Laboratorio de sólidos: esfera, cono y cilindro

Coloca una esfera de radio 3 dentro del menor cilindro que la contenga. Demuestra que los volúmenes están en la razón 2:3, que las superficies totales están en la misma razón 2:3, y explica después por qué aparece el mismo número dos veces.

1. El cilindro ajustado queda determinado por la esfera: su radio es r y su altura es 2r, porque la esfera tiene que tocar la pared curva y ambas bases planas. No hay nada libre a elección.

   $$V_{\text{sph}}=\frac{4}{3}\pi r^3,V_{\text{cyl}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$$

2. Volúmenes. El de la esfera es ⁴⁄₃πr³ y el del cilindro es πr² × 2r = 2πr³. Al dividir: (⁴⁄₃) ÷ 2 = ²⁄₃, y r se simplifica, por lo que la razón se cumple para cualquier esfera que haya existido jamás. Para r = 3, eso equivale a 113,10 frente a 169,65.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}}=\frac{4/3}{2}=\frac{2}{3}$$

3. Superficies. La de la esfera es 4πr². El cilindro consta de tres partes: dos bases planas de πr² cada una y la pared curva, que al desplegarse forma un rectángulo de 2πr de ancho y 2r de alto, es decir, 4πr². En total: 2πr² + 4πr² = 6πr².

   $$A_{\text{cyl}}=\underset{\text{caps}}{\underbrace{2\pi r^2}}+\underset{\text{wall}}{\underbrace{2\pi r\cdot 2r}}=6\pi r^2$$

4. Dividimos de nuevo: 4πr² ÷ 6πr² = ²⁄₃. La misma razón, obtenida a partir de un cálculo completamente diferente. Para r = 3, vuelve a ser 113,10 frente a 169,65 una vez más.

   $$\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}}=\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2}=\frac{2}{3}$$

5. He aquí por qué no es cuestión de suerte. Mira solo la superficie lateral: mide 4πr², exactamente lo mismo que toda la superficie de la esfera. Este es el resultado de Arquímedes: si cortas la esfera y el cilindro por dos planos cualesquiera perpendiculares al eje del cilindro, las dos franjas comprendidas entre ellos tienen la misma área. Al ascender por la esfera, los círculos se reducen justo al ritmo al que se inclina la superficie. Suma las dos bases, 2πr², y el 4 se convierte en 6.

   $$A_{\text{sph}}=4\pi r^2=A_{\text{wall}}\text{(Archimedes)}$$

6. Una advertencia sobre el panel con esta configuración. Muestra 113,0973 para el volumen de la esfera y 113,0973 para su superficie, pero no son el mismo tipo de magnitud: una son unidades cúbicas y la otra cuadradas. Solo coinciden porque ⁴⁄₃πr³ = 4πr² exige que r = 3. Si fijamos r en 4, se separan de inmediato.

   $$\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2⟺r=3\text{(why the panel prints 113.0973 twice)}$$

A igual volumen, el panel le cobra al cilindro un 14,5% más de superficie que a la esfera, y al cono un 26,0%. Averigua de dónde salen esas dos cifras y decide si el ajuste de material fijo es un segundo hecho o el mismo.

1. Empieza por la esfera. Con r = 3 el volumen es (4/3)π × 27 = 113,10 y la superficie es 4π × 9 = 113,10, que es el objetivo que las demás figuras tienen que igualar.

   $$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=113.10,A_{\text{sph}}=4\pi r^2=113.10$$

2. El cilindro cerrado más barato que contiene ese volumen tiene h = 2r, la proporción que minimiza la superficie. Entonces V = 2πr³ y A = 6πr², de donde r = ∛18 = 2,6207 y el área sale 129,46.

   $$\text{Best cylinder: }h=2r_c\Rightarrow V=2\pi r_c^3,A=6\pi r_c^2;r_c=\sqrt[3]{18}=2.6207,A=129.46$$

3. Haz la comparación sin números y r desaparece. Igualar los volúmenes obliga a que el cubo del radio de la esfera sea 3/2 del cubo del radio del cilindro, y la razón de áreas se reduce a la raíz cúbica de 3/2, que es 1,1447. Ese es el 14,5%, y vale a cualquier tamaño.

   $$r_s^3=\frac{3}{2}{r}_c^3⟹\frac{A_{\text{cyl}}}{A_{\text{sph}}}=\frac{6\pi r_c^2}{4\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2/3}{r}_c^2}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}=1.1447\Rightarrow +14.5\%$$

4. El cono más barato tiene h = √8 r, lo que hace que su generatriz mida exactamente 3r y su área 4πr². La misma cancelación deja la raíz cúbica de 2, que es 1,2599, o sea el 26,0%.

   $$\text{Best cone: }h=\sqrt{8}{r}_n\Rightarrow \ell =3r_n,A=4\pi r_n^2,V=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r_n^3;\frac{A_{\text{cone}}}{A_{\text{sph}}}=\sqrt[3]{2}=1.2599\Rightarrow +26.0\%$$

5. Dos raíces cúbicas de fracciones pequeñas son un indicio fuerte de que hay una sola magnitud haciendo el trabajo, y es Q = 36πV²/A³. No lleva unidades y no se mueve al escalar una figura. La esfera da 1, el mejor cilindro ⅔ y el mejor cono exactamente ½.

   $$Q=\frac{36\pi V^2}{A^3}:Q_{\text{sph}}=1,Q_{\text{cyl}}=\frac{2}{3},Q_{\text{cone}}=\frac{1}{2}$$

6. Q resuelve los dos ajustes de una vez. A volumen fijo la superficie va como Q elevado a −⅓, lo que devuelve 1,1447 y 1,2599. A superficie fija el volumen va como √Q, así que la esfera contiene √(3/2) = 1,2247 veces el cilindro y √2 = 1,4142 veces el cono. Esos son el 22,5% y el 41,4% de las tarjetas de material fijo.

   $$\text{fixed }V:A\propto Q^{-1/3}\Rightarrow 1.1447,1.2599;\text{fixed }A:V\propto Q^{1/2}\Rightarrow \sqrt{\frac{3}{2}}=1.2247,\sqrt{2}=1.4142$$

7. Y el ⅔ del cilindro es la razón con la que abría esta página. El cilindro que minimiza la superficie es h = 2r, que es el cilindro circunscrito de Arquímedes, y allí la esfera contiene dos tercios tanto del volumen como de la superficie. Mete eso en Q y los cuadrados y los cubos dejan (3/2)² ÷ (3/2)³ = ⅔.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}}=\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}}=\frac{2}{3}⟹Q_{\text{cyl}}=\frac{(3/2{)}^2}{(3/2{)}^3}=\frac{2}{3}$$