Curvas paramétricas

Explora curvas paramétricas: observa el punto de trazado y el vector tangente mientras t varía.

Ejemplo resuelto — Curvas paramétricas

t	3.1416
(x, y)	(-1.000, 0.000)
Velocidad \|dr/dt\|	2.000
dx/dt, dy/dt	(0.000, 2.000)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

El mismo dibujo puede trazarse a velocidades muy distintas 🖖

Una curva paramétrica lleva más información que la forma que deja atrás. Compara (cos t, sin t) con (cos 2t, sin 2t): ambas trazan la misma circunferencia unidad, y ningún dibujo podría distinguirlas — pero la segunda termina en la mitad del tiempo. Infinitas parametrizaciones producen exactamente la misma imagen. Por eso la longitud de arco es una propiedad del trazo, mientras que la velocidad y el sentido pertenecen solo al horario que lo produjo, y por eso la física recurre a parámetros en lugar de gráficas: la órbita de un planeta es una forma, pero su movimiento a lo largo de esa forma es lo que importa.

Dos reglas guían un lápiz 🖖

En lugar de preguntar qué y corresponde a cada x, una curva paramétrica pone en marcha un reloj t y guía un lápiz con dos reglas independientes: x(t) fija cuánto se desplaza a la derecha e y(t) cuánto hacia arriba. El trazo que ves es solo la mitad de la historia; el punto móvil y su vector tangente aportan el resto: dirección y velocidad. Como la longitud de la flecha es la rapidez, la misma forma puede dibujarse despacio o deprisa y verse idéntica, mientras que el movimiento detrás es completamente distinto.

El reloj que ignora su oscilación 🖖

Da la vuelta a la cicloide x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) y se convierte en la tautócrona: una bolita sin rozamiento llega al punto más bajo en exactamente el mismo tiempo, sin importar desde dónde la sueltes. Christiaan Huygens aprovechó esto en 1673 y curvó relojes de péndulo con mejillas cicloidales para que la lenteja marcara la hora con precisión sin importar la amplitud del balanceo. Una sola curva paramétrica dio a la relojería su primer péndulo inmune a la amplitud.

Problema resuelto al detalle

Posición y velocidad de la curva de Lissajous en t = π 6 pasos
La curva de Lissajous x = cos 3t, y = sin 2t en t = π. Halle la posición y la rapidez que muestra el panel y, a continuación, determine lo único que este no muestra: con qué brusquedad gira la curva.
1. Dos funciones independientes del mismo parámetro. Derivarlas constituye la totalidad de la velocidad, y la regla de la cadena aporta los factores 3 y 2.
  
  $x (t) = cos 3 t, y (t) = sin 2 t; \overset{x}{˙} = - 3 sin 3 t, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 t$
2. Evalúe primero la posición. Ambas funciones trigonométricas dan valores exactos, motivo por el cual merece la pena elegir π.
  
  $t = π : x = cos 3 π = - 1, y = sin 2 π = 0$
3. Ahora la velocidad. Una componente se anula y la otra alcanza su máximo: el movimiento en este instante es puramente vertical.
  
  $\overset{x}{˙} = - 3 sin 3 π = 0, \overset{y}{˙} = 2 cos 2 π = 2 ⟹ ∣ \dot{r} ∣ = 2.000$
4. Esa anulación no es un accidente aritmético: x se encuentra en un punto de retorno y la curva toca aquí su extremo más a la izquierda.
  
  $\overset{x}{˙} = 0 with \overset{y}{˙} \neq = 0 : the curve is moving straight up, and x is at a turning point$
5. La curvatura requiere una derivada más de cada una. Ambas son tan sencillas como la primera, lo cual es la gran ventaja de la forma paramétrica.
  
  $\overset{x}{¨} = - 9 cos 3 t = 9, \overset{y}{¨} = - 4 sin 2 t = 0$
6. Construya la fórmula habitual. El numerador es un producto vectorial y el denominador es el cubo de la rapidez, razón por la cual los puntos rápidos parecen planos a menos que realmente se estén curvando.
  
  $κ = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{∣0 - 18∣}{8} = 2.25 ⟹ ρ = \frac{1}{κ} = 0.444$
Respuesta

Radio de curvatura 0,444 — la curva gira en el interior de una circunferencia de bastante menos de media unidad. La rapidez y la curvatura son independientes, y este punto hace visible la distinción: la rapidez es 2, el valor máximo que alcanza cualquiera de las dos componentes, mientras que la trayectoria se curva de forma tan pronunciada como en cualquier parte de la figura. Un automóvil en ese punto va rápido y gira con brusquedad, que es exactamente la combinación que produce carga lateral. Nada en la lectura de la posición o de la velocidad lo insinúa, porque la curvatura requiere la segunda derivada y el panel se detiene en la primera. Por eso también merece la pena la forma paramétrica: como relación entre x e y, esta curva es una maraña de sexto grado, mientras que como dos funciones de t, cada derivada es una sola línea.

$(x, y) = (- 1, 0), ∣ \dot{r} ∣ = 2.000, κ = 2.25, ρ = 0.444$

Referencias (1)

Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-26

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Lissajous 3:2 - x = cos 3t, y = sen 2t. Es la única opción aquí que nunca se detiene. La velocidad es 2,0000 en t = 3,142. Nunca llega a cero en ninguna parte, porque dx/dt y dy/dt jamás se anulan para el mismo t. Eso es lo que mantiene el trazo suave allí donde la astroide y la cicloide presentan cúspides.
Cicloide - Un punto en el borde de una rueda en movimiento. La posición inicial cae en una cúspide: 0,0002 en t = 6,283. El borde se detiene un instante cada vez que toca el suelo. Arrastra t hasta la cima de un arco y la velocidad será el doble que la de la propia rueda.
Astroide - x = cos³t, y = sen³t. La velocidad es exactamente 1,5|sen 2t|. Marca 0,0000 en t = 3,142, el punto donde aterriza la posición inicial. Lo mismo ocurre en otros tres lugares. Esos cuatro ceros son las cuatro cúspides.
Mariposa - En polares, r = e^cos t − 2cos 4t. Se dibuja como x = r sen t, y = r cos t. La velocidad es 1,6321 en t = 3,142. Este número importa menos que su variación. En una sola vuelta la velocidad llega a multiplicarse por más de trece. Por eso el punto de trazado avanza a tirones.
Corazón - La curva del corazón, x = 16 sin³(t) — en t = π la velocidad cae a 0,0002, la punta del corazón
Epicicloide - Una cardioide, la epicicloide de una cúspide — velocidad máxima 4,0000 en t = π, justo enfrente de la cúspide
Hipotrocoide deltoidea - Una deltoide — la misma familia 2cos(t) ± cos(2t) que la cardioide con un signo cambiado, y tiene tres cúspides en vez de una
Espiral de Arquímedes - La espiral de Arquímedes — velocidad 6,3621 en t = 6,283 y creciendo sin límite, porque cada vuelta es más larga que la anterior