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Reducir a la mitad el tamaño del paso debería reducir a la mitad el error. La herramienta indica 1,73.
La página muestra la propia razón: 0,000405 con h = 0,2; 0,000234 con la mitad de ese valor. Al dividirlos se obtiene 1,73, no 2, y nada falla.
El método de Euler es de primer orden. Todos los libros de texto lo afirman, y lo que esto significa es que el error es proporcional al tamaño del paso h, por lo que reducir h a la mitad debería reducir el error a la mitad.
Abra Euler's method con sus valores predeterminados: y′ = x − y, y(0) = 1, cuarenta pasos de h = 0,2, terminando en x = 8. La página indica un error global de 0,000405 y, a continuación, hace algo inusualmente honesto: vuelve a ejecutar todo con h/2 y muestra también ese error, 0,000234, junto con la razón entre ambos:
Eh / Eh/2 = 0,000405 / 0,000234 = 1,731285
No 2. El método es de primer orden, la aritmética es correcta y reducir el paso a la mitad proporcionó una reducción del 42 % en lugar del 50 %.
Realice un barrido, no un muestreo
Dos números solo pueden indicar una dirección, de modo que calcule la razón a lo largo del intervalo, manteniendo el punto final fijo en x = 8 al duplicar el número de pasos cada vez que h se reduce a la mitad:
- h = 0,4 → razón 1,475764
- h = 0,2 → razón 1,731285
- h = 0,1 → razón 1,865689
- h = 0,05 → razón 1,933036
- h = 0,025 → razón 1,966586
El 2 prometido es un límite, y así es como se ve la aproximación a él. Sin embargo, la columna interesante no es la razón, sino la desviación por defecto: a qué distancia se sitúa cada medición por debajo de 2:
0,524 → 0,269 → 0,134 → 0,067 → 0,033
Ese valor se reduce a la mitad cada vez que h se reduce a la mitad. La discrepancia entre el «primer orden» y lo que el primer orden ofrece en realidad es, en sí misma, de primer orden en h.
De dónde procede la mitad que falta
El orden proviene de un truncamiento. Euler conserva el primer término del desarrollo de Taylor de la solución y descarta todo a partir de la segunda derivada, algo que Taylor tool permite visualizar: los términos descartados contienen h², h³ y sucesivos. En consecuencia, un solo paso pierde una cantidad de tamaño h², y llegar a x = 8 requiere 8/h pasos, de modo que ese h² por paso se convierte en h en el total. El término «primer» en primer orden ya es una afirmación sobre una suma.
Por tanto, el error global no es C·h. Es
E(h) = C₁h + C₂h² + C₃h³ + ⋯
y la razón de dos sumas de este tipo es
E(h) / E(h/2) = (C₁h + C₂h² + ⋯) / (C₁h/2 + C₂h²/4 + ⋯)
que tiende a 2 a medida que h disminuye y el término en h² desaparece más rápido que el término en h. Pero para cualquier h finito, el segundo término sigue estando ahí, contribuyendo al denominador más que proporcionalmente. «Primer orden» da nombre al término que sobrevive por más tiempo, no al único término presente. Con h = 0,4, la contribución de h² absorbe una cuarta parte del factor de dos prometido, y la razón resulta ser 1,476.
Se puede observar lo mismo en la columna de error de la tabla de pasos de la página. El error acumulado no aumenta de forma constante: sube hasta aproximadamente 0,0804 hacia x = 0,8, luego cae a medida que la solución se aplana y finaliza en el 0,000405 que indica el resumen. El error global es una suma de errores locales que se cancelan en parte, y esa suma no tiene por qué ser un múltiplo exacto de h con un tamaño de paso que se utilizaría en la práctica.
La razón por la que esto importa, y no es pedantería
La forma habitual de estimar un error que no se puede calcular es la extrapolación de Richardson, y funciona asumiendo la razón. Se ejecuta con h, se ejecuta con h/2 y, si el método es de orden p, la diferencia entre ambos resultados es aproximadamente (2p − 1) veces el error del cálculo más fino. Para Euler, p = 1, por lo que la diferencia es aproximadamente igual al error restante.
Aplique h = 0,4 a ese razonamiento y habrá asumido una razón de 2 donde la verdadera es 1,476. Haga las operaciones: la estimación que se obtiene es 0,476 del error que realmente queda, por lo que lo subestima en un factor cercano a dos, y lo subestima en lugar de sobrestimarlo. Creerá que la solución es mejor de lo que es, y esa confianza aumenta a medida que el paso se hace más grueso, que es precisamente cuando menos conviene.
La defensa es la que demuestra la página: no asuma la razón, mídala. Dos ejecuciones proporcionan la razón; tres proporcionan la tendencia de la razón. Si la razón no está próxima a 2p para el valor de p que cree tener, entonces el paso es demasiado grueso para el régimen asintótico, o el método no es del orden que supone, o la solución presenta alguna particularidad que el análisis no anticipó. Conviene averiguar cualquiera de estas tres cosas antes de dar una cifra.
El argumento a favor de un método mejor, no de un paso más pequeño
Reducir el paso a la mitad duplica el trabajo. En un método de primer orden proporciona, a la larga, un factor de dos. Es un mal intercambio, y es la razón por la que casi nada en entornos de producción se integra con Euler.
Simpson's rule es de cuarto orden: reducir su paso a la mitad divide el error entre unas 16 veces, de modo que esa misma duplicación del trabajo proporciona ocho veces más precisión que la duplicación en Euler. Los métodos de Runge y Kutta hacen lo equivalente para ecuaciones diferenciales, y la reseña histórica de Butcher en las referencias remonta esa línea a Runge en 1895 y Kutta en 1901.
Vale la pena quedarse con la idea general: para un método de orden p, la tasa de intercambio es una ganancia de precisión de 2p por cada duplicación del esfuerzo, y p es una propiedad del algoritmo más que del problema. Elegir el método fija la tasa de intercambio. Elegir el tamaño del paso solo desplaza a lo largo de ella y, como muestra el barrido anterior, ni siquiera lo hace al ritmo anunciado hasta que h es lo bastante pequeño como para que el anuncio se haya hecho realidad.