El orden de las operaciones y dónde no hay consenso

Escribe una expresión. La herramienta la reduce una operación a la vez, nombra la regla detrás de cada paso y evalúa la misma línea según cuatro convenciones que no siempre coinciden.

Ejemplo resuelto — El orden de las operaciones y dónde no hay consenso

Estándar	17
Izquierda a derecha	221
Implícito primero	17
Hoja de cálculo	17
Resultados distintos	2
Pasos	6
Resultado	17

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La regla solo actúa cuando un × se cruza con un + 🖖

Pulsa Por qué existe una regla. La expresión 2 + 3 × 4 da 14 si conoces la regla, y 20 si lees de izquierda a derecha. Es evidente que la convención hace algo. Ahora escribe 8-3-2 y después 12/2*3. Todas las convenciones de esta página coinciden en ambas, porque se mantienen dentro de un único nivel y cada convención lee los niveles de izquierda a derecha. Fíjate en la magnitud de esto: construye todas las expresiones de tres operadores y operandos del 1 al 9 usando exclusivamente + y −. Una calculadora de cuatro operaciones acertará las 52.488. Hazlo solo con × y ÷, y acertará de nuevo las 52.488. Deja que los dos niveles se mezclen y 186.624 de los 419.904 resultados serán distintos. La regla demuestra su valía justo allí donde el nivel de × y ÷ se encuentra con el de + y −. Dentro de un mismo nivel no interviene en absoluto.

Tres casos donde nadie se ha puesto de acuerdo 🖖

La expresión 2^3^2 da 512 si agrupas a la derecha y 64 si agrupas a la izquierda. El cálculo de −3² resulta en −9 si el signo negativo espera a la potencia, y en 9 si no lo hace. La propia tabla de jerarquía de Microsoft para Excel sitúa la negación en segundo lugar y la exponenciación en el cuarto. Por eso, una celda de hoja de cálculo muestra un 9 donde una calculadora devuelve un −9. Y 6 ÷ 2(1 + 2) da 9 según la norma que se enseña en la escuela, o 1 si consideras que un número pegado a un paréntesis se asocia con más fuerza que la división. Así es como se lee a/bc en muchos libros de texto y como MathWorld advierte de que no lo leerá un sistema de álgebra computacional. Pulsa los cuatro botones y observa cómo se mueve la respuesta. Las matemáticas no cambiaron mientras hacías eso. Solo lo hizo la forma de leerlas.

Los paréntesis son lo único que no es una convención 🖖

Debajo de la tabla, la herramienta imprime la misma expresión con cada operación entre paréntesis. Vuelve a introducir esa línea en la caja y las cuatro lecturas se concentrarán en un único número. No es una propiedad exclusiva de estos ejemplos. Toma todas las expresiones de tres operadores con operandos del 1 al 6, encierra entre paréntesis cada operación, y verás que 0 de 82.944 siguen divididas. Ese es el argumento a favor de estos dos caracteres. Las matemáticas formales escriben a/(bc). También apilan la fracción para que la agrupación resida en la geometría y no en una regla que el lector debe haber aprendido antes.

Problema resuelto al detalle

6 ÷ 2(1 + 2): ¿es 9 o 1? El debate lleva años abierto y ambos bandos saben calcular. Descubre qué es lo que realmente está en disputa.

Abre este problema en la herramienta
1. El paréntesis se resuelve primero. Aquí no hay discusión. Ahora ambas lecturas se enfrentan a la misma línea, con un 3 donde estaba el paréntesis.
  
  $6 \div 2 (1 + 2) ⟶ 6 \div 2 (3)$
2. La regla escolar: × y ÷ comparten un mismo nivel y un nivel se lee de izquierda a derecha. La división va primero porque está escrita primero.
  
  $(6 \div 2) (3) = 3 \times 3 = 9$
3. La otra lectura: un número pegado a un paréntesis es una sola cantidad. Así que 2(3) forma un único 6 antes de que la división mire nada.
  
  $6 \div (2 (3)) = 6 \div 6 = 1$
4. Ambas son coherentes a nivel interno y ninguna puede deducirse de la aritmética. Alterna entre Estándar e Implícito primero y el árbol de la página se reorganiza. La multiplicación queda arriba bajo Estándar, y la división arriba bajo Implícito primero.
  
  $(a \div b) c \neq = a \div (b c)$
5. Lo que resuelve esto no es una regla mejor, sino una línea mejor. Cualquiera de los dos usos de paréntesis es inequívoco en las cuatro convenciones. La herramienta imprime la forma completamente agrupada bajo la tabla.
  
  $(6 \div 2) (1 + 2) = 9, 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$
6. Por esta razón, la expresión es rara en medios impresos. Una publicación científica escribe la fracción apilada. Y una fracción apilada lleva la agrupación implícita en su geometría, donde ninguna convención puede alcanzarla.
  
  $\frac{6}{2} (1 + 2) = 9, \frac{6}{2 ( 1 + 2 )} = 1$
Respuesta

No hay una verdad absoluta en esto. Tanto 9 como 1 son lecturas correctas de una línea que se escribió de manera demasiado laxa para tener un solo valor. El desacuerdo trata enteramente sobre cómo se leen un signo de división y una yuxtaposición en una línea de texto. Cada una de las cuatro lecturas de esta página es consistente consigo misma. Escribe (6 ÷ 2)(1 + 2) cuando quieras decir 9 y 6 ÷ (2(1 + 2)) cuando quieras decir 1. Así la pregunta deja de existir.

$(6 \div 2) (1 + 2) = 9 \neq = 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$

Referencias (2)

The spreadsheet convention, from the vendor's own precedence table: Microsoft, "Calculation operators and precedence in Excel", Microsoft Support. Negation is listed second and exponentiation fourth.
Why a number pressed against a bracket is read two ways, and the advice that follows: Eric W. Weisstein, "Solidus", MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.