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Reducir a la mitad el tamaño del paso debería reducir el error a la mitad. La herramienta dice 1,73.
La página muestra el propio cociente: 0,000405 con h = 0,2 y 0,000234 con la mitad de ese valor. Al dividirlos se obtiene 1,73, no 2, y no hay nada roto.
El método de Euler es de primer orden. Todos los libros de texto lo afirman, y lo que esto significa es que el error es proporcional al tamaño del paso h —por lo que reducir h a la mitad debería reducir el error a la mitad.
Abra Euler's method con sus valores por defecto: y′ = x − y, y(0) = 1, cuarenta pasos de h = 0,2, terminando en x = 8. La página indica un error global de 0,000405, y luego hace algo inusualmente honesto: vuelve a ejecutar todo con h/2 y muestra también ese error, 0,000234, junto con el cociente entre ambos:
Eh / Eh/2 = 0,000405 / 0,000234 = 1,731285
No 2. El método es de primer orden, los cálculos son correctos, y reducir el paso a la mitad supuso una reducción del 42 % en lugar del 50 %.
Haga un barrido, no un muestreo
Dos números solo pueden indicar una tendencia, por lo que conviene evaluar el cociente a lo largo del intervalo, manteniendo fijo el punto final en x = 8 al duplicar el número de pasos cada vez que h se reduce a la mitad:
- h = 0,4 → cociente 1,475764
- h = 0,2 → cociente 1,731285
- h = 0,1 → cociente 1,865689
- h = 0,05 → cociente 1,933036
- h = 0,025 → cociente 1,966586
El 2 prometido es un límite, y este es el aspecto que presenta la aproximación al mismo. Pero la columna interesante no es el cociente, sino la discrepancia: a qué distancia por debajo de 2 se sitúa cada medición:
0,524 → 0,269 → 0,134 → 0,067 → 0,033
Esta se reduce a la mitad cada vez que h se reduce a la mitad. La brecha entre el «primer orden» y lo que el primer orden ofrece en la práctica es, en sí misma, de primer orden en h.
De dónde procede la mitad que falta
El orden proviene de un truncamiento. Euler conserva el primer término del desarrollo de Taylor de la solución y descarta todo a partir de la segunda derivada, algo que la herramienta Taylor tool hace visible: los términos descartados contienen h², h³, etc.
Por lo tanto, el error global no es C·h. Es
E(h) = C₁h + C₂h² + C₃h³ + ⋯
y el cociente de dos de estas sumas es
E(h) / E(h/2) = (C₁h + C₂h² + ⋯) / (C₁h/2 + C₂h²/4 + ⋯)
que tiende a 2 a medida que h disminuye y el término en h² desaparece más rápido que el término en h—pero para cualquier h finito el segundo término sigue estando presente, contribuyendo al denominador de forma más que proporcional. «Primer orden» designa al término que sobrevive durante más tiempo, no al único término presente. Para h = 0,4, la contribución de h² es lo suficientemente grande como para consumir una cuarta parte de la mejora esperada.
Se puede observar esto mismo en la columna de error de la tabla de pasos de la página. Los errores de cada paso individual no se acumulan de manera constante: aumentan hasta unos 0,0804 hacia x = 0,8 y luego disminuyen a medida que la solución se vuelve más plana. El error global es una suma de errores locales que se cancelan parcialmente, y esa suma no tiene motivo alguno para ser un múltiplo exacto de h con un tamaño de paso que se utilizaría en la práctica.
La razón por la que esto importa, y no es pedantería
El método habitual para estimar un error que no se puede calcular es la extrapolación de Richardson, y funciona asumiendo el cociente. Se ejecuta con h, se ejecuta con h/2 y, si el método es de orden p, la diferencia entre las dos soluciones es aproximadamente (2p − 1) veces el error de la más precisa. Para Euler, p = 1, por lo que la diferencia es aproximadamente igual al error restante.
Si se introduce h = 0,4 en este razonamiento, se habrá asumido un cociente de 2 cuando el verdadero es 1,476. Al hacer los cálculos: la estimación obtenida es 0,476 del error que realmente queda, por lo que se subestima por un factor de aproximadamente dos—y, esta es la parte importante, lo subestima en lugar de sobreestimarlo. Se llegará a creer que la solución es mejor de lo que es, y esa confianza aumenta a medida que el paso se hace más grueso, que es precisamente cuando menos conviene.
La defensa es la que demuestra la página: no asuma el cociente, mídalo. Dos ejecuciones proporcionan el cociente; tres proporcionan la tendencia del cociente. Si el cociente no se aproxima a 2p para el orden p que se presupone, entonces o bien el paso es demasiado grueso para el régimen asintótico, o bien el método no es del orden que se cree, o bien la solución presenta alguna característica que el análisis no anticipó. Vale la pena descubrir cualquiera de las tres cosas antes de ofrecer una cifra.
Lo cual es el argumento a favor de un método mejor, no de un paso más pequeño
Reducir el paso a la mitad duplica el trabajo. En un método de primer orden proporciona un factor de dos, a la larga. Es un mal intercambio, y es la razón por la que casi nada en producción integra mediante Euler.
Simpson's rule es de cuarto orden: reducir su paso a la mitad divide el error aproximadamente entre 16, por lo que la misma duplicación del trabajo consigue ocho veces más precisión que la duplicación en Euler. Los métodos de Runge y Kutta hacen lo equivalente para ecuaciones diferenciales, y la reseña histórica de Butcher en las referencias rastrea lo rápido que la profesión abandoned el primer orden en cuanto dispuso de una alternativa.
Conviene recordar la pauta general: para un método de orden p, la tasa de cambio es de 2p de precisión por cada duplicación del esfuerzo, y p es una propiedad del algoritmo más que del problema. La elección del método fija la tasa de cambio. Elegir el tamaño del paso solo desplace a lo largo de ella—y, como muestra el barrido anterior, ni siquiera lo hace a la velocidad anunciada hasta que h es lo suficientemente pequeño como para que el anuncio se cumpla.