Curvas paramétricas

Las ecuaciones paramétricas desacoplan la dependencia de y sobre x introduciendo una variable temporal t. Esto permite el mapeo de rutas dinámicas complejas que violarían la prueba de la línea vertical en coordenadas estándar.

En lugar de preguntar qué y corresponde a cada x, una curva paramétrica pone en marcha un reloj t y guía un lápiz con dos reglas independientes: x(t) fija cuánto se desplaza a la derecha e y(t) cuánto hacia arriba. El trazo que ves es solo la mitad de la historia; el punto móvil y su vector tangente aportan el resto: dirección y velocidad. Como la longitud de la flecha es la rapidez, la misma forma puede dibujarse despacio o deprisa y verse idéntica, mientras que el movimiento detrás es completamente distinto.

Da la vuelta a la cicloide x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) y se convierte en la tautócrona: una bolita sin rozamiento llega al punto más bajo en exactamente el mismo tiempo, sin importar desde dónde la sueltes. Christiaan Huygens aprovechó esto en 1673 y curvó relojes de péndulo con mejillas cicloidales para que la lenteja marcara la hora con precisión sin importar la amplitud del balanceo. Una sola curva paramétrica dio a la relojería su primer péndulo inmune a la amplitud.