las vueltas de los dos primeros bloques continúan para siempre. Con una, como señalaron J. A. de la Torre y Pep Español, si se hubiera observado el tiempo suficiente, la tuerca de mariposa de Dzhanibekov habría terminado girando sobre su eje mayor.