Curvas polares

Explora curvas polares: r como función del ángulo θ.

Ejemplo resuelto — Curvas polares

Ecuación	1+cos(θ)
r(theta)	0.0000
A	4.7124
(x, y)	(-0.000, -0.000)
theta	3.142 rad (180.0 deg)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un k impar da k pétalos, un k par da el doble 🖖

Una rosa r = cos(kθ) no tiene k pétalos, como cabría esperar. Con k impar sí: cos(3θ) dibuja 3 pétalos y termina en media revolución — si sigues hasta 2π, la curva solo vuelve a recorrer los pétalos que ya trazó, porque los valores negativos de r caen justo encima de los positivos. Con k par no hay dónde esconderlos, así que esas pasadas extra se convierten en pétalos nuevos en los huecos: cos(4θ) acaba con 8. Por eso exactamente las dos rosas predefinidas de esta herramienta terminan en sitios distintos, π para la de 3 pétalos y 2π completos para la de 8.

Distancia y dirección, no izquierda y derecha 🖖

Las coordenadas polares fijan un punto con dos preguntas cotidianas: ¿a qué distancia del centro y en qué dirección? Por eso las formas con un centro natural — espirales, rosas parecidas a flores, órbitas — tienen aquí ecuaciones cortas y limpias, mientras que en una cuadrícula x-y se convierten en fórmulas engorrosas. Prueba la plantilla de la espiral: r = θ/π solo significa «el radio crece de forma constante al girar», pero la versión cartesiana es un enredo. La lección: elige coordenadas que se ajusten a la simetría del problema y las matemáticas se simplifican.

La espiral que Bernoulli quiso en su tumba 🖖

La espiral logarítmica r = a·e^(bθ) fascinó tanto a Jakob Bernoulli que la llamó spira mirabilis — «la espiral maravillosa» — porque al escalarla, girarla o reflejarla sigue siendo la misma curva. Pidió una en su lápida con el lema Eadem mutata resurgo («aunque cambiada, resurjo igual»). Sin embargo, el cantero de Basilea grabó una espiral de Arquímedes (r = aθ) en su lugar — una curva completamente distinta, y el error sigue visible hoy.

CURVAS POLARES — ¿DE QUÉ FAMILIA ES ESTA, Y CUÁNTOS PÉTALOS?

¿En qué caso de curva polar está?

En forma polar la figura la decide la fórmula de r y cuánto tiene que recorrer θ hasta que la curva se cierra. Las rosas salen de cos nθ, y el número de pétalos depende de si n es impar o par. Cardioides y limaçones salen de a + b·cos θ, y la razón a/b decide si hay una hendidura, una punta o un lazo dentro. Reconozca la forma y ya sabe el dibujo.

a = b: la cardioide, con una única punta en el origen a = b ⇒ r(π) = 0

cos nθ con n impar: n pétalos, dibujados en media vuelta n = 2k+1 ⇒ # = n

cos nθ con n par: 2n pétalos, y hace falta la vuelta entera n = 2k ⇒ # = 2n

b > a: un limaçon con lazo interior b > a ⇒ ∃θ: r < 0

a = b: la cardioide, con una única punta en el origen

Lo que sabe: r = a + b·cos θ con a y b iguales. El radio va de 2a hasta exactamente cero, así que la curva toca el origen una vez y forma allí una cúspide.

Forma: a = b ⇒ r(π) = 0

Ejemplo resuelto: r = 1 + cos θ: r = 2 en θ = 0°, r = 1 en 90° y r = 0 en 180°. El área encerrada es 3π/2 ≈ 4,712.

Abrir este caso: Cardioide

a = b: la cardioide, con una única punta en el origen. El radio se reduce a nada en 180° y la curva se cierra en una cúspide. r = a + b·cos θ con a y b iguales. El radio va de 2a hasta exactamente cero, así que la curva toca el origen una vez y forma allí una cúspide. — El radio se reduce a nada en 180° y la curva se cierra en una cúspide.

cos nθ con n impar: n pétalos, dibujados en media vuelta

Lo que sabe: Un n impar da exactamente n pétalos, y la rosa queda completa en cuanto θ ha ido de 0 a π. Seguir hasta 2π vuelve a repasar los mismos pétalos.

Forma: n = 2k+1 ⇒ # = n

Ejemplo resuelto: r = cos 3θ de 0 a π: tres pétalos, cada uno abarcando 60° de θ, con el primero centrado en θ = 0

Abrir este caso: Rosa (3)

cos nθ con n impar: n pétalos, dibujados en media vuelta. Tres pétalos, completos tras media vuelta; el resto del círculo los repite. Un n impar da exactamente n pétalos, y la rosa queda completa en cuanto θ ha ido de 0 a π. Seguir hasta 2π vuelve a repasar los mismos pétalos. — Tres pétalos, completos tras media vuelta; el resto del círculo los repite.

cos nθ con n par: 2n pétalos, y hace falta la vuelta entera

Lo que sabe: Un n par da el doble de pétalos de los que cabría esperar, y todos necesitan que θ recorra de 0 a 2π.

Forma: n = 2k ⇒ # = 2n

Ejemplo resuelto: r = cos 4θ de 0 a 2π: ocho pétalos, cada uno abarcando 45° de θ

Abrir este caso: Rosa (8)

cos nθ con n par: 2n pétalos, y hace falta la vuelta entera. Ocho pétalos: cuatro de r positivo y cuatro más de los intervalos donde r se vuelve negativo. Un n par da el doble de pétalos de los que cabría esperar, y todos necesitan que θ recorra de 0 a 2π. — Ocho pétalos: cuatro de r positivo y cuatro más de los intervalos donde r se vuelve negativo.

b > a: un limaçon con lazo interior

Lo que sabe: r = a + b·cos θ con b mayor que a. El radio se vuelve negativo en parte de la vuelta, y ese tramo dibuja un lazo dentro de la curva principal.

Forma: b > a ⇒ ∃θ: r < 0

Ejemplo resuelto: r = 1 + 2cos θ: r = 3 en θ = 0°, y r < 0 para θ entre 120° y 240°, que es el lazo interior

Abrir este caso: Limaçon

b > a: un limaçon con lazo interior. El tramo con r negativo se pliega de vuelta por el origen y forma un lazo interior. r = a + b·cos θ con b mayor que a. El radio se vuelve negativo en parte de la vuelta, y ese tramo dibuja un lazo dentro de la curva principal. — El tramo con r negativo se pliega de vuelta por el origen y forma un lazo interior.

Problema resuelto al detalle

Área de 4,7124 encerrada por la cardioide r = 1 + cos θ 5 pasos
La cardioide r = 1 + cos θ encierra un área de 4,7124. Dedúzcala y compárela con el círculo a partir del cual se construye.
1. El área en coordenadas polares no es ∫y dx. Una cuña fina de ángulo dθ es un triángulo de área ½r²dθ, e integrar esas cuñas constituye la fórmula completa.
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ, r = 1 + cos θ$
2. Por tanto, el integrando es el cuadrado del radio, que para esta curva se desarrolla en tres términos.
  
  $(1 + cos θ)^{2} = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ$
3. Cada uno se integra a lo largo de una vuelta completa sin dificultad. El término medio se anula —el valor medio del coseno es cero— y el último utiliza el resultado conocido de que el valor medio de cos² es un medio.
  
  $\int_{0}^{2 π} 1 = 2 π, \int_{0}^{2 π} 2 cos θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ = π$
4. Al sumarlos se obtiene 3π/2, que es 4,7124.
  
  $A = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} = 4.7124$
5. La curva toca el origen exactamente una vez, en θ = π, donde 1 + cos θ = 0. Esa es la cúspide, y es la razón por la que la cardioide no es un círculo desplazado.
  
  $r (π) = 1 + cos π = 0 (the cusp), \frac{3 π /2}{π} = 1.5$
Respuesta

La herramienta muestra un área de 4,7124, con r = 0 en θ = 3,142. La comparación resulta esclarecedora: el círculo unidad encierra π, por lo que la cardioide contiene exactamente 1,5 veces más, a pesar de extenderse solo hasta r = 2 en su parte más ancha y reducirse a cero en la cúspide. La perspectiva de las cuñas lo explica —el área se acumula como r², por lo que el lado más ancho domina mucho más de lo que sugiere su anchura. Al cambiar la curva a cos(3θ), el panel indica 1,5708 —que es π/2, exactamente el doble del área real de la rosa de tres pétalos, que es π/4. La integral no es errónea; el intervalo sí lo es. Una rosa de pétalos impares se traza por completo a medida que θ varía hasta π y se vuelve a dibujar al llegar a 2π, por lo que las cuñas se cuentan dos veces. Al fijar el límite superior en 3,14159, aparece 0,7854. El área en polares es la única integral en la que los límites constituyen una decisión de modelización y no una mera formalidad.

$A = \frac{3 π}{2} = 4.7124 = 1.5 \times the unit circle; r (π) = 0$

Referencias (2)

Who first used these coordinates, and for what: J. L. Coolidge, "The Origin of Polar Coordinates." The American Mathematical Monthly 59(2), 78–85, 1952.
The logarithmic spiral in shells and horns — the reason polar form is worth the change of variable: D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Chapter XI: The Equiangular Spiral. Cambridge University Press, 1917.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Cardioide - r = 1+cos(θ) encierra en una vuelta completa A = 4.7124, es decir 3π/2 — vez y media el círculo unidad
Rosa (3) - cos(3θ) solo necesita θ hasta π para cerrar sus tres pétalos, y encierra A = 0.7854 = π/4
Rosa (8) - cos(4θ) dibuja ocho pétalos, no cuatro — una k par los duplica — y necesita los 2π completos para A = 1.5708 = π/2
Limaçon - r = 1+2cos(θ) se vuelve negativo: en θ = π la lectura marca r = −1.0000 en el punto (1.000, 0.000), y de ahí sale el bucle interior