See on masintõlge; ingliskeelne tekst on originaal. Loe originaali

Sammupikkuse poolitamine peaks vea poolitama. Tööriist näitab 1,73.

42Math team · 10 July 2026

Lehekülg kuvab jagatise enda: 0,000405 kui h = 0,2 ja 0,000234 poole väiksema sammu korral. Neid jagades saab tulemuseks 1,73, mitte 2, ning midagi ei ole valesti.

Euleri meetod on esimest järku. Seda ütleb iga õpik ja see tähendab, et viga on võrdeline sammu pikkusega h — seega peaks h poolitamine poolitama ka vea.

Avades tööriista Euler's method vaikeväärtustel: y′ = x − y, y(0) = 1, nelikümmend sammu pikkusega h = 0,2, lõpetades kohal x = 8. Lehekülg teatab globaalseks veaks 0,000405 ning teeb seejärel midagi ebatavaliselt ausat — see käivitab kogu arvutuse uuesti sammuga h/2 ja kuvab ka selle vea, 0,000234, koos nendevahelise jagatisega:

E_h / E_h/2 = 0.000405 / 0.000234 = 1.731285

Mitte 2. Meetod on esimest järku, arvutused on õiged ja sammu poolitamine tõi 50% asemel vaid 42% suuruse vea vähenemise.

Läbige kogu vahemik, ärge piirduge üksikpunktidega

Kaks arvu näitavad vaid suunda, seega arvutage jagatis üle terve vahemiku, hoides lõpp-punkti kohal x = 8 paigal ja kahekordistades sammude arvu iga kord, kui h poolitub:

• h = 0.4 → ratio 1.475764
• h = 0.2 → ratio 1.731285
• h = 0.1 → ratio 1.865689
• h = 0.05 → ratio 1.933036
• h = 0.025 → ratio 1.966586

Tõotatud 2 on piirväärtus ja just selline näeb välja sellele lähenemine. Kuid huvitav veerg ei ole mitte jagatis, vaid vajak — see, kui palju iga mõõtmine jääb alla 2:

0.524 → 0.269 → 0.134 → 0.067 → 0.033

See poolitub iga kord, kui h poolitub. Lõhe „esimest järku täpsuse” ja selle vahel, mida esimest järku tegelikult annab, on ise h suhtes esimest järku.

Kust pärineb puuduv pool

Järk tuleneb rea katkestamisest. Euleri meetod säilitab lahendi Taylori reaks arenduse esimese liikme ja heidab kõrvale kõik alates teisest tuletisest, mida Taylor tool nähtavaks teeb: kõrvaleheidetud liikmed sisaldavad astmeid h², h³ ja nii edasi.

Nõnda ei ole globaalne viga mitte C·h. See on hoopis

E(h) = C₁h + C₂h² + C₃h³ + ⋯

ja kahe sellise summa jagatis on

E(h) / E(h/2) = (C₁h + C₂h² + ⋯) / (C₁h/2 + C₂h²/4 + ⋯)

mis läheneb arvule 2, kui h kahaneb ja liige h² hääbub kiiremini kui liige h — kuid iga lõpliku h korral on teine liige seal ikka olemas, panustades nimetajasse rohkem kui võrdeliselt. „Esimest järku” nimetab liiget, mis säilib kõige kauem, mitte ainust olemasolevat liiget. Kui h = 0.4, on h² panus piisavalt suur, et võtta ära veerand oodatavast paranemisest.

Seda sama võib näha lehel oleva sammude tabeli veaveerus. Üksikute sammude vead ei kuhju ühtlaselt: need kasvavad väärtuseni umbes 0.0804 kohal x = 0.8 ning seejärel kahanevad, kui lahend muutub lamedamaks. Globaalne viga on osaliselt taanduvate lokaalsete vigade summa ja sellel summal pole tegelikult kasutatava sammupikkuse juures mingit põhjust olla h puhas kordne.

Miks see on oluline – ja see pole pedantsus

Tavapärane viis arvutamatu vea hindamiseks on Richardsoni ekstrapolatsioon ja see toimib jagatist eeldades. Arvutage sammuga h, arvutage sammuga h/2 ja kui meetod on p-ndat järku, on kahe vastuse erinevus umbes (2^p − 1) korda suurem kui täpsema arvutuse viga. Euleri meetodi puhul on p = 1, mistõttu erinevus on umbes võrdne allesjäänud veaga.

Sisestage sellesse arutlusse h = 0.4 ja te olete eeldanud jagatist 2 seal, kus tegelik jagatis on 1.476. Mõelge see läbi: saadud hinnang moodustab 0.476 tegelikult allesjäänud veast, seega alahindab see viga umbes kahekordselt — ning see ongi oluline osa, et viga hinnatakse pigem väiksemaks kui suuremaks. Te hakkate uskuma, et vastus on parem kui see tegelikult on, ja see usk muutub seda kindlamaks, mida jämedam on samm — ehk just siis, kui seda kõige vähem vaja on.

Kaitse selle vastu on see, mida lehekülg näitab: ärge eeldage jagatist, vaid mõõtke seda. Kaks käivitust annavad jagatise; kolm annavad jagatise suundumuse. Kui jagatis ei ole lähedal väärtusele 2^p selle p korral, mida arvate endal olevat, siis on samm kas liiga jäme asümptootilise režiimi jaoks, meetod ei ole seda järku, mida arvate, või on lahendil omadus, mida analüüs ette ei näinud. Kõik kolm on teadasaamist väärt enne mõne arvu esitamist.

Mis on argument parema meetodi, mitte väiksema sammu kasuks

Sammu poolitamine kahekordistab töömahu. Esimest järku meetodi puhul annab see lõpuks kahekordse võidu. See on kehv vahetus ja seepärast ei integreerita praktilistes rakendustes peaaegu midagi Euleri meetodiga.

Simpson's rule on neljandat järku: selle sammu poolitamine jagab vea umbes 16-ga, seega annab sama töömahu kahekordistamine kaheksa korda suurema täpsuse kui Euleri meetodi kahekordistamine. Runge ja Kutta meetodid teevad sama diferentsiaalvõrrandite puhul ning kirjandusviidetes olev Butcheri ajalooülevaade näitab, kui kiiresti eriala inimesed loobusid esimest järku meetodist, kui tekkis alternatiiv.

Üldist pilti tasub meeles pidada: p-ndat järku meetodi puhul on vahetuskurss 2^p korda täpsust iga töövaeva kahekordistamise kohta, kusjuures p on algoritmi, mitte ülesande omadus. Meetodi valik määrab vahetuskursi. Sammupikkuse valik liigutab teid vaid piki seda kurssi — ja nagu ülaltoodud vahemiku läbimine näitab, ei tee see seda lubatud kiirusega enne, kui h on piisavalt väike, et lubadus oleks tõeks saanud.