Tegemist on masintõlkega; artikli algupärand on inglise keeles. Loe algupärandit

Sammu pikkuse poolitamine peaks poolitama vea. Tööriist näitab 1,73.

42Math team · 10 July 2026

Lehel on toodud suhe ise: 0,000405 väärtusel h = 0,2 ja 0,000234 poole väiksema sammu korral. Neid jagades saame 1,73, mitte 2, ja midagi pole katki.

Euleri meetod on esimest järku. Nii ütleb iga õpik, ja see tähendab, et viga on võrdeline sammu pikkusega h, mistõttu peaks h poolitamine poolitama ka vea.

Avage Euler's method vaikesätetega: y′ = x − y, y(0) = 1, nelikümmend sammu pikkusega h = 0,2, lõpetades kohal x = 8. Leht teatab globaalseks veaks 0,000405 ja teeb seejärel midagi haruldaselt ausat: arvutab kogu lahenduse uuesti läbi sammuga h/2 ning kuvab ka selle vea, 0,000234, koos nende omavahelise suhtega:

E_h / E_h/2 = 0,000405 / 0,000234 = 1,731285

Mitte 2. Meetod on esimest järku, arvutuskäik on õige ja sammu poolitamine andis 50% asemel 42%-lise kahanemise.

Uurige tervet vahemikku, ärge piirduge üksikute punktidega

Kaks arvu suudavad näidata vaid suunda, seega arvutage suhe läbi terve vahemiku, hoides lõpp-punkti kohal x = 8 fikseerituna ning kahekordistades sammude arvu iga kord, kui h poolitub:

• h = 0,4 → suhe 1,475764
• h = 0,2 → suhe 1,731285
• h = 0,1 → suhe 1,865689
• h = 0,05 → suhe 1,933036
• h = 0,025 → suhe 1,966586

Lubatud 2 on piirväärtus ja selline näeb välja sellele lähenemine. Kuid huvitav veerg pole mitte suhe, vaid puudujääk: kui palju jääb iga mõõdetud väärtus arvust 2 allapoole:

0,524 → 0,269 → 0,134 → 0,067 → 0,033

See poolitub iga kord, kui h poolitub. Lõhe „esimese järgu“ ja selle vahel, mida esimene järk tegelikult pakub, on h suhtes ise esimest järku.

Kust tuleb puuduv pool

Järk tuleneb kärpimisest. Euler jätab lahendi Taylori arendusest alles esimese liikme ning heidab kõrvale kõik alates teisest tuletisest, mida teeb nähtavaks Taylor tool: kõrvaleheidetud liikmed sisaldavad suurusi h², h³ ja nii edasi. Üks samm kaotab seega midagi suurusega h², ja väärtuseni x = 8 jõudmiseks on vaja 8/h sammu, mistõttu saab sammukohtasest h²-st kogusummas h. „Esimene“ esimeses järgus on juba iseenesest väide summa kohta.

Nõnda ei ole globaalne viga mitte C·h, vaid

E(h) = C₁h + C₂h² + C₃h³ + ⋯

ja kahe sellise summa suhe on

E(h) / E(h/2) = (C₁h + C₂h² + ⋯) / (C₁h/2 + C₂h²/4 + ⋯)

mis läheneb arvule 2, kui h kahaneb ning h²-liige hääbub kiiremini kui h-liige. Kuid iga lõpliku h korral on teine liige endiselt alles, andes nimetajasse enam kui võrdelise panuse. „Esimene järk“ tähistab liiget, mis püsib kõige kauem, mitte ainsat olemasolevat liiget. Kui h = 0,4, sööb h² panus ära veerandi lubatud tegurist kaks ning suhteks tuleb 1,476.

Seda sama võib näha lehel oleva sammutabeli veaveerus. Jooksev viga ei kasva ühtlaselt: see tõuseb kohaks x = 0,8 umbes väärtuseni 0,0804, seejärel aga langeb, kui lahend lameneb, ning jõuab lõpuks kokkuvõttes märgitud väärtuseni 0,000405. Globaalne viga on osaliselt teineteist taandavate lokaalsete vigade summa, ja pole mingit põhjust, miks see summa peaks tegelikult kasutatava sammupikkuse juures olema h täpne kordne.

Miks see on oluline ega ole pelk pedantsus

Standardne viis hinnata viga, mida pole võimalik otseselt välja arvutada, on Richardsoni ekstrapolatsioon, ja see töötab suhet eeldades. Tehakse arvutus sammuga h ja sammuga h/2, ning kui meetod on järku p, on kahe tulemuse vahe ligikaudu (2^p − 1) korda tihedama sammuga saadud tulemuse viga. Euleri meetodi korral on p = 1, seega on see vahe ligikaudu võrdne allesjäänud veaga.

Kui rakendada seda arutluskäiku väärtusel h = 0,4, eeldatakse suhteks 2 seal, kus tegelik suhe on 1,476. Arvutage läbi: saadud hinnang moodustab vaid 0,476 tegelikult järele jäänud veast, seega alahindab see viga umbes kahekordselt – kusjuures nimelt alahindab, mitte ei ülehinda. Tekib veendumus, et vastus on parem kui tegelikult, ja see veendumus muutub sammu jämedamaks muutudes üha kindlamaks – just siis, kui seda kõige vähem vaja on.

Kaitse selle vastu on seesama, mida leht demonstreerib: ärge eeldage suhet, vaid mõõtke seda. Kaks arvutust annavad suhte; kolm annavad suhte suundumuse. Kui suhe ei ole väärtuse 2^p lähedal selle p korral, mida arvate endal olevat, on samm asümptootilise režiimi jaoks liiga jäme, meetod ei ole seda järku, mida arvate, või on lahendil omadus, mida analüüs ei osanud ette näha. Kõik kolm väärivad väljaselgitamist enne arvu esitamist.

See on argument parema meetodi, mitte väiksema sammu kasuks

Sammu poolitamine kahekordistab töömahtu. Esimese järgu meetodi puhul annab see lõpuks kahekordse võidu. See on kehv vahetuskaup ja põhjus, miks praktikas ei integreeri peaaegu mitte miski Euleri meetodil.

Simpson's rule on neljandat järku: selle sammu poolitamine jagab vea ligikaudu 16-ga, seega annab seesama töömahu kahekordistamine kaheksa korda suurema täpsuse kui kahekordistamine Euleri puhul. Runge ja Kutta meetodid teevad sama diferentsiaalvõrrandite jaoks ning viidetes leiduv Butcheri ajalooülevaade viib selle arengujoone tagasi Runge juurde 1895. ja Kutta juurde 1901. aastal.

Üldpõhimõtet tasub meeles pidada: p-ndat järku meetodi puhul on vahetuskursiks 2^p-kordne täpsus iga töömahu kahekordistamise kohta, kusjuures p on algoritmi, mitte lahendatava ülesande omadus. Meetodi valik määrab vahetuskursi. Sammu pikkuse valik vaid liigutab teid seda pidi edasi, ja nagu ülaltoodud vahemiku läbimine näitab, ei tee see seda isegi lubatud kiirusel seni, kuni h on piisavalt väike, et lubadus oleks tõeks saanud.