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Teorema de Pick: Cálculo del área contando puntos

Sitúa los vértices de un polígono en los puntos de una cuadrícula cuadrada haciendo clic o eligiendo una opción preestablecida. La página cuenta los puntos de la cuadrícula en su interior y en sus bordes. A continuación, calcula el área tanto a partir de esos recuentos como de las coordenadas de los vértices y demuestra que coinciden. La tabla debajo del dibujo se encarga de los recuentos y la aritmética.

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Lección

La teoría — Teorema de Pick: Cálculo del área contando puntos

Un polígono reticular es un polígono simple cuyos vértices son puntos de una cuadrícula cuadrada con coordenadas enteras. El teorema de Pick afirma que su área es A = I + B ÷ 2 − 1, donde I representa los puntos de la cuadrícula estrictamente en su interior y B los puntos de los bordes, incluyendo los vértices. Una arista que va de un punto de la cuadrícula a otro atraviesa gcd(|Δx|, |Δy|) pasos. Por tanto, B es la suma de dichos pasos en todas las aristas. Si un polígono tiene h agujeros, el área será A = I + B ÷ 2 + h − 1, y los bordes de los agujeros también se cuentan en la variable B.

Qué significa cada símbolo

I
los puntos de la cuadrícula estrictamente en el interior del polígono
B
los puntos de la cuadrícula en sus bordes, incluyendo los vértices. Cada arista aporta mcd(|Δx|, |Δy|)
A
el área, en cuadrados de la cuadrícula. Siempre es múltiplo de ½
h
el número de agujeros. Cada uno suma uno a la fórmula

Cuenta los puntos y obtendrás el área 🖖

Pulsa Estrella de 4 puntas. El polígono tiene 53 puntos de la cuadrícula en su interior y 8 en sus bordes, por lo que su área es 53 + 8 ÷ 2 − 1 = 56. La fórmula de la lazada, que solo utiliza las coordenadas de los vértices sin contar nada, también da 56. Este es el teorema de Pick, publicado por Georg Pick en 1899. Establece que el área de cualquier polígono simple (un solo borde sin cruces ni agujeros) con vértices en la cuadrícula es I + B ÷ 2 − 1. En esta fórmula, I representa los puntos interiores y B los del borde. Arrastra un vértice y verás que ambos números cambian a la vez. No hace falta regla, ni restar triángulos, ni usar aproximaciones. El área de un polígono de este tipo queda determinada por dos números enteros.

Todo triángulo vacío tiene un área de exactamente ½ 🖖

Pulsa Triángulo estrecho. Mide 13 unidades de ancho y casi parece una línea. Aparte de sus tres vértices, no toca ningún otro punto de la cuadrícula. Su área es exactamente ½. Cualquier triángulo reticular vacío (sin más puntos en su interior ni en sus bordes) tiene esa misma área, por muy largo o estrecho que sea. El teorema se fundamenta precisamente en esto, ya que todo polígono reticular simple se puede dividir en ese tipo de triángulos. Se forman exactamente 2I + B − 2, a los que hay que sumar otros dos por cada agujero. Pulsa Estrella de 4 puntas, activa Mostrar triángulos primitivos y compruébalo tú mismo. Contarás 112 triángulos de ½ cada uno, lo que hace un total de 56.

En tres dimensiones, los dos recuentos no son suficientes 🖖

Pulsa Reeve, r = 5. Sus cuatro vértices son puntos de la cuadrícula. Ningún otro punto se encuentra en su interior ni en su superficie, independientemente de su altura. Su volumen es igual a la altura dividida por 6, de modo que es 5 ÷ 6 para una altura de 5. La tabla muestra las alturas del 1 al 10 y arroja diez volúmenes distintos a partir de los mismos recuentos: cero puntos interiores y cuatro en el borde. Para que una fórmula transformara esos dos recuentos en un volumen, tendría que dar diez respuestas distintas a partir de los mismos datos de entrada. John Reeve descubrió este sólido en 1957. Es la razón por la que el teorema de Pick carece de un equivalente en tres dimensiones.

Problema resuelto al detalle

  1. Cálculo del área de un cuadrado mediante recuento 5 pasos

    Un cuadrado tiene sus vértices en (2, 2), (6, 2), (6, 6) y (2, 6). Calcula su área contando los puntos de la cuadrícula con el teorema de Pick. Después, compruébala con la fórmula de la lazada y deduce cómo cambian los recuentos al duplicar el tamaño del cuadrado. Pulsa Cuadrado para comprobar tus resultados.

    Abre este problema en la herramienta

    1. Cada arista avanza 4 unidades por una línea de la cuadrícula, por lo que da mcd(4, 0) = 4 pasos. El recuento del borde es el siguiente:

    2. Los puntos estrictamente interiores forman un bloque de 3 por 3:

    3. Teorema de Pick:

    4. Fórmula de la lazada aplicada a los vértices, para comparar:

    5. Al duplicarlo, el cuadrado pasa a ser de 8 por 8, con un bloque de 7 por 7 puntos en su interior y 32 en los bordes:

    Respuesta

    El área es 16 por recuento y 16 por coordenadas. Al duplicar el tamaño, los recuentos pasan a ser 49 en el interior y 32 en los bordes. El área ahora es 64, es decir, cuatro veces mayor. Como los puntos del borde tan solo se duplicaron, el recuento interior tuvo que crecer más rápido (pasando de 9 a 49) para que el área se cuadruplicara. Un polígono duplicado siempre tiene 4I + B − 3 puntos en su interior.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.