Lección
La teoría — Laboratorio de Modelado por Tramos
Una función definida a trozos no es una regla con una excepción; son dos reglas completas más la indicación de cuál se aplica dónde. Aquí una regla lineal gobierna todo lo que está por debajo de un punto de ruptura c y una segunda gobierna todo a partir de c. La pregunta interesante nunca es qué hace cada trozo —son simples rectas— sino qué ocurre en la costura.
Qué significa cada símbolo
c- el punto de ruptura: la entrada en la que cambia la regla.
f(c⁻)- hacia dónde se dirige el trozo izquierdo cuando
xse acerca acpor debajo. Es un límite, no un valor: encla regla izquierda ya no rige. f(c⁺)- el valor que el trozo derecho toma realmente en
c, que es también el valor de la función allí. jumpf(c⁺) − f(c⁻). Cero exactamente cuando los dos trozos se encuentran.
De dónde viene la fórmula
- Escribe la definición con su condición al lado:
f(x) = m₁x + b₁parax < c, yf(x) = m₂x + b₂parax ≥ c. Fíjate en qué trozo posee el punto de ruptura: aquí el derecho, y por eso la gráfica muestra un círculo hueco en la rama izquierda y uno relleno en la derecha. - En
cla función tiene un valor dado por la regla derecha,m₂c + b₂. La regla izquierda no tiene valor allí, pero sí destino: cuandoxsube haciac,m₁x + b₁se aproxima am₁c + b₁. Ese es el límite por la izquierda. - La continuidad en un punto significa que los límites por ambos lados y el valor coinciden. Aquí el límite por la derecha y el valor son lo mismo, así que dos de los tres son automáticos y toda la condición se reduce a una ecuación:
m₁c + b₁ = m₂c + b₂. - Una ecuación, y cualquier coeficiente puede moverse para satisfacerla:
b₂ = (m₁ − m₂)c + b₁. La continuidad, por tanto, siempre está disponible y nunca es gratis: hay que gastar un parámetro en ella. Cuando no se hace, lo que sobra es exactamente lo que la lectura llama salto:(m₂c + b₂) − (m₁c + b₁).
Cómo leer lo que ves
El segmento azul es la regla izquierda y el naranja la derecha, y cada uno se dibuja hasta donde su propia condición lo permite. En el punto de ruptura la rama azul termina en un círculo hueco —un destino que nunca ocupa— y la naranja empieza con un punto relleno, que es el valor real de f(c). Cuando ambos coinciden los círculos se superponen y la fila del salto marca 0. El punto verde azulado es f(x₀) para lo que pongas en la casilla de evaluación, y las tres últimas filas convierten el dibujo en números: si los trozos se encuentran, cuánto cambia la pendiente al cruzar, y si el escalón hacia abajo crea un tramo de entradas que cuestan más que el propio punto de ruptura.
- Supone
- Ambos trozos son rectas, hay exactamente un punto de ruptura y está en un lugar conocido. El convenio semiabierto importa y es una elección: la regla derecha posee
x = c, así quef(c)esm₂c + b₂. Invierte el convenio y cambia el valor en el único puntoc, pero no el salto. - Falla cuando
- El problema serio llega cuando
cno se conoce, sino que se estima. Un punto de ruptura estimado con los mismos datos con los que se ajustan las rectas es un parámetro elegido para minimizar el error, de modo que los errores estándar habituales de la regresión quedan demasiado pequeños y el ajuste parece mejor de lo que es; para eso existen los métodos de regresión segmentada. Y un modelo de dos trozos no dice nada sobre un tercer régimen: prolongar cualquiera de las rectas más allá del rango observado supone una regla que nunca se comprobó.
Problema resuelto al detalle
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Un salto de tarifa en 5 y el tramo en el que comprar más cuesta menos 6 pasos
Una tarifa cobra 2x + 3 por debajo de un punto de cambio en 5 y 0,8x + 8 por encima. Calcula el valor en 7 y luego halla el intervalo en el que comprar más cuesta menos.
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Dos rectas y una regla que indica cuál se aplica. La única precaución necesaria está en el límite: exactamente en x = 5 se aplica el segundo tramo.
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Al aproximarse al punto de cambio desde ambos lados, el límite por la izquierda y el valor real no coinciden, y la magnitud de la discrepancia es el salto.
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Las pendientes tampoco coinciden, y lo hacen de forma independiente. Una función puede ser continua con un punto anguloso, o dar un salto sin punto anguloso; esta hace ambas cosas.
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Pasemos ahora a la pregunta interesante: averiguar dónde el primer tramo ha superado ya el valor en el que comienza el segundo tramo.
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Esa desigualdad se cumple desde 4,5 hasta el punto de cambio, y en todo ese intervalo la compra más económica es la de mayor cantidad.
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Vale la pena escribir la condición que eliminaría dicho intervalo, pues es la que satisface cualquier estructura tarifaria bien diseñada.
Respuesta
13,6; y entre 4,5 y 5 siempre conviene comprar 5. El segundo tramo comienza en 12 mientras el primer tramo aún sigue subiendo por encima de ese valor, de modo que cualquiera en ese intervalo paga más por menos. Este intervalo no es un artefacto de redondeo: representa el 10% de todo el primer tramo y es exactamente lo que produce una tarifa discontinua. Las tarifas reales lo evitan haciendo que los tramos coincidan: la continuidad requiere que b₂ − b₁ = (m₁ − m₂)c, lo que aquí exigiría que 5 fuera igual a 6. Los tramos marginales del impuesto sobre la renta se construyen así a propósito, motivo por el cual la creencia popular de que un aumento de sueldo puede reducir el salario neto es falsa en el impuesto sobre la renta y verdadera en casi cualquier descuento por volumen que se haya publicado.
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Referencias (2)
- The theory section ends on what happens when the breakpoint is estimated rather than known. This is the method that handles it: V. M. R. Muggeo, "Estimating regression models with unknown break-points." Statistics in Medicine 22(19), 3055–3071, 2003.
- Insight block 3 — the piecewise-linear kink at the centre of modern networks: X. Glorot, A. Bordes and Y. Bengio, "Deep Sparse Rectifier Neural Networks." Proceedings of the 14th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS), PMLR 15, 315–323, 2011.